STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

110 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 110 – # 114
Bild saknas
Figur 3.21. Täthetsfunktionen för en N(µ, σ)-fördelning för ett antal olika σ värden.
fördelning har egna beteckningar ϕ(z) respektive Φ(z). Dessa definieras
således av
ϕ(z) = 1
√ e
2π −z2 /2
, −∞ < x < ∞,
Φ(z) =
∞
−∞
1
√ 2π e −t2 /2 dt.
I Figur 3.22 visas täthetsfunktionen ϕ(x) för N(0, 1) och i Figur 3.23 dess
fördelningsfunktion Φ(x). Att beräkna Φ(x) för ett givet värde x måste göras
genom numerisk integration och kräver därför matematisk programvara. Av
den anledningen finns Φ(x) tabulerad längst bak i boken (Tabell 4) vilket vi
kommer att ha användning av om vi ska beräkna sannolikheter för utfall av
normalfördelade slumpvariabler. Att dessa funktioner har fått egna beteckningar
beror på att de används ofta. I själva verket är det så att det räcker att
kunna räkna ut dessa för att kunna beräkna FX(x) för en godtycklig normalfördelning
vilket vi nu skall se.
Låt X ∼ N(µ, σ) och Z ∼ N(0, 1). Vi har tidigare visat att
FX(x) =
x
−∞
1
σ √ 2π
e− (t−µ)2
2σ 2 dt.
Genom variabelsubstitutionen z = (x − µ)/σ får vi att detta kan skrivas som
FX(x) =
(x−µ)/σ
−∞
1
√ 2π e −z2 /2 dz = Φ
x − µ
σ
.