STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

102 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
SATS 3.19
Om U ∼ Re(a, b) så gäller
BEVIS
a + b
E(U) =
2 ,
(b − a)2
V (U) = ,
12
b − a
D(U) = √ .
12
2007-10-08 – sida 102 – # 106
Vi visar påståendet om väntevärdet och överlåter beviset av variansen/standardavvikelsen
åt läsaren (Övning 3.51).
E(U) =
EXEMPEL 3.34
∞
−∞
xfX(x)dx =
b
a
x
b − a dx = b2 − a2 b + a
=
2(b − a) 2 .
En person som inte kan tidtabellen anländer till en busshållplats där bussarna
går var tionde minut. Då är väntetiden T för personen likformigt
fördelad mellan 0 och 10 (T ∼ Re[0, 10], enhet minuter). Förväntad väntetid
blir E(T ) = (0 + 10)/2 = 5 minuter och standardavvikelsen för
väntetiden blir D(T ) = 10/ √ 12 ≈ 2.89. Chansen att personen får vänta
mer än 7 minuter blir 1 − FT (7) = 1 − (7 − 0)/(10 − 0) = 0.3 och chansen
att väntetiden blir högst 5 minuter blir FT (5) = (10 − 5)/(10 − 0) = 0.5.
ÖVNING 3.48
Låt U ∼ Re[10, 20]. Bestäm
a) P (10 ≤ U ≤ 13.
b) P (U > 12).
c) E(U) och D(U).