STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

ANMÄRKNING 3.37
2007-10-08 – sida 131 – # 135
3.10 NÅGRA VANLIGA FLERDIMENSIONELLA FÖRDELNINGAR 131
Egentligen är slumpvariabeln (k-1)-dimensionell eftersom r
i=1 Xi = n
måste gälla för att ha positiv sannolikhet, så t.ex. den sista koordinaten är
överflödig. Specialfallet r = 2 har ju tidigare studerats, binomialfördelningen,
där utfallen kallades ”lyckat” och ”misslyckat” och då utelämnades
antalet misslyckade eftersom summan var given.
Att detta verkligen är en sannolikhetsfunktion beror på den kombinatoriska
likheten
(a1 + . . . + ar) n
n
=
a
k1 . . . kr
k1,...,krk1+...+kr=n
k1
1 · . . . · akr r ,
för godtyckliga reella tal a1, . . . , ar, och applicerat på ai = pi gäller
i ai = 1
varför vänster sida blir 1n = 1.
Låt oss nu räkna ut väntevärde, varians och kovarianser för multinomialfördelningen.
Betrakta specifikt händelsen i (1 ≤ i ≤ r) som i varje enskilt
försök har sannolikhet pi att inträffa. Vi kan då klumpa ihop de övriga utfallen
till en händelse som vi kan kalla ”icke-i” (eller ”misslyckade”) som
således har sannolikhet
j=i pj = 1 − pi. Således blir Xi binomialfördelad:
Xi ∼ Bin(n, pi), av vilket följer att E(Xi) = npi, V (Xi) = npi(1 − pi) och
D(Xi) = npi(1 − pi). Vad gäller kovariansen C(Xi, Xj) kan man inte lika
lätt resonera sig fram till vad den borde bli. Däremot inser man att den borde
vara negativ eftersom att om Xi är ovanligt stor, dvs. att ovanligt många
försök resulterat i utfall i, så borde det bli ovanligt få som resulterar i utfall j
eftersom antalet försök är givet. Vi visar vad det blir i följande sats.
SATS 3.27
Låt (X1, X2, . . . , Xk) vara multinomialfördelad med parametrar n och
p1, . . . , pr. Då gäller för i = j
E(Xi) = npi,
V (Xi) = npi(1 − pi),
C(Xi, Xj) = −npipj.
ANMÄRKNING 3.38
Som vanligt får man standardavvikelsen och korrelationen via dessa
uttryck, man får då D(Xi) = npi(1 − pi) respektive ρ(Xi, Xj) =
−
pipj
(1−pi)(1−pj) .