STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

122 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 122 – # 126
[Bild saknas]
Figur 3.27. Illustration av den tvådimensionella täthetsfunktionen
fX,Y (x, y) = x + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
att fX,Y (x, y)dxdy = 1 som det ska. För A = [0, 0.5] × [0, 0.5]
får vi P ((X, Y ) ∈ A) = 0.5 0.5
0 0 (x + y)dxdy = 1/8 samt för B =
[0.5, 1]×[0.5, 1] får vi P ((X, Y ) ∈ B) = 1 1
0.5 0.5 (x+y)dxdy = 3/8. Område
B har således tre gånger så hög sannolikhet som A trots att områdena
är lika stora.
För en tvådimensionell slumpvariabel kan man ibland primärt vara intresserad
av den ena komponenten. Man kan då studera den marginella fördelningen.
Vi har följande samband mellan en tvådimensionell slumpvariabel
och dess ena komponent.
SATS 3.23 (MARGINELL FÖRDELNING)
Betrakta en tvådimensionell slumpvariabel (X, Y ) med fördelningsfunktion
FX,Y (x, y). Den marginella fördelningsfunktionen för slumpvariabeln
X ges då av FX(x) = FX,Y (x, ∞). Om (X, Y ) är diskret ges
den marginella sannolikhetsfunktionen för X av pX(j) =
k pX,Y (j, k).
Om (X, Y ) är kontinuerlig ges den marginella täthetsfunktionen för X av
fX(x) = fX,Y (x, y)dy.
ANMÄRKNING 3.32
Den marginella fördelningen för Y fås på motsvarande sätt genom att
byta plats på variablerna ovan.