STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

108 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 108 – # 112
tidigare behövt visa. Om vi gör substitutionen z = (x − µ)/σ får vi
∞
−∞
fX(x)dx = 1
√ 2π
∞
e
−∞
−z2 /2
dz,
så det gäller således att visa att ∞
−∞ e−z2 √
/2dz = 2π. Kvadraten på denna
integral, dvs. ∞
−∞
man genom att övergå till polära koordinater (z = r cos u och y = r sin v)
vilket ger integralen
2π ∞
re −r2
/2
dr du.
0
0
∞
−∞ e−(z2 +y 2 )/2 dzdy, måste således visas bli 2π. Detta visar
Den inre integralen kan vi lösa explicit eftersom −re −r2 /2 är derivatan av
e −r2 /2 , så ∞
0 re−r2 /2 dr = 1 och hela uttrycket blir således 2π vilket var det
vi skulle visa.
Fördelningsfunktionen FX(t) ges således av
FX(t) =
t
−∞
1
σ √ 2π
e− (x−µ)2
2σ 2 dx.
Denna integral har inget slutet uttryck. För givet µ, σ och t kan den däremot
beräknas numeriskt.
Från Figur 3.20 är det, via tolkningen av väntevärde som jämviktspunkt,
uppenbart att fördelningen har väntevärde µ. Vi visar dock detta, liksom att
standardavvikelsen är σ i följande sats.
SATS 3.21
Om X ∼ N(µ, σ) så gäller
BEVIS
E(Y ) = µ,
V (Y ) = σ 2 ,
D(Y ) = σ.
Från definitionen har vi E(X) = ∞ 1
−∞ x
σ √ 2π
gare gör substitutionen z = (x − µ)/σ får vi
E(X) =
∞
−∞
(σz + µ) 1
√ 2π e −z2 /2 dz.
e− (x−µ)2
2σ 2 dx. Om vi liksom tidi