HALVLEDARE

HALVLEDARE
Inledning
Halvledare har varit den i särklass viktigaste materialkategorin för den högteknologiska
utvecklingen under 1900-talet. Man kan också säga att inget annat
exempel kan mer tydligt visa hur kvantmekaniken lyckats styra den teknologiska
utvecklingen i en riktning som varit helt omöjlig inom ramen för den klassika fysiken.
Med klassisk fysik kan man förklara att metaller har god ledningsförmåga och att
ledningsförmågan avtar med ökande temperatur. Att isolatorer inte kan leda ström kan
också enkelt förklaras med avsaknad av laddningsbärare i materialet. Att ett material
leder ström mycket dåligt vid låga temperaturer men förbättrar sin ledningsförmåga
med ökande temperatur går inte att förklara med klassik teori går däremot inte att
förklara med klassisk fysik.
Utgående från elektronbandstrukturen kan man härleda ledningsförmågan hos
halvledare. Verkliga halvledare har en mer komplicerad elektronbandstruktur än de
schematiska diagram som jag visat i avsnittet om energiband. Figur 1 visar ett
energibanddiagram för germanium. Kisel har samma kristallstruktur som germanium
(diamantstruktur) och har ett liknande diagram men med ett större bandgap, 1.1 eV
mot germanium 0.67 eV. Germanium har hybridorbitaler av 4s 1 p 3 .Hybrid innebär att
det finns fyra orbitaler som är linjärkombinationer av s- och p x, p y och p z –orbitaler.
Det finns N k-tillstånd per band, N är antal gitterpunkter i kristallen (eller per
volymsenhet kristall). Diamantstrukturen har fcc-gitter med två atomer i basen. Det
ger 8 valenselektroner per gitterpunkt, två elektroner i varje k-tillstånd och därmed 4
fyllda band (vid 0 K), dvs 4 valensband vilket framgår av figuren. Bandgapet är
indirekt vilket innebär att valensbandets maximum (=valensbandkanten) och
minimum för ledningsbandet (=ledningsbandkanten) inte inträffar för samma k. Ett
direkt bandgap har bandkanterna vid samma k. Vad ni också ska observera är att
valensbandkanten ligger i zon-centrum (k=0). En annan sak värd att påpeka men som
inte framgår av diagrammet är att krökningen på banden vid bandkanterna är
kraftigare än för FEM-band.
Den enklaste modellen för en halvledares elektrontillstånd, som vi kommer att
använda här, utgår från FEM-lika band i bandkantsområdena, dvs E(k) µ k 2 för både
valens- och ledningsband. Krökningen på banden är kraftigare än för rena FEM-band
och det innebär att de effektiva massorna för hål respektive elektroner är lägre än frielektronmassan.
Man inför dessutom att banden är ickedegenererade, de olika banden
har olika energi för samma k-tillstånd. Dessutom har modell-halvledaren ett direkt
bandgap. En schematisk skiss av energibanden ser ut som i figur 2. Valensbandskanten
ligger vid E=0 vilket inte är den verkliga energin men införs för att förenkla
beräkningarna.
I en halvledarkristall utan föroreningar kan tillskottet av elektroner i ledningsbandet
endast komma från elektroner som exciterats från valensbandet. Det innebär att det
finns lika många hål i valensbandet som elektroner i ledningsbandet. Man brukar kalla
dessa elektroner och hål för intrinsiska laddningsbärare därför att de kommer från
kristallens egna atomer (värdatomerna).
1

Figur1. Kopierad från Kittel, ”Introduction to Solid State Physics”.
2

FEM-band
E v
Figur 2
E c
FEM-band
Antalet ledningselektroner och hål
Hur många elektroner som befinner sig i tillstånd i ledningsbandet beror på
temperaturen och bestäms kvantitativt av Fermi-Diracs fördelningsfunktion och
tillståndstätheten. Antalet intrinsiska elektroner i ledningsbandet är:
•
Ú E) fFD (T,E)dE
E c
n i = g e (
Indexeringen på tillståndstätheten, g e markerar att den gäller för elektronerna i
ledningsbandet. Integreringen görs över hela ledningsbandet från bandkanten på
ledningsbandet med energin E c till oändligheten. Elektronens energi i ledningsbandet
är för FEM-lika band:
E = E c + h2 k 2
2m e
m e är elektronens effektiva massa. Eftersom en halvledare inte är en frielektronmetall
så anpassar man detta med att införa en effektiv massa, precis som för icke
frielektronlika metaller. Uttrycket ovan kan skrivas om:
E - E c = h 2 k 2
2m e
E F
hål
3
E(k)
ledningsband
E g
valensband
k

