STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

98 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
av
pX(k) = P (X = k) =
Man skriver X ∼ NegBin(r, p).
EXEMPEL 3.33
2007-10-08 – sida 98 – # 102
k − 1
p
r − 1
r q k−r , k = r, r + 1, r + 2, . . . .
Vid en flygplats landar plan i tid (dvs. utsatt tid plus/minus 10 minuter)
oberoende av varandra med sannolikhet 0.6. Då är antalet plan X som
behöver landar för att 5 skall ha landat i tid NegBin(r = 5, p = 0.6). T.ex.
är chansen att det behövs 10 landningar pX(10) = 9 4 0.650.45 = 0.1003.
Det går att härleda väntevärde och varians utifrån definitionen och sannolikhetsfunktionen,
men ett betydligt lättare sätt är att använda momenten för
ffg-fördelningen tillsammans med insikten att en negativ binomialfördelad
slumpvariabel är detsamma som summan av r ffg-variabler, alla med samma
p. För att använda detta måste vi dock lära oss om egenskaper hos summor av
slumpvariabler vilket behandlas i Avsnitt 3.11.3 på sidan 144. Beviset av satsen
nedan sparas därför till det avsnittet, närmare bestämt till Exempel 3.48
på sidan 147.
SATS 3.18
Om X ∼ NegBin(r, p) så gäller
E(X) = r
p ,
V (X) = rq
,
p2 √
rq
D(X) =
p .
ÖVNING 3.41
Låt X ∼ ffg(p = 0.3) Bestäm
a) P (X = 4),