STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

126 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 126 – # 130
3.9.3 Oberoende slumpvariabler
Vi definierar nu de två viktiga begreppen okorrelerade och oberoende. Dessa
är viktiga för att alla räkningar blir mycket enklare när dessa kriterier är
uppfyllda, och inte så sällan är de uppfyllda i tillämpningar.
DEFINITION 3.32 (OBEROENDE OCH OKORRELERADE)
Två slumpvariabler X och Y sägs vara oberoende om deras simultana fördelning
satisfierar pX,Y (x, y) = pX(x)pY (y) för det diskreta fallet, respektive
att fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y) för det kontinuerliga fallet. Slumvariablerna
sägs vara okorrelerade om ρ(X, Y ) = 0.
ANMÄRKNING 3.35
En alternativ mer allmängiltig definition av oberoende är att X och
Y är oberoende om deras fördelningsfunktion satisfierar FX,Y (x, y) =
FX(x)FY (y).
Oberoende är ett starkare kriterium än okorrelerad vilket följande sats visar.
SATS 3.26
Om X och Y är oberoende så är de även okorrelerade.
BEVIS
Vi visar satsen för det kontinuerliga fallet. Från antagandet har vi
E(XY ) = xyfX,Y (x, y)dxdy = xyfX(x)fY (y)dxdy
= xfX(x)dx yfY (y)dy = E(X)E(Y ).
Från Sats 3.24 gäller därför att C(X, Y ) = 0 vilket i sin tur medför att
ρ(X, Y ) = 0 vilket skulle visas.
3.9.4 Betingade fördelningar
Ibland har man observerat den ena av de två slumpvariablerna och man är
intresserad av den andra slumpvariabeln givet (eller betingat av) vetskapen