STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 7 – # 11
2.2 SANNOLIKHETER PÅ UTFALLSRUM 7
Alla tre villkoren i Kolmogorovs axiomsystem är självklara för alla utan att
man reflekterat över det. Det första villkoret är en ren konvention – någon
som pratar om negativa sannolikheter eller sannolikheter större än 1 betraktas
med rätta med skepsis. Även det andra villkoret är en konvention – det har
blivit praxis att den helt säkra händelsen, dvs. den som innehåller alla möjliga
utfall, ges sannolikheten 1. Det tredje villkoret slutligen, säger att sannolikheten
för två oförenliga händelser är lika med summan av sannolikheterna för
var och en av händelserna. Förutsättningen att A och B skall vara oförenliga
i villkor 3 är viktigt – i annat fall gäller inte utsagan.
Den vanligaste tolkningen av en sannolikhet, t.ex. P (A) = 0.3, är att om
man upprepar slumpförsöket många gånger så kommer den relativa frekvensen
för en händelse A ligga nära 0.3. Även för detta sätt att se på sannolikheter
är utsagorna i Kolmogorovs axiomsystem självklara: den relativa frekvensen
ligger ju alltid mellan 0 och 1, den relativa frekvensen för utfall i Ω är förstås
1 (alla utfall ligger ju i Ω så den relativa frekvensen av utfall i Ω blir
1). Slutligen blir den relativa frekvensen av unionen av oförenliga händelser
lika med summan av de respektive relativa frekvenserna: inga utfall ingår ju
i flera händelser, så antalet utfall i unionen blir lika med summan av antal
utfall i respektive händelse.
EXEMPEL 2.4 (Kortdragning, sannolikheter )
I Exempel 2.2 betraktades försöket att dra ett kort slumpmässigt ur en
kortlek. Det betyder att varje kort, dvs. varje utfall, har samma sannolikhet
1/52. (Denna vanliga slumpstruktur kallas likformig sannolikhetsfördelning,
och tas upp i Definition 2.3 i nästa avsnitt.) Sannolikheten för en
händelse blir därför antalet utfall i händelsen dividerat med 52. I exemplet
definierades händelserna A =”klöver”, B =”femma” och C =”klädda”.
Genom att räkna antal utfall i respektive händelse inser man snabbt att
P (A) = 13/52 = 1/4, P (B) = 4/52 = 1/13 och P (C) = 12/52 = 3/13.
Vi konstaterade att händelserna B och C var oförenliga (B ∩ C = ∅). Således
gäller P (B ∪ C) = P (B) + P (C) = 1/13 + 3/13 = 4/13. A ∩ B =
”klöver fem”, så P (A ∩ B) = 1/52.
Det är ofta klargörande att föreställa sig en sannolikhetsfunktion som att
en enhet ”sannolikhetsmassa” smetas ut över ett Venndiagram (t.ex. Figur
2.1, sidan 2). Värdet P (A) kan då ses som hur stor del av sannolikhetsmassan
som ligger i händelsen A. Med denna tolkning är de tre villkoren i Kolmogorovs
axiomsystem också självklara. Även följande sats är självklar med
denna bildtolkning.