Tillståndstätheten kan uttryckas p.s.s som i FEM:
g e(E) = 1
2p 2
Ê
Á
Ë
2me h 2
3 / 2
ˆ
1/ 2
˜ (E - E
¯
C)
Fermi-Diracfördelningen kan förenklas om E-E F >> k BT. (k BT≈25 meV vid
rumstemperatur ) vilket gäller för det intressanta temperaturområdet, givet att vi antar
att ferminivån E F ligger mitt i bandgapet men framförallt inte för nära bandkanterna.
Notera att vi använder begreppet ferminivå för kemiska potentialen i sammanhanget
halvledare. Som tidigare nämnts i ”Metallers egenskaper” så gör man det i
halvledarbranschen. Ferminivån skall inte sammanblandas med fermienergin för
metaller även om de båda har samma beteckning.
f e =
=>
n i = 1
2p 2
1
e E- E ( F ) ª e / k B T
+1 E ( F - E)/
kB T
Ê
Á
Ë
2m e
h 2
ˆ
˜
¯
eftersom E c=E g:
ni = 2 mek BT Ê ˆ
Á ˜
Ë ¯
2ph 2
3 / 2
e E F / k B T
•
Ú
E c
3/ 2
e E F - E ( g )/ kB T
( )
E - E c
1/ 2
e - E / k B T dE =
4
2 mekBT Ê
Á
ˆ
˜
Ë ¯
2ph 2
3 / 2
e E F -E ( c )/ kB T
Eftersom E g ≥ E F kommer antalet elektroner att öka exponentiellt med ökande
temperatur, som figur 4 visar.
Inte bara elektronerna i ledningsbandet bidrar till elektrisk ledningsförmåga.
Valensbandet töms på elektroner vilket gör det möjligt för elektroner i de översta
nivåerna att byta tillstånd inom bandet men istället för att beskriva elektronerna i
valensbandet så beskriver man de tomma tillstånden, hålen som fysiska partiklar. Den
bilden är enklare att använda för det blir en spegelbild till elektronerna i
ledningsbandet.
Hålets energi i det paraboliska valensbandet är:
E = - h 2 k 2
2m h
m h är hålets effektiva massa. Tillståndstätheten för hål är:
g h (E) = 1
2p 2
Ê
Á
Ë
2m h
h 2
ˆ
˜
¯
3/ 2
1/ 2
(-E)
(E

Sannolikheten för hål i valensbandet bestäms av 1-f FD(E,T). Eftersom vi antar att
ferminivån ligger någonstans mitt i bandgapet så gäller för energier i valensbandet att
E F-E >> k BT och Fermi-Dirac-funktionen kan förenklas till:
1 -
e
1
( E- EF ) =
/ k BT
+ 1 e E ( F -E ) ª e / k B T
+1 E- E ( F )/ kB T
Antalet hål kan uttryckas som:
0
pi = Ú gh ( E)(1 - fFD (T, E))dE = 2 mhk BT Ê
Á
ˆ
˜
Ë ¯
-•
1
2ph 2
3/ 2
e -E F / k B T
Diagrammet nedan visar funktionerna som ingår i integralerna i ekv. (1) och (2),
tillståndstätheterna och Fermi-Diracs fördelningen och produkterna av dessa, dvs
elektrontätheten per energienhet vid en viss temperatur. Ytan under produkterna är
Figur 3
lika med n i respektive p i. Observera att n i och p i står för antal elektroner och hål per
volymsenhet.
Multipliceras n i och p i (uttrycken enligt ekv.(1) och (2)) så erhålls produkten:
ni pi = 4 kBT Ê
Á
ˆ
˜
Ë ¯
5
0
20
15
25
10
g h (E)
30
2ph 2
f FD (E,T)
3
( )
m e m h
B
g h (E)*(1-f FD (E,T))
3/ 2
e - E g / k B T
E F
E v =0 E
E c
vilket är ett användbart uttryck eftersom inte ferminivån ingår. För en intrinsisk
halvledare gäller att det finns lika många elektroner i ledningsbandet som antalet hål i
valensbandet vid en viss temperatur:
5
g e (E)*f FD (E,T)
g e (E)
(2)
(3)

