Föreläsning 4 - KTH

Föreläsning 4
Matematik CD för TB
2702 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två
figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler:
Svar: 6.75 cm 2
2.0 · 2.5 +
AR = b · h AT =
2.5(3.5 − 2.0)
2
= 5 +
2.5 · 1.5
2
b · h
2
= 5 + 1.875 ≈ 6.9
2702 b) Först bestämmer vi den stora rektangelns area. Därefter de små rektanglarnas, som har samma
area. Därefter subtraherar vi dessa från den stora.
Svar: 10 cm 2
3(1.5 + 1.0 + 1.5) − 2(1.0 · 1.0) = 12 − 2 = 10
2702 c) Figuren består av två lika stora parallelltrapetser. Formeln för dess area är
Vi får
Svar: 11 cm 2
APT =
h(a + b)
2
2.0(2.0 + 3.5)
2 ·
= 2 · 5.5 = 11
2
2702 d) Om man ser denna figur som två eller fyra sammansatta trianglar spelar ingen roll. Eftersom de
två diagonalerna skär varandra under rät vinkel kan de användas som höjder i trianglarna. Vår
formel blir
och vi får
Svar: 6 cm 2
4 ·
AT =
2.0 · 1.5
2
b · h
2
= 4 · 1.5 = 6
2703 a) Figuren består av två halvcirklar med samma radie ( som alltså tillsammans utgör en hel cirkel)
och en rektangel. Vi behöver formlerna
för att räkna ut arean och formeln
för att räkna ut omkretsen. Först arean
Sedan omkretsen
Svar: Arean är 14.7 cm 2 och omkretsen 15.4 cm
AR = b coth AC = πr 2
OC = 2πr
3.6 · 2.6 + π1.3 2 = 9.36 + 1.69π ≈ 14.7
2 · 3.6 + 2 · 2.6 + 2π1.3 ≈ 15.4
Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

Matematik CD för TB
2703 b) Figuren består av en rektangel ’minus’ ett halvcirkel. Vi behöver formlerna
för arean och formeln
för att räkna ut omkretsen. Först arean
Sedan omkretsen
AR = b coth AC = πr 2
OC = 2πr
2.5 · 4.4 − π1.252
2
2 · 4.4 + 2.5 + 2π1.25
2
Svar: Arean är 8.5 cm 2 och omkretsen 15.2 cm
≈ 8.5
≈ 15.2
2704 a) Arean av det skuggade området består av arean hos en halvcirkel ’minus’ arean hos en triangel.
Höjden i triangeln är (antagligen) lika med cirkelns radie. Formler:
Vi får
AT =
Svar: Den skuggade arean är 4.2 cm 2
b · h
2
π2.7 2
2
− 5.4 · 2.7
2
AC = πr 2
≈ 4.2
2704 b) Den skuggade arean är arean av en rektangel minus arean av en halvcirkel. Höjden i rektangeln
är förstås lika med cirkelns radie. Vi behöver formlerna:
som ger
Svar: 0.84 cm 2
AR = b · h AC = πr 2
2.8 · 1.4 − π1.42
2
≈ 0.84
2705 a) Det stora området består av en kvadrat med sidan a. Alla trianglar med basen a och höjden a
har arean
a · a a2
AT = =
2 2
Det skuggade området, som vi kallar biten har då arean
A = a 2 − a2
2
a 2
2
a 2
1
= 2a2
2
− a2
2
= a2
2
Procentsatsen får vi fram genom att dividera ’biten’ med ’det hela’ och sedan multiplicera med
100. Alltså
a2 2 · 100 = · 100 =
a2 a2 1 1
· · 100 = · 100 = 50
2 a2 2
Svar: 50%
Håkan Strömberg 2 KTH Syd Haninge

