STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

128 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 128 – # 132
slumpvariabler X och Y är oberoende om fX|Y (x | y) = fX(x) för alla x
och sådana y för vilket fY (y) > 0.
Att de två definitionerna är ekvivalenta visas lätt. T.ex. gäller ju att om
pX|Y (j | k) = pX(j) får man att från definitionen av betingad sannolikhetsfunktion
(Definition 3.29) pX,Y (j, k) = pX|Y (j | k)pY (k) = pX(j)pY (k)
vilket medför oberoende enligt den ursprungliga definitionen.
Det påpekades ovan att betingade fördelningar verkligen är fördelningar i
sig. Speciellt kan man beräkna väntevärden, varianser och standardavvikelser
på samma sätt som för ”vanliga” fördelningar. Man brukar använda beteckningarna
E(X|Y = y), V (X | Y = y) och D(X | Y = y) vilka alltså
beräknas enligt följande formler:
E(X|Y = k) =
jpX|Y (j | k)
j
V (X | Y = k) =
j 2 pX|Y (j | k) − (E(X|Y = k)) 2
D(X | Y = k) = V (X | Y = k),
j
för det diskreta fallet och motsvarande integraler för det kontinuerliga fallet.
EXEMPEL 3.40
Antag att vi ska kasta två tärningar och är intresserad av summan S av
antalet prickar. Låt X ange antalet prickar på den svarta och Y antal prickar
på den vita tärningen. Vi ska nu studera fördelningen för summan av
antalet prickar betingat av att vi vet antalet prickar X = k på den svarta
tärningen. Man kan räkna fram att pS|X(s | k) = 1/6, s = k+1, . . . , k+6,
eftersom den vita tärningen blir 1 till 6 med sannolikhet 1/6 vardera. För
väntevärdet får vi
E(S | X = k) =
k+6
s=k+1
spS|X(s | k) = ((k+1)+. . .+(k+6))/6 = k+ 7
2 .
Det gäller vidare att E(S 2 | X = k) = ((k + 1) 2 + . . . + (k + 6) 2 )/6 och
efter lite räknande får man att V (S | X = k) = 35/12.