STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

BEVIS
2007-10-08 – sida 123 – # 127
3.9 FLERDIMENSIONELLA SLUMPVARIABLER 123
Vi visar de två första påståendena, det tredje överlåts till läsaren (Övning
3.73). Det gäller att FX(x) = P (X ≤ x) = P (X ≤ x, Y < ∞) =
FX,Y (x, ∞). På motsvarande sätt gäller
pX(j) = P (X = j) = P (X = j, −∞ < Y < ∞)
=
P (X = j, Y = k) =
pX,Y (j, k),
k
där den tredje likheten följer från Axiom 3 i Kolmogorovs axiomsystem
2.2 på sidan 6.
3.9.2 Kovarians och korrelation
När man behandlar tvådimensionella slumpvariabler är det viktigt hur stora
de två komponenterna är (vilket kan kvantifieras med hjälp av de marginella
fördelningarna för X respektive Y ). En annan viktig aspekt är huruvida de två
variablerna påverkar varandra, man brukar tala om beroenden mellan variabler.
Hur beroende två variabler är kan kvantifieras på olika sätt, de vanligaste
endimensionella måtten är kovarians och korrelationskoefficient vilka vi nu
definierar.
DEFINITION 3.31 (KOVARIANS OCH KORRELATIONSKOEFFICIENT)
Betrakta en tvådimensionell slumpvariabel (X, Y ) med ändliga väntevärden
(µX och µY ) och standardavvikelser (σX och σY ). Kovariansen mellan
X och Y , betecknat C(X, Y ), definieras som C(X, Y ) = E[(X − µX)(Y −
µY )]. För en diskret respektive kontinuerlig slumpvariabel innebär dessa
definitioner således
C(X, Y ) =
((j − µX)(k − µY )pX,Y (j, k), respektive
C(X, Y ) =
j,k
((x − µX)(y − µY )fX,Y (x, y)dxdy.
Korrelationskoefficienten ρ = ρ(X, Y ) definieras som
C(X, Y )
ρ(X, Y ) = .
σXσY
k