STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 8 – # 12
8 KAPITEL 2 SANNOLIKHETSTEORINS GRUNDER
SATS 2.1
Låt A och B vara godtyckliga händelser i utfallsrummet Ω. Då gäller
1. P (A c ) = 1 − P (A),
2. P (∅) = 0,
3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Det första resultatet säger att mängden sannolikhetsmassa utanför A är 1 (dvs.
all sannolikhetsmassa) minus den som finns i A. Eftersom tomma mängden
inte innehåller något utfall kan den ju inte ha någon sannolikhetsmassa, vilket
är resultat 2. Om vi skall räkna ut hur mycket sannolikhetsmassa som
finns i unionen av A och B kan vi göra detta genom att addera mängden sannolikhetsmassa
som finns i A (område 1 och 2 i Figur 2.1) med mängden
sannolikhetsmassa i B (område 2 och 3 i Figur 2.1 ). Vi ser då att vi räknat
sannolikhetsmassan i område 2, dvs. P (A ∩ B), två gånger varför vi måste
subtrahera detta tal.
Man kan även visa resultaten i Sats 2.1 mer formellt från axiomsystemets
villkor. Vi gör detta för det tredje resultatet och lämnar övriga två resultat
som övningar.
BEVIS, SATS 2.1, RESULTAT 3
Mängden A ∪ B kan skrivas som A ∪ (B \ A) där de två mängderna är
oförenliga, dvs A ∩ (B \ A) = ∅. Att så är fallet ses lätt i Figur 2.1 på sidan
2 där A utgör område 1 och 2 medan B \ A är område 3. Från tidigare vet
vi att B \ A = B ∩ A c , så villkor 3 i Kolmogorovs axiomsystem ger oss att
P (A ∪ B) = P (A) + P (B ∩ A c ).
Vidare kan händelsen B delas upp i de två disjunkta delarna (B ∩ A) och
(B∩A c ), så från samma villkor får vi att P (B) = P (B∩A)+P (B∩A c ), dvs.
att P (B ∩ A c ) = P (B) − P (B ∩ A). Om vi substituerar detta i föregående
uttryck erhåller vi P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (B ∩ A), dvs. satsens
tredje resultat.
EXEMPEL 2.5 (Kortdragning, sannolikheter, forts.)
Händelsen A betyder ”klöver” vilket gör att A c betyder ”ej klöver” och
sannolikheten för denna blir enligt satsen 1 − P (A) = 1 − 1/4 = 3/4.