STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

112 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
SATS 3.22
Om X ∼ N(µ, σ) så gäller
2007-10-08 – sida 112 – # 116
fX(x) = 1
σ ϕ
x − µ
,
σ
x − µ
FX(x) = Φ ,
σ
b − µ
a − µ
P (a < X ≤ b) = Φ − Φ .
σ
σ
ANMÄRKNING 3.27
Notera att sannolikheterna ovan kan skrivas med eller utan strikta olikheter.
För alla kontinuerliga slumpvariabler gäller nämligen t.ex. att P (a <
X < b) = P (a ≤ X ≤ b).
Vi visar nu genom ett par exempel användbarheten av resultaten ovan. Vi
använder oss då av Tabell 4 på sidan ?? som ger Φ(z) för positiva z i hundradelsformat
upp till 4.09.
EXEMPEL 3.36
Antag att vikten på förvildade svenska minkar är normalfördelad med väntevärde
µ=4.7 kg och standardavvikelse σ=1.2 kg. Täthetsfunktionen blir
således
fX(x) =
1
1.2 √ 2π e−(x−4.7)2 /(2·1.2 2 ) .
T.ex. blir täthetsfunktionen i punkten x=4.0 kg fX(4.0) =
(1.2 √ 2π) −1 e −(4−4.7)2 /(2·1.2 2 ) = 0.2804. Väntevärdet är alltså µ=4.7 kg,
och standardavvikelsen är σ =1.2 kg. Fördelningsfunktionen FX(x) ges
av Φ
x−4.7
1.2 . Om vi t.ex. vill beräkna sannolikheten att en slumpvis vald
mink väger mindre är 5 kg ges den av FX(5) = Φ
5−4.7
1.2 = Φ(0.25).
Eftersom Φ(·) finns tabulerad i Tabell 4 kan vi avläsa att eftersökt sannolikhet
blir 0.5987. Detta får man genom att gå ner i tabellen tills man
stöter på rad 0.2. Sedan går man åt höger till hundradelen 0.05 där man
avläser Φ(0.25) = 0.5987. Om vi vill beräkna sannolikheten att vikten understiger
4 kg blir denna FX(4) = Φ
4−4.7
1.2 = Φ(−0.58). Vi kan nu inte
använda Tabell 4 direkt eftersom den endast finns för positiva x. Emellertid
är ϕ symmetrisk kring 0 av vilket det följer att Φ(−x) = 1 − Φ(x)