Matematik CD för TB
2705 b) Det hela, är ett område som består av en rektangel. Delen eller ’biten’ består av rektangelns area
minus cirklarnas. Cirklarnas radie bör vara r och rektangelns bas 4r. Vi får med hjälp av formlerna
Svar: 21.5%
(4r)(2r) − 2 · πr 2
(4r)(2r)
AR = b · h AC = πr 2
· 100 = 8r2 − 2πr 2
8r 2
· 100 = r2 (8 − 2π)
8r 2
· 100 =
8 − 2π
8
· 100 ≈ 21.5
2705 c) Denna gång är ’det hela’ arean av en halvcirkel och arean av det skuggade området arean av en
halvcirkel minus arean av en cirkel. Du ser väl att den lilla cirkeln har radien r/2? Vi behöver
därför bara denna formel
AC = πr 2
och får
Svar: 50%
πr2
r
− π
2 2
πr2 2
2
πr
· 100 =
2
− πr2
2 4
πr2 · 100 =
2
2 · 1 1
−
2 · 2 4
1
2
· 100 =
2 − 1
4
1
2
πr2
1 1
−
2 4
πr2 2
· 100 =
· 100 = 1 2
· · 100 = 50
4 1
1 1
−
2 4
1
2
· 100 =
2705 d) Det skuggade området är här fyra kvartscirklar som tillsammans utgör en hel cirkel med radien
r. Hela området är en kvadrat med sidan 2r. Med formlerna
får vi
Svar: 75%
πr 2
(2r)(2r)
AC = πr 2
2706 Formeln för parallelltrapetsens area är
AK = s · s
πr2 π · 100
· 100 = · 100 = = 25π ≈ 75
4r2 4
APT =
h(a + b)
2
Denna formel ska vi använda tre gånger för att få figurens area
Svar: 67.2 cm 2
4(5.8 + 4.2)
2
+ 4(4.2 + 7.2)
2
+ 4(7.2 + 5.0)
2
= 4 · 10
2
+ 4 · 11.4
2
+ 4 · 12.2
2
2 · 10 + 2 · 11.4 + 2 · 12.2 = 2 · (10 + 11.4 + 12.2) = 2 · 33.6 = 67.2
Håkan Strömberg 3 KTH Syd Haninge
=

2707 a) För en cirkelsektors area gäller formeln
Matematik CD för TB
ACS = v
360 πr2
där v står för medelpunktsvinkeln. För en cirkelsektors omkrets gäller formeln
OCS = 2 · r + v
360 2πr
alltså två radier plus båglängden. I den här uppgiften är inte v given, men vi kan bestämma
omkretsen genom att studera figuren
OCS = 4.0 + 4.0 + 3.5 = 11.5
När vi nu har omkretsen kan vi bestämma v med formeln ovan och vi får följande ekvation:
2 · 4.0 + v
2π · 4.0 = 11.5
360
8.0 + v
2π = 11.5
90
v
· 2π = 11.5 − 8.0
45
45(11.5 − 8.0)
v =
2π
v ≈ 25.01
När vi nu har vinkeln kan vi bestämma arean Asc med formeln ovan och vi får
ACS = 25.01
360 2π · 42 ≈ 7
Den svåraste uppgiften hittills i kursen, med hela tre steg!
1 Bestäm omkretsen
2 Bestäm medelpunktsvinkeln
3 Bestäm arean
Svar: Omkretsen är 11.5 cm och arean 7 cm 2
2707 b) Den här uppgiften är enklare. Vi har medelpunktsvinkeln given och kan direkt teckna både
omkrets och area. Först omkretsen:
Sedan arean:
OCS = 2 · r + v
72 24π
2πr = 2 · 12 + 2π12 = 24 + ≈ 39
360 360 5
ACS = v
360 πr2 = 72
Svar: Omkretsen 39 cm och arean 90.5 cm 2
360 π · 122 = 1
5
π · 144 = 144π
5
≈ 90.5
Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

Matematik CD för TB
Figur 1:
2708 För en geometrisk uppgift som bara består av text gäller det att rita figur. Det gör det hela mycket
lättare. I en triangel kan man dra tre höjder h1,h2 och h3, var och en mot en av sidorna b1,b2
och b3. Det betyder att man kan bestämma arean på tre olika sätt:
AT = b1 · h1
2
= b2 · h2
2
= b3 · h3
2
I denna uppgift finns b1 = 16 och b2 = 12 givna samt h1 = 10.5. Vi får nu en ekvation genom
vilken vi kan bestämma h2:
Svar: 14 cm
h2 = 42
3
16 · 10.5
2
= 12 · h2
h2 =
= 14
2
16 · 10.5 · 2
2 · 12
Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

2709 Med hjälp av formeln
kan vi ställa upp följande ekvation
Svar: 7 cm
Matematik CD för TB
Figur 2:
APT =
h(a + b)
2
63 =
h(6 + 12)
2
63 = 18h
2
63 = 9h
h = 7
Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge