STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

96 KAPITEL 3 SLUMPVARIABLER
2007-10-08 – sida 96 – # 100
sannolikheten att vi inte har fått något lyckat bland de k första försöken, dvs.
att vi bara fått misslyckade bland de k första försöken. Vi har således att
P (X > k) = q k och
FX(k) = 1 − q k , FY (k) = 1 − q k+1 .
Av denna anledning behövs ingen tabell för ffg eller geometrisk fördelning.
Vi räknar nu ut väntevärde och varians för fördelningen.
SATS 3.17
Om X ∼ ffg(p) och Y ∼ Geo(p) gäller
BEVIS
E(X) = 1
q
, E(Y ) =
p p ,
V (X) = q
q
, V (Y ) = ,
p2 p2 √ √
q
q
D(X) = , D(Y ) =
p p .
Vi visar satsen för ffg och lämnar motsvarande för geometrisk fördelning
till läsaren (Övning 3.47). Eftersom den geometriska fördelningen alltid
är ett mindre än ffg bör det ju dock inte överraska att väntevärdet är ett
mindre (1/p − 1 = q/p), och kanske inte heller att spridningen, t.ex. mätt
med varians eller standardavvikelse, är oförändrad. För X gäller
∞
E(X) = kq k−1 ∞ d
p = p
dq qk ,
k=1
k=1
eftersom d
dq qk = kqk−1 . Eftersom q = 1 − p så gäller att 0 < q < 1
och för sådana q är summan ifråga absolutkonvergent. Vi får därför byta
ordning på summation och derivering trots att summan innehåller oändligt
många termer, och vi får E(X) = p d ∞ dq k=1 qk . Men ∞ k=1 qk = −1 +
∞ k=0 qk = −1 + (1 − q) −1 . Genom att derivera detta m.a.p. q får vi att
E(X) = p(1 − q) −2 = 1/p vilket skulle bevisas. För variansen beräknar vi