STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

ÖVNING 3.49
Låt U ∼ Re[−5, 5]. Bestäm
a) fU (u)
b) FU (u)
c) Intensiteten λU (u).
ÖVNING 3.50
2007-10-08 – sida 103 – # 107
3.8 NÅGRA VANLIGA KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR 103
Ett s.k. slumptal brukar oftast innebära ett tal u från Re[0, 1] (se mer om
detta i Kapitel ?? på sidan ??). Antag att U ∼ Re[0, 1].
a) Vad är chansen att första decimalen är 5?
b) Vad är chansen att andra decimalen är 5?
c) Vad är variationskoefficienten R(U)?
ÖVNING 3.51
Visa att för U ∼ Re[a, b] så gäller att V (U) = (b − a) 2 /12. (L)
3.8.2 Exponentialfördelning
Vi ska nu gå igenom en positiv kontinuerlig fördelning som förekommer ofta
i tillämpningar, nämligen exponentialfördelningen som vi tidigare stött på.
Antag att Y är tiden tills en händelse inträffar och att intensiteten med vilket
händelsen inträffar är konstant, dvs. att λY (y) = β för något β > 0. Innebörden
av detta är att chansen att händelsen inträffar i ett kort intervall (t, t + h),
betingat av att den inte inträffat innan t, är lika med λh. Det speciella är att
intensiteten är oberoende av hur långt tid t som har passerat, så intensiteten
är konstant. Man brukar därför prata om minneslöshet vilket nämndes i
Exempel 3.12 på sidan 54.
Hur ser då fördelningsfunktionen FY (y) ut för denna intensitet? Vi har ju
att
λY (y) = fY (y)
= β,
1 − FY (y)
och det gäller alltid att täthetsfunktionen satisfierar fY (y) = F ′
Y (y). Detta
är ju en bekant matematisk funktion. Uttrycket till vänster i ekvationen kan
nämligen skrivas som − d
dy ln(1 − FY (y)) vilket alltså skall vara lika med β.