STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

114 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 114 – # 118
På motsvarande sätt får man att sannolikheten att balken väger mer än
2007 kg ges av P (X > 2007) = 1 − FX(2007) = 1 − Φ( 2007−2000
2.3 ) =
0.0012.
I Sats 3.22 preciserades hur man uttrycker sannolikheter av typen P (X <
a), P (X > b och P (a < X < b) i termer av Φ(x), fördelningsfunktionen för
N(0, 1) (standardiserad normalfördelning). Ibland vill man ta reda på sannolikheten
för händelser där en- eller tvåsidiga intervallet anges i termer av µ
och σ. T.ex. kanske man vill veta vad sannolikheten är att den normalfördelade
slumpvariabeln avviker mer än en standardavvikelse från sitt väntevärde.
Man vill alltså beräkna P (X < µ − σ) + P (X > µ + σ). Enligt formlerna från
Sats 3.22 blir detta
µ − σ − µ
µ + σ − µ
Φ
+ 1 − Φ
= Φ(−1) + 1 − Φ(1)
σ
σ
= 2(1 − Φ(1)) = 0.3174.
Som synes beror inte svaret på µ eller σ. Sannolikheten för avvikelser från
väntevärdet µ, uttryckt i enheter av standardavvikelsen σ, är således oberoende
av µ och σ. Man kan alltså kan tala om sådana händelser generellt. Det
gäller rent allmänt för a < b att
P (µ + aσ ≤ X ≤ µ + bσ) = Φ(b) − Φ(a).
Speciellt gäller att chansen att slumpvariabeln håller sig inom 1, 2 respektive
3 standaravvikelser från väntevärdet blir
P (µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0.6826,
P (µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0.9544,
P (µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = 0.9974.
Chansen att ligga utanför dessa intervall blir komplementsannolikheten, dvs.
1 minus sannolikheterna ovan. Det är alltså inte särskilt ovanligt (0.3174)
att hamna mer än en standardavvikelse från väntevärdet. Att hamna mer än
två standardavvikelser ifrån väntevärdet är däremot ganska ovanligt (0.0456).
Sannolikheten att avvika med mer än tre standardavvikelser från väntevärdet
är mycket ovanligt (0.0026; mindre än 3 promille). Detta förklarar det gamla
uttrycket att någon är ”mer än tre sigma” om udda personer.
Tidigare i detta kapitel definierades α-kvantilen xα som det värde x som
gör att P (X > xα) = α. Kvantiler för standard normalfördelningen förekommer
så ofta så att dessa getts en egen beteckning λα. Den som läser