STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

130 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 130 – # 134
3.10 Några vanliga flerdimensionella fördelningar
Vi ska i detta avsnitt gå igenom två vanligt förekommande flerdimensionella
fördelningar som är generaliseringar av deras endimensionella motsvarigheter.
Vi börjar med den diskreta multinomialfördelningen och tar därefter upp
den tvådimensionella normalfördelningen.
3.10.1 Multinomialfördelning
Binomialfördelningen uppstod i situationer där ett slumpförsök som kunde
utfalla på två sätt upprepades n gånger (se sidan 81). Det förekommer också
ofta situationer där slumpförsök kan utfalla på fler än två sätt, och i denna
situation uppstår multinomialfördelningen.
EXEMPEL 3.41
En tärning kastas 10 gånger. Antag att vi vill beräkna sannolikheten att det
resulterade i 2 st 1:or, 1 2:a, 1 3:a, 2 st 4:or, 1 5:a och 3 st 6:or. I detta fall
har alla sex utfall samma sannolikhet (vilket inte alltid behöver vara fallet).
Chansen för en given sekvens av 10 kast är således (1/6) 10 för varje
sekvens. För att få det utfall vi är intresserade av kan vi dock välja flera olika
sekvenser. Man kan nämligen visa en generalisering av situationen då
binomialkoefficienterna uppstod, som säger att antal sätt att välja 2 1:or,
10!
1 2:a osv, är lika med 2!1!1!2!1!3! = 151200. Detta produktbråk brukar ofta
skrivas som 10
2 1 1 2 1 3 .Vi får således att den efterfrågade sannolikheten
blir 10
2 1 1 2 1 3 (1/6)10 ≈ 0.0025.
Den allmänna multinomialfördelningen är en generalisering av experimentet
ovan.
DEFINITION 3.35 (MULTINOMIALFÖRDELNINGEN)
Den k-dimensionella slumpvariabeln (X1, X2, . . . , Xk) sägs vara multinomialfördelad
med parametrar n (positivt heltal) och p1, . . . , pr, sådana att
pi > 0 och r i=1 pi = 1, om sannolikhetsfunktionen ges av
pX1,...,Xr (k1,
n
. . . , kr) =
p
k1 . . . kr
k1
1 · . . . · pkr r ,
för sådana k1, . . . , kr så att ki ≥ 0 och r
i=1 ki = n.