ni = pi = ni pi = 2 k Ê
Á BT ˆ
˜
Ë ¯
2ph 2
3 / 2
( )
m em h
3 / 4
e - Eg / 2kB T
Figur 4 visar den exponentiella ökningen av antalat laddningsbärare i lednings
respektive valensband. Brytpunkten, den temperatur som ökningen blir markant beror
av bandgapet storlek. Kisel med 1.1 eV bandgap har brytpunkten över
rumstemperatur och rent kisel har därför mycket dålig ledningsförmåga vid
rumstemperatur. InSb med bandgapet 0.18 eV har en kraftig ökning av antalet
antal elektroner(hål)
Temperatur
laddningsbärare redan i rumstemperaturområdet.
Figur 4
Ekv. (4) är mer användbar än ekv. (1) och (2) eftersom den inte innehåller ferminivån.
Ferminivån är temperaturberoende vilket framgår av följande:
Ekv. (2) och (4) ger varsitt uttryck för antalet hål:
6
(4)

pi = 2 m Ê hkBT ˆ
Á ˜
Ë ¯
2ph 2
pi = 2 k Ê BT ˆ
Á ˜
Ë ¯
fi
2ph 2
Ê
Á
Ë
e -E F / k BT = m e
3 / 2
e -E F / k B T
3 / 2
( ) 3/ 4 e - E / 2k g BT
m h
ˆ
˜
¯
m em h
3/ 4
e -E g / 2k BT
fi
EF = 1
2 E 3
g +
4 kBT ln m Ê ˆ
h
Á ˜ (5)
Ë ¯
m e
Fermienergin hamnar alltså någonstans i bandgapet och om elektroner och hål har lika
stora massor eller temperaturen är 0 K så hamnar den mitt i bandgapet. Skillnaden i
effektiv massa för hål och elektroner i kisel och germanium är inte så stor att det
skjuter fermienergin nära någon av bandkanterna. Det innebär att antagandena som
gjordes tidigare om E-E F >> k BT och E F-E >> k BT gäller inom modellen.
Konduktivitet och mobilitet
Drudes uttryck för en frielektronmetalls konduktivitet kan användas även för
halvledare om man inför effektiv massa och adderar bidragen från hål och elektroner:
s = ne2 t e
m e
+ pe2 t h
m h
Konduktiviteten beror av antalet elektroner i ledningsbandet och hål i valensbandet
vilka ökar exponentiellt med ökande temperatur. Det finns förutom n och p ytterligare
två tempraturberoende storheter, t e och t h men med ett mycket svagare
temperaturberoende. Man kan visa (vilket ligger utanför ramen för denna kurs) att:
t µ T 3/ 2 vid låga temperaturer när kollisioner med föroreningar dominerar
och
t µ T -3/ 2 vid högre temperaturer när kollisioner med fononer dominerar.
Vad som avses med hög respektive låg temperatur beror av föroreningshalten i provet
och brytpunkten förflyttas mot högre temperaturer med ökande antal föroreningar.
Temperaturberoendet är alltså inte detsamma som för t i metaller.
Konduktiviteten begränsas något av att elektronernas rörlighet påverkas av
föroreningar och fononer och man inför därför en storhet för laddningsbärarnas
rörligheten, mobiliteten:
7
(6)

