STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

EXEMPEL 3.35
2007-10-08 – sida 105 – # 109
3.8 NÅGRA VANLIGA KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR 105
Radioaktiva atomer sönderfaller slumpmässigt i tiden med intensitet β =
7 per sekund. Det betyder att tiden T till nästa sönderfall är Exp(7). Vi
kan då beräkna chansen att denna tid överstiger 0.5 sekunder som P (T >
0.5) = 1 − FT (0.5) = e −7·0.5 ≈ 0.030. Chansen att det dröjer mellan 0.1
och 0.5 ges av P (0.1 ≤ T ≤ 0.5) = FT (0.5) − FT (0.1) = (1 − e −7·0.5 ) −
(1 − e −7·0.1 ) ≈ 0.466.
Vi härleder nu momenten för exponentialfördelningen.
SATS 3.20
Om Y ∼ Exp[β] så gäller
BEVIS
E(Y ) = 1
β ,
V (Y ) = 1
β2 ,
D(Y ) = 1
β .
Väntevärdet ges av E(Y ) = ∞
0 yβe−βy dy. Om vi partialintegrerar detta får
man
E(Y ) = −ye −βy∞
0 +
= 0 + − e−βy
β
∞
0
∞
0
e −βy dy
= 1
β .
Att −ye−βy∞ 0 = 0 följer av att ye−βy går mot 0 då y går mot oändligheten,
och för y = 0 blir uttrycket också 0. För att beräkna E(Y 2 ) använder
vi också partialintegration.
E(Y 2 ) =
∞
0
y 2 βe −βy dy = −y 2 e −βy∞
0 +
∞
0
2ye −βy dy.