STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
124 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER<br />
2007-10-08 – sida 124 – # 128<br />
ANMÄRKNING 3.33<br />
Kovarians förkortas <strong>med</strong> C eftersom det på engelska heter covariance.<br />
ANMÄRKNING 3.34<br />
Såväl kovarians som korrelationskoefficient är reella tal. Enheten för kovarians<br />
är produkten av enheterna som X <strong>och</strong> Y anges i. Korrelationskoefficienten<br />
är däremot dimensionslös vilket gör den mer användbar: om<br />
vi byter måttenhet för variablerna ändras kovariansen men inte korrelationskoefficienten.<br />
Ofta kan följande räkneregel, som liknar räkneregeln för beräkning av<br />
varians från Sats 3.5 på sidan 64, vara nyttig att använda vid beräkning av<br />
kovarians.<br />
SATS 3.24<br />
För en tvådimensionell slumpvariabel <strong>med</strong> kovarians C(X, Y ) <strong>och</strong> marginella<br />
väntevärden µX respektive µY gäller<br />
BEVIS<br />
C(X, Y ) = E(XY ) − µXµY .<br />
Vi visar satsen för det kontinuerliga fallet. Det gäller nämligen att<br />
<br />
C(X, Y ) = (x − µX)(y − µY )fX,Y (x, y)dxdy<br />
<br />
= (xy − xµY − µXy − µXµY ) fX,Y (x, y)dxdy<br />
<br />
<br />
= xyfX,Y (x, y)dxdy − µY xfX,Y (x, y)dxdy<br />
<br />
<br />
− µX yfX,Y (x, y)dxdy + µXµY fX,Y (x, y)dxdy<br />
<br />
<br />
= xyfX,Y (x, y)dxdy − µY<br />
<br />
xfX(x)dx<br />
− µX<br />
yfY (y)dy + µXµY<br />
<br />
= xyfX,Y (x, y)dxdy − µY E(X) − µXE(Y ) + µXµY<br />
= E(XY ) − µXµY .
Change language