m =| v drift | / E
som den fältoberoende driften. E är beloppet på elektriska fältet och v drift är som för
metaller drifthastigheten i ett yttre elektriskt fält. Vid härledningen av drifthastigheten
i avsnittet om metallers konduktivitet:
v drift = qE
m t
Det innebär att mobiliteten för ledningselektroner respektive hål kan uttryckas i t e och
t h enligt:
m e = et e
m e
m h = et h
m h
Konduktiviteten i ekv. (6) kan då uttryckas i mobilitet:
s = nem e + pem h
och med ekv. (4) för antalet laddningsbärare vid intrinsisk ledning insatt:
Ê kBT ˆ
s = 2eÁ
˜
Ë ¯
2ph 2
3/ 2
( )
m e m h
( )
3 / 4
e - Eg / 2k BT me + m h
För högre temperaturer och/eller låg föroreningsgrad är mobiliteterna propotionella
mot T -3/2 :
-3/ 2
m µ T
Det innebär att konduktivitetens temperaturberoende (utom vid riktigt låga
temperaturer) endast återfinns i exponentialfunktionen:
s(T) µ e - E g / 2k B T
En halvledares bandgap kan därför bestämmas genom att mäta ledningsförmågan vid
olika temperaturer, se figur 5 nedan. Det kommer ni att få göra på laborationen
Halvledarfysik. Mobiliteten går inte att mäta direkt men det finns en metod att
bestämma antalet laddningsbärare.
8
(7)

log( s)
i
Figur 5
lutningen=E g /2k B
1/Temperatur
9

Halleffekt
Halleffekt är ett fenomen som uppstår i ett material med både elektron- och/eller
hålledning och innebär att laddningarna separeras i närvaro av ett yttre elektriskt och
magnetiskt fält pga av Lorentzkraften. Antalet laddningsbärare av den typ som är i
majoritet i kristallen (hål eller elektroner) kan bestämmas från en Halleffektsmätning
och mäter man dessutom provets konduktivitet så kan mobiliteten bestämmas ur
sambandet i ekv. (7).
Halleffekten kommer att mätas på laborationen Halvledarfysik och labinstruktionen
innehåller också en härledning. OBS, måste göras som förberedelse till laborationen!
Störledning
I föregående avsnitt behandlades egenledning i halvledare. Inget prov är dock helt fritt
från föroreningar och i halvledare kan dessutom föroreningar av kontrollerad sort och
mängd användas för att erhålla en önskad ledningsförmåga. Denna typ av medveten
förorening av ett prov kallas dopning. Här följer en fysikalisk beskrivning av dopning,
dess påverkan på laddingsbärarantalet och ledningsförmågan.
n-dopning
Kisel och germanium kristalliserar i diamantstruktur med kovalenta bindningar. Det
innebär att de fyra valenselektronerna s 2 p 2 binder till fyra andra atomer. Dopar man
med ett grundämne som har en elektron mer, dvs har fem valenselektroner som fosfor,
arsenik eller antimon binder föroreningsatomen till fyra värdatomer men den femte
elektronen blir över och blir mycket löst bunden till föroreningsatomen. Dopning med
ett grundämne som har fler valenselektroner än värdmaterialet kallas för n-dopning. n
för elektroner eftersom den löst bundna elektroner ger ett tillskott av elektroner som
lätt exciteras till ledningsbandet. Figuren nedan visar detta i en förenklad endimensionell
bild. Donatoratomen (donator=föroreningsatom med fler
valenselektroner än värdatomen) är markerad med grå färg, alla elektroner som deltar
i de ordinarie kovalenta bindningarna är mörkgrå och den löst bundna extra
elektronen är ljusgrå. Till höger visas ett schematiskt energidiagram där ledningsband
och valensband visas som fyrkantiga rutor efter en energi-axel vertikalt men ingen
horisontell skala (ingen k-axel). Inom halvledarfysiken är denna mycket enkla bild
vanligt förekommande. Energibandens bredd motsvaras av rutans längd i y-led. En
energinivå, dopnivån strax under ledningsbandet anger energin hos donatorernas extra
elektron. Den är löst bunden och har därför mycket högre energi än elektronerna i
valensbandet. Från donatornivån som har ett mycket mindre bandgap (beteckning E d )
kan elektroner exciteras vid mycket lägre temperatur än från valensbandet.
Donatorbandgapet är i storlek 10-50 meV för fosfor, arsenik och antimon i kisel och
germanium. Donatorerna brukar förekomma i koncentrationer 1 donator på 10 4 -10 6
värdatomer och kan öka ledningsförmågan med en faktor 10 2 -10 4 vid rumstemperatur
för kisel. Antalet elektroner i donatornivån är alltså relativt begränsat jämfört med
elektroner i valensbandet och det innebär att donatornivån har tömts vid höga
temperaturer. Samtliga elektroner som tillhör donatorerna befinner sig då i
ledningsbandet och samtliga donatorer är därmed joniserade.
10

