STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

först E(X 2 ). Vi får
k=1
2007-10-08 – sida 97 – # 101
3.7 NÅGRA VANLIGA DISKRETA FÖRDELNINGAR 97
E(X 2 ∞
) = k 2 q k−1 ∞
p = (k(k − 1) + k)q k−1 p
= qp
∞
k=1
k=1
d 2
dq 2 qk + 1
p ,
där vi för första termen brutit ut qp, sedan skrivit k(k − 1)qk−2 som andraderivatan
av qk , och använt att den andra termen är väntevärdet som
vi just räknat ut till 1/p. Eftersom summan är absolutkonvergent kan
vi byta ordning på summation och derivering och vi får d2
dq2 ∞ k=1 qk =
d2 dq2 −1+(1−q) −1 = 2(1−q) −3 . Detta medför att E(X 2 ) = (2−p)/p2 och således
att variansen ges av V (X) = E(X 2 )−(E(X)) 2 = (2−p)/p2−1/p2 =
q/p2 .
Från väntevärdets uttryck ser vi således att vi i genomsnitt behöver fler försök
ju mindre p är. Något som inte är förvånande – ju mindre chans vi har
att lyckas i ett enskilt försök ju fler försök lär behövas innan vi lyckas. Även
spridningen (variansen eller standardavvikelsen) ökar då p minskar. I patiensexemplet
ovan (Exempel 3.32) har vi att E(X) = 100 och D(X) = 99.5.
För-första-gångenfördelningen är ett specialfall av en mer allmän fördelningen
som kallas negativ binomialfördelning. Denna fördelning uppstår för
samma typ av experiment, dvs. att ett försök som resulterar i lyckat utfall med
sannolikhet p upprepas oberoende gånger, men nu upprepas försöket tills att
man gjort r (r ≥ 1) lyckade försök. ffg-fördelningen är således specialfallet
att r = 1. Vad är då chansen att vårt r:te lyckade inträffar just efter k försök?
Jo, bland de k − 1 första försöken skall vi ha fått r − 1 lyckade och
k − 1 − (r − 1) = k − r misslyckade, samt att vi i det k:te försöket ska få ett
lyckat. Chansen för det senare är förstås p. Chansen att få r − 1 lyckade på
k − 1 försök är k−1
r−1 pr−1qk−r k−1
, eftersom det kan ske på r−1 sätt, och varje
sätt har sannolikheten pr−1qk−r . Den eftersökta sannolikheten blir således
p · k−1 r−1 pr−1qk−r . Vi definierar nu denna fördelning.
DEFINITION 3.22 (NEGATIV BINOMIALFÖRDELNING)
En diskret slumpvariabel X sägs vara negativ binomialfördelad med parametrar
r ≥ 1 (heltal) och p (0 < p < 1) om sannolikhetsfunktionen ges