STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 127 – # 131
3.9 FLERDIMENSIONELLA SLUMPVARIABLER 127
om den första variabelns värde. Vi har då att göra med betingade fördelningar
som är nära besläktade med betingade sannolikheter som definierades i
Avsnitt 2.5 på sidan 19.
DEFINITION 3.33 (BETINGAD FÖRDELNING)
Låt (X, Y ) vara en tvådimensionell slumpvariabel. Om (X, Y ) är diskret så
definieras den betingade sannolikhetsfunktion pX|Y (j | k) för X, betingat
av att Y = k, av
pX|Y (j | k) = P (X = j | Y = k) = pX,Y (j, k)
, j = 0, 1, . . . .
pY (k)
Om (X, Y ) är kontinuerlig definieras den betingade täthetsfunktion
fX|Y (x | y) för X, betingat av att Y = y, av
fX|Y (x | y) = fX,Y (x, y)
, −∞ < x < ∞.
fY (y)
Den betingade fördelningsfunktionen. FX|Y (x | y) för X, betingat av att
Y = y, fås på vanligt sätt genom summering/integrering: FX|Y (x | y) =
j≤x pX|Y (j | y) respektive FX|Y (x | y) = x
−∞ fX|Y (t | y)dt.
ANMÄRKNING 3.36
Betingade fördelningar uppfyller kraven för en fördelning. Att så verkligen
är fallet kan lätt visas i det diskreta fallet genom att visa att
fördelnings- och sannolikhetsfunktionerna ovan uppfyller definitionerna
för fördelnings- och sannolikhetsfunktion (Definition 3.28 och 3.29). Beviset
är däremot krångligare i det kontinuerliga fallet beroende på att
betingningshändelsen då har sannolikhet 0 och hoppas därför över.
I Avsnitt 2.5 infördes två ekvivalenta definitioner för oberoende händelser.
Den ena var att P (A ∩ B) = P (A)P (B) vilket påminner om Definition 3.32
ovan för oberoende slumpvariabler. Den andra var att P (A | B) = P (A ∩
B)/P (B). Även denna har en motsvarighet för slumpvariabler.
DEFINITION 3.34 (ALTERNATIV DEFINITION AV OBEROENDE SLUMPVARIABLER)
Två diskreta slumpvariabler X och Y är oberoende om pX|Y (j | k) =
pX(j) för alla j och sådana k för vilket pY (k) > 0. Två kontinuerliga