STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

EXEMPEL 3.38
2007-10-08 – sida 121 – # 125
3.9 FLERDIMENSIONELLA SLUMPVARIABLER 121
Antag att man skall kasta två tärningar, en röd och en svart, och låt
(X, Y ) beteckna antalet prickar på den röda respektive svarta tärningen.
Vi har tidigare påpekat att av symmetriskäl är alla 36 utfall lika sannolika
vilket alltså betyder att pX,Y (j, k) = 1/36 för j = 1, . . . , 6 och
k = 1, . . . , 6 (och pX,Y (j, k) = 0 för övriga j och k). Av detta följer
att 6
j=1
6
k=1 pX,Y (j, k) = 1 vilket ju måste gälla. Man kan även efter
lite räknande konstatera att motsvarande fördelningsfunktion satisfierar
FX,Y (j, k) = jk/36 (för j = 1, . . . , 6 och k = 1, . . . , 6).
DEFINITION 3.30 (KONTINUERLIG SLUMPVARIABEL OCH TÄTHETSFUNKTION)
En tvådimensionell slumpvariabel (X, Y ) sägs vara kontinuerlig om det
finns en funktion fX,Y (x, y) så att för ”alla” mängder A gäller
P ((X, Y ) ∈ A) = fX,Y (x, y) dxdy.
A
Funktionen fX,Y (x, y) kallas för slumpvariabelns täthetsfunktion.
ANMÄRKNING 3.31
Ibland används begreppen simultan fördelningsfunktion, sannolikhetsfunktion
eller täthetsfunktion när man vill betona att funktionen gäller
för bägge slumpvariablerna.
Täthetsfunktionen hänger ihop med fördelningsfunktionen på samma sätt
som i det endimensionella fallet, nämligen att
FX,Y (x, y) =
x
−∞
y
fX,Y (s, t)dsdt.
−∞
Vi illustrerar täthetsfunktionen för den tvådimensionella tätheten som ges i
Exempel 3.39, se Figur 3.9.1.
EXEMPEL 3.39
Betrakta den tvådimensionella slumpvariabeln (X, Y ) med täthetsfunktion
fX,Y (x, y) = x + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (således är
fX,Y (x, y) = 0 för alla övriga (x, y), se Figur 3.9.1). Även här ser vi