STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 109 – # 113
3.8 NÅGRA VANLIGA KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR 109
Den första termen ger bidrag 0 eftersom det är en udda funktion
( ∞
−∞ ze−z2 /2dz = 0) medan den andra termen ger bidraget µ eftersom
vi tidigare visat att
∞
−∞
1
√ 2π e −z2 /2 dz = 1.
Detta visar således att E(X) = µ. För variansen beräknar vi först E(X 2 ).
Efter variabelsubstitutionen z = (x − µ)/σ får vi
E(X 2 ) =
∞
−∞
2 1
(σz + µ) √ e
2π −z2 /2
dz.
Om vi utvecklar kvadraten (σz + µ) 2 = σ 2 z 2 + 2σµz + µ 2 får vi med hjälp
av tidigare beräkningar att den andra termens bidrag blir 0 och den tredje
termen ger bidraget µ 2 . Den första termens bidrag får vi genom partiell
integration av z 2 e −z2 /2 = z · ze −z 2 /2 . Vi får
σ 2
∞
−∞
z · ze−z2 /2
√ dz = σ
2π 2
z · −e−z2 ∞ /2
√ + σ
2π
−∞
2
∞
e
−∞
−z2 /2
√ dz
2π
= 0 + σ 2 .
Tillsammans får vi således E(X 2 ) = σ 2 + µ 2 , och variansen blir V (X) =
E(X 2 ) − (E(X)) 2 = σ 2 .
Att väntevärdet är µ är som sagt uppenbart genom tolkningen av väntevärde
som jämviktspunkten i fördelningen. Att standardavvikelsen är just σ kan
man däremot inte ”se” från en figur av täthetsfunktionen eller täthetsfunktionens
matematiska form. Att spridning, och därmed standardavvikelsen, ökar
med σ är dock uppenbart om man betraktar Figur 3.21 där täthetsfunktionen
för N(µ, σ) finns inritad för ett antal olika värden på σ.
Vi har redan vid flera tillfällen gjort substitutionen z = (x − µ)/σ och
då fått en täthetsfunktion som svarar mot att µ = 0 och σ = 1. En normalfördelad
slumpvariabel med dessa µ och σ sägs ha den standardiserade
normalfördelningen
DEFINITION 3.26 (STANDARDISERAD NORMALFÖRDELNING)
En normalfördelad slumpvariabel Z med parametrar µ = 0 och σ = 1
sägs vara standardiserad normalfördelad, Z ∼ N(0, 1). Täthetsfunktionen
fZ(z) och fördelningsfunktionen FZ(z) för en standardiserad normal-