STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 125 – # 129
3.9 FLERDIMENSIONELLA SLUMPVARIABLER 125
Vi nämnde som en anmärkning att korrelationskoefficienten är dimensionslös.
Man kan visa följande starkare resultat:
SATS 3.25
Korrelationskoefficienten ρ = ρ(X, Y ) för en tvådimensionell slumpvariabel
satisfierar
BEVIS
−1 ≤ ρ ≤ 1.
Eftersom ((x − µX)/σX + (y − µY )/σY ) 2 är en positiv funktion gäller att
E[ (X − µX)/σ 2
X + (Y − µY )/σ 2
2
Y ] ≥ 0.
Om vi utvecklar kvadraten blir vänster sida lika med
V (X)/σ 2
X + V (Y )/σ2 Y + 2ρ(X, Y ) = 2 + 2ρ(X, Y ).
Detta är positivt bara om ρ ≥ −1. Att ρ ≤ 1 visas analogt men för funktionen
((x − µX)/σX − (y − µY )/σY ) 2 .
I beviset ovan använder vi att E((X − µX) 2 /a)) = E((X − µX) 2 )/a. Detta är
en konsekvens av att väntevärdet är en integral eller summa, och konstanter
kan brytas ut ur dessa. Ett formellt bevis görs längre fram i Sats 3.33.
Om ρ(X, Y ) > 0 säger man att X och Y är positivt korrelerade medan X
och Y sägs vara negativt korrelerade om ρ(X, Y ) < 0. Att två variabler är
positivt korrelerade betyder att om den ena slumpvariabeln är stor så tenderar
även den andra att vara det, liksom att om med ena är liten tenderar den andra
också att vara det. Vid negativ korrelation tenderar den ena att vara liten när
den andra är stor. Om |ρ| är nära 1 säger man att korrelationen är stark medan
den sägs vara svag om |ρ| ligger nära 0. Man kan visa att |ρ| = 1 om och
endast om Y kan skrivas som Y = aX + b för några konstanter a och b. Att
verkligen |ρ| = 1 för detta val visas i Övning 3.85 på sidan 156.