Figur 6
n-DOPAD HALVLEDARE
Donator har en elektron mer än värdatomerna
Antalet donatorer betecknas med N d. Figur 7 visar hur elektroner exciteras från
dopnivån vid låga temperaturer och över en viss temperatur är samtliga elektroner i
dopnivån exciterade till ledningsbandet. Vid höga temperaturer exciteras också
elektroner från valensbandet och dessa blir vid en tillräckligt hög temperatur så många
att dopningen inte har någon betydelse. Figur 8 nedan visar antalet ledningselektroner
som funktion av invers temperatur. Brytpunkten mellan egenledning och fullständigt
11
ledningsband
dopnivå
valensband
T=0K
Ed
Eg

störledning bestäms av antalet donatorer, ju fler donatorer per volymsenhet ju högre
temperatur vid brytpunkten. Kisel och germanium har så stort bandgap att
egenledningen är mycket liten vid rumstemperatur. Ledningsförmågan vid
rumstemperatur bestäms därför av koncentrationen donatorer i dopat kisel och
germanium:
s = N d em e
Bidraget från hålledningen kan försummas, p

Figur 7
k B T

log(n)
log(N d )
Figur 8
Massverkans lag och laddningsneutralitet
Vid n-dopning finns det fler elektroner i ledningsbandet än hål i valensbandet vid
temperaturer där inte egenledningen dominerar. Men elektroner som exciteras från
dopnivån till ledningsbandet kan deexciteras till valensbandet vilket kallas att
rekombinera med hål. Det innebär att antalet hål i valensbandet är lägre vid en viss
temperatur i en dopad kristall jämfört med ett odopat prov där egenledning dominerar
vid den temperaturen. Men totala antalet laddningsbärare är större än vid egenledning
eftersom antalet ledningselektroner blir fler vid dopningen. Summan n+p ökar (n ökar
mer än vad p minskar) med dopning men produkten np är konstant vid en viss
tempratur oberoende av dopning, detta kallas massverkans lag:
n i(T)p i(T) = n(T)p(T) = kons tant
En annan nyttig ekvation ges av laddningsneutralitet i kristallen:
+ -
e(n - p - Nd + Na ) = 0
Egenledning Fullständig
störledning
+ -
Nd är antalet joniserade donatorer och Na är antalet joniserade acceptorer.
14
Störledning
1/T

p-dopning
Om kisel och germanium dopas med ett grundämne som har en valenselektron mindre
så kommer de dopatomerna att bara binda till tre av de omgivande atomerna som i
figur 9. Dessa dopatomer kallas acceptorer eftersom de gärna fyller sin vakanta
bindning med en elektron från en värdatom. Värdmaterialet får då en vakant binding
vilket motsvarar ett hål i valensbandet. Med acceptorer skapas alltså ett hålledande
material. Exempel på acceptorer är aluminium, gallium och indium i grupp III i
periodiska systemet. Även atomer med två elektroner mer eller mindre kan användas
vid dopning.
Figur 9
p-DOPAD HALVLEDARE
Acceptorn har en elektron mindre än värdatomerna
Figuren ovan visar ett energidiagram med energi-nivå för acceptorernas hål. Hålen i
dopnivån kommer att fyllas vid mycket lägre temperaturer än ledningsbandet. Figur
10 visar de tre temperaturintervallen för störledning, fullständig störledning och
egenledning. Ett likadant diagram för laddningsbärarantalets temperaturberoende som
i figur 8 kan ritas för p-dopning, man byter bara beteckningen N d mot N a vid
fullständig störledning.
15
valensband
T=0K
ledningsband
dopnivå
hål
E a

k B T

Figur 10
Avslutande frågor
• Vad är ett hål?
• Beskriv konduktivitetens temperaturberoende hos en intrinsisk halvledare.
• Beskriv konduktivitetens temperaturberoende hos en extrinsisk halvledare (dopad
halvledare).
• Vad är mobilitet?
• Relaxationstiden, t har ett annat T-beroende i halvledare än i metaller, beskriv det
i halvledare.
• Vad säger massverkans lag?
• Vad är donatorer, acceptorer, störledning och fullständig störledning?
18