STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 9 – # 13
2.2 SANNOLIKHETER PÅ UTFALLSRUM 9
Detta överensstämmer med det andra sättet att räkna ut denna sannolikhet,
nämligen genom att räkna utfallen i “icke-klöver” som är 39 och dividera
detta med 52. Sannolikheten för ”inget utfall” blir förstås P (∅) = 0. Sannolikheten
för händelsen A ∪ B, som alltså utgörs av utfallen med klöver
och/eller siffran 5, blir enligt satsen P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (B∩A) =
1/4 + 1/13 − 1/52 = 4/13. Om vi i stället betraktar vilka utfall som ingår
i A ∪ B är dessa A ∪ B = {K1, . . . , K13, S5, H5, R5} som består av
16 utfall, varför händelsen får sannolikheten 16/52 = 4/13 vilket alltså
överensstämmer med det svar som satsen gav oss.
ÖVNING 2.4
Betrakta försöket att kasta en vanlig tärning, dvs. där utfallsrummet är
Ω = {1, . . . , 6} och alla utfall har samma sannolikhet, som alltså måste
vara 1/6 vardera. Låt A vara händelsen att tärningen visar ett jämnt antal
prickar och B vara händelsen att antalet prickar är delbart med 3. Ange
vilka utfall som utgör händelserna A, B, A ∩ B och A ∪ B och beräkna
motsvarande sannolikheter.
ÖVNING 2.5
Antag att för ett slumpförsök med två händelser A och B gäller P (A) =
0.4, P (B) = 0.5 och P (A ∪ B) = 0.6. Beräkna P (A ∩ B).
ÖVNING 2.6
I ett lotteri finns tre vinstlotter, högsta vinsten H vinner man med sannolikheten
P (H) = 0.001, näst högsta vinsten N vinner man med sannolikhet
P (N) = 0.01 och tredje priskategori T vinner man med sannolikheten
P (T ) = 0.1. Bestäm sannolikheten för att överhuvud taget vinna, och sannolikheten
att inte vinna (och således förlora satsat belopp).
ÖVNING 2.7
Bevisa resultat 1 i Sats 2.1 utifrån Kolmogorovs axiomsystem, de s.k.
sannolikhetsaxiomen. (L)