Metallers termiska och elektriska egenskaper

Värmekapacitivitet
Elektronerna bidrar till värmekapacitivteten genom att kunna ta upp värme som
kinetisk energi i elektrongasen. Jonerna kan också lagra värme som ökad rörelse runt
sina jämviktslägen (dvs att öka energin i fonongasen).
Från termodynamiken vet vi att värmekapacitiviteten bestäms av kristallens ändring i
inre energi U med temperaturen:
CV = ∂U ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂T ⎠
V
Den delas för kristaller upp i två oberoende bidrag: ett från elektrongasen och ett från
fonongasen:
fon el
CV = CV + CV
eftersom den totala energin är summan av inre energin i de båda systemen. Den inre
energin erhålls som summan av energin i elektron respektive elektrogasen och beror
av tillståndstätheterna i de bägge systemen och hur elektroner respektive fononer är
fördelade på dessa tillstånd vilket ges av fördelningsfunktionerna för fermioner
(Fermi-Dirac) och bosoner (Bose-Einstein).
Värmekapacitivitet hos fonongasen
Inre energin hos fonongasen erhålls om man summerar fononernas totala energi viktat
med tillståndstetheten g(ω) och tillståndsfördelningen vid en given temperatur enligt
Bose-Einstein f B−E (E,T). Summeringen innebär ipraktiken en integrering från noll
till maxfrekvensen Debyefrekvesen ω D :
ω D
∫
U = 3 hωg(ω) f B−E (ω,T)dω
0
Faktorn 3 före integralen anger att det finns tre frihetsgrader hos svängningsmoderna
(dvs två transversella och en longitudinell). Sätter vi in uttrycken för storheterna som
ingår och som har presenterats tidigare i nätanteckningarna ”Fononer” så får vi:
U = 3
h
2π 2 3
vl ω D
ω 3
hω
∫ dω (2)
0 k B T
e −1
Debyefrekvensen kan uttryckas i temperatur den s.k. Debyetemperaturen θ D:
kBθ D = hωD = hvlK D = hvl 6π 2 ( n)
1/3
⇒