STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar

2007-10-08 – sida 6 – # 10
6 KAPITEL 2 SANNOLIKHETSTEORINS GRUNDER
c) Bestäm V dagarna i stjärntecknet Vågen (Vågen inträffar mellan 24/9
och 23/10).
d) Uttryck följande händelser i termer av S, O och V , samt i termer av
de enskilda utfallen: september månads dagar då inte Vågens stjärntecken
inträffar, dagarna i oktober då Vågen inträffar, dagarna då det är
september eller Vågen inträffar.
2.2 Sannolikheter på utfallsrum
Nu när vi preciserat vad som menas med utfallsrum ska vi definiera slumpförsök
på sådana och sannolikheter på utfallsrum. Ett slumpförsök på ett utfallsrum
består av ett försök som resulterar i ett av utfallen i utfallsrummet,
och man kan på förhand inte veta exakt vilket av utfallen som kommer att inträffa.
I stället beskrivs slumpförsöket genom att precisera sannolikheten för
(alla) händelser i utfallsrummet. Sannolikheten för händelsen A brukar skrivas
P (A) inspirerat av engelskans ”probability”. Man ställer dock vissa krav
på funktionen P (·) för att den skall få kallas sannolikhetsfunktion. Följande
högst rimliga krav på sannolikheter infördes av den ryske matematikern
Andrei Kolmogorov (1903-1987):
DEFINITION 2.2 (KOLMOGOROVS AXIOMSYSTEM)
En reell funktion, P , på händelser i utfallsrummet Ω är en sannolikhetsfunktion
om den uppfyller följande tre villkor (axiom):
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1 för alla händelser A ⊂ Ω,
2. P (Ω) = 1,
3. om A ∩ B = ∅ så gäller P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Om utfallsrummet är oändligt ersätts villkor 3 med
3’. Om A1, A2, . . . är en oändlig följd av parvis oförenliga händelser (dvs.
Ai ∩ Aj = ∅ för alla i = j) så gäller P (∪ ∞
i=1Ai) = ∞ i=1 P (Ai).
ANMÄRKNING 2.1
I Axiom 1 räcker det att P (A) ≥ 0. Att P (A) ≤ 1 följer av de övriga
axiomen, se Övning 2.10.