STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 115 – # 119
3.8 NÅGRA VANLIGA KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR 115
inferenskapitlen i denna eller annan bok kommer med största sannolikhet
lära sig λ0.025, och troligen ytterligare någon kvantil, utantill. Om vi låter
Z ∼ N(0, 1) så definieras således λα som lösningen till P (Z > λα) = α.
Men P (Z > λα) = 1 − Φ(λα) så λα löser tydligen Φ(λα) = 1 − α. Tag t.ex.
α = 0.05. Vi skall då söka i normalfördelningstabellen efter det tal x som gör
att Φ(x) = 1 − α = 0.95. Efter en stunds tittande ser man att svaret λ0.05 bör
ligga mellan 1.64 och 1.65, troligen ganska mitt emellan dessa två värden.
För att få bättre precision finns emellertid en speciell tabell, Tabell 4, som ger
kvantilvärden för de vanligast förekommande α-värdena. I denna tabell ser
man att λ0.05 = 1.6449.
I statistiska sammanhang vill man ofta ange symmetriska intervall så att
standardnormalfördelningen ligger inom intervallet med en fördefinierad sannolikhet.
Om vi t.ex. vill veta vilket tal z > 0 som gör att P (−z ≤ Z ≤ z) =
0.95 kan även detta uttryckas med hjälp av kvantiler. Om vi vill att 95% av
sannolikhetsmassan ska ligga innanför det symmetriska intervallet [−z, z]
inser man att 2.5% måste ligga till vänster därom och 2.5% till höger (se Figur
3.25 för en illustration av det allmänna fallet). Således måste z ges av
Bild saknas
Figur 3.25. I figuren finns det symmetriska intervallet innehållande
sannolikhetsmassa 1 − α skuggat, samt kvantilen λα/2 inritad.
λ0.025 = 1.9600 och −z blir då −λ0.025 = −1.9600.
Uttryckt annorlunda är alltså sannolikheten 0.95 att en normalfördelad
slumpvariabel inte avviker mer än 1.96 standardavvikelser från sitt väntevärde.
Detta stämmer väl överens med vad vi tidigare visat, nämligen att sannolikheten
att avvika mer än 2 standardavvikelser var 0.9544.
Vi har alltså kommit fram till följande allmänna formel
P (−λα/2 ≤ Z ≤ λα/2) = 1 − α.