Magnetisk anisotropi och magnetostriktion

Lektion 4
Magnetokristallin anisotropi
Energin för magnetiska material beror av magnetiseringens riktning; kallas
magnetokristallin energi (MAE). MAE bestäms av;
i) växelverkan mellan elekotronfördelningen (som ger banimpulsmomentet)
och kristalllfältet, och
ii) L-S koppling (koppling mellan banimpuls- och spinnimpulsmoment).
I allmänhet gäller att stort L ger stark MAE. Viktigt att känna till att sällsynta
jordartsmetaller, där 4f elektroner står för magnetismen, behåller sitt atomära L p.g.a.
yttre elektronskal (5s, 5p) som delvis skärmar 4f elektroner från kristallfältet.
MAE serieutvecklas i termer av magnetiseringens riktnings-cosinusar α i ; MAE
måste följa kristallstrukturens symmetri; två-, tre-,fyra- och sex-faldiga
rotationsaxlar, spegelplan, omkastningsoperation …
Ett enkelt exempel är att MAE måste anta samma värde i en viss riktning och i dess
motsatta riktning ⇒ det kan bara finnas jämna potenser av α .
Kubiska material
där
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( α α + α α + α α ) + K α α + .....
Ea V = ea
= K1
1 2 2 3 3 1 2 1 2α
3
α sinθ
cosφ
1 = , α 2 = sinθ
sinφ
och α3 = cosθ
och
K = anisotropikonstanter = energi/enhetsvolym
i
Hexagonala / tetragonala material ~ f ( α )
E a
2 4
ea = K1
sin θ + K2
sin θ + .....
3
1

Lätta magnetiseringsriktningar bestäms av MAE’s energiminima, beror av tecken och
storlek på K1 and K 2 , exempelvis gäller för kubiska material, om K 1 > K 2 , tatt
lätta riktningar är [100] för K1> 0 och [111] för K1
< 0.
Hexagonala kristaller erhåller enaxlig anisotropi med c-axeln som lätt
magnetiseringsriktning. Allmänt gäller att kristaller med låg symmetri uppvisar hög
MAE.
Anisotropikonstanter (RT)
Kubiska material
Material 1
Fe 4.72 x 10 4
Ni -5.70 x 10 3
γ-Fe2O3
K [J/m 3 ] K 2 [J/m 3 ] Lätt riktn.
-4.72 x 10 3
-0.75 x 10 3
-2.30 x 10 3
Enaxlig anisotropi (hexagonala material)
Material K 1 [J/m 3 ] K 2 [J/m 3 ]
Co 4.53 x 10 5
1.44 x 10 5
Nd2Fe14B 3.7 x 10 6
SmCo5
Temperaturberoende
K 1 (T)/K 1 (0)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
10.5 x 10 6
Fe
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8
[100]
[111]
K1>-4K2/9 [110]
~ (M s (T)/M s (0)) x
T/T c
För legeringar är det möjligt att finna material som uppvisar LÅG MAE.
2

Magnetostriktion/magnetoelastisk energi
James Joule studerade (~1840) längden på en järnstav då den påverkades av ett
magnetfält; kunde påvisa μ m-stora längdförändringar
Den inverse effekten, en förändring i stavens magnetisering då den påverkades av en
mekanisk spänning studerades några år senare av Villari (~1865)
Q Koppling mellan frihetsgraderna för spinn och kristallgitter!
Två typer av magnetostriktion (MS):
i) Spontan MS, uppstår då materialet ordnar sig magnetiskt ( T < Tc
). Materialet
minskar/ökar i storlek för att minska sin energi, MAE, ursprunget är sålunda igen L-S koppling.
Magnetiska domäner i “alla” riktningar,
ingen deformation men volymsförändring,
varje domän blir större eller mindre i …
ii) Fältinducerad MS, materialet magnetiseras till mättnad (kallas mättnads-
magnetostriktion) och deformeras.
H
l
l+∆l
λ=∆l/l
normalt ≈ 10 -5
Förklaring: Energier som beror av materialets töjning ( ε ij ), kubisk kristall
3

Elastisk energi e f ( ε ; c )
e
+
e
=
1
2
c
1
2
44
e
= , tre oberoende
ij
ij
c ij
; c , c och c
2 2 2
11(
ε11
+ ε 22
+ ε 33 ) + c12
( ε11ε
22 + ε 22ε
33 + ε 33ε11)
+
2 ( ε
2
+ ε
2
+ ε ) , där c är styvhetskonstanter/elastiska
moduler
c
12
23
Magnetoelastisk energi, koppling mellan ε ij och M
31
2 2 2
( α ε + α ε + α ε )
eme = B1
1 11 2 22 3 33 +
+ 2B2 1 2 12 2 3 23 3 1ε
31
( α α ε + α α ε + α α )
där BBi är magnetoelastiska kopplingskonstanter
(för kubiska material behövs (minst) två oberoende konstanter).
Jämviktstöjningar genom att minimera totala energin m.a.p. ε ij
∂
ε
ij
2
( ee
+ eme
) B1
c12
− ( c11
+ 2c12
) αi
= 0 , 6 ekvationer ⇒ ε ii =
∂ε
( c − c )( c + 2c
)
ij
ij
B2α
iα
= −
2c
44
j
11
12
(*)
44
{ }
Mättnads-MS längs en riktning definerad av riktnings-cosinusars β i
med
Δl
3
= λs
= ∑ ε ij βi
β j = λ
l
2
+ 3λ
111
i,
j
11
( α α β β + α α β β + α α β β )
1
2
1
11
2
12
2
100
3
⎛
⎜α
⎝
2
2
1
3
β
2
1
+ α
2 B1
1 B
λ
2
100 = −
och λ111
= − .
3 c − c
3 c
3
1
44
2
2
β
3
2
2
1
12
+ α
2
3
11
β
2
3
12
1 ⎞
− ⎟ +
3⎠
4

För polykristallina material blir resultatet isotropt, medelvärdesbildning över
α = ger
θ och φ ( )
i βi
2 3
λ s = λ100
+ λ
5 5
111
MS koefficienter
ämne −6
λ 100 [ 10 ]
λ 111[
10
Fe 21 -21
Ni -46 -24
För legeringar kan λs bli antingen STOR eller LITEN.
Invers effekt
Vi söker ett uttryck för hur Eme beror av spänning - om γ i är riktnings-cosinusarna
för spänningen σ kan dess komponenter skrivas
σ = σγ γ
ij
i
j
som skapar töjningar enligt (Hook’s lag)
−6
2
1
[ ( s11 − s12
) γ i + s12
] och ε ij = − σs
γ iγ
j
ε ii = −σ
44
2
där sij
är elastiska konstanter;
1
1
s 11 − s12
= och s44
= .
c − c
c
11
12
Insatt i uttrycket för Eme
får man
3
eme
= − λ
2
− 3λ
σ
111
100
44
2 2 2 2 2 2
( α γ + α γ + α γ )
( α α γ γ + α α γ γ + α α γ γ )
1
σ
2
1
1
2
1
2
2
3
2
2
3
3
3
3
1
−
3
1
]
5

Den del av systemets energi som beror av domänmagnetiseringens riktning
kan därför skrivas (kubisk kristall)
e = K
3
− λ
2
− 3λ
1
111
2 2 2 2 2 2
( α1
α 2
+ α 2α
3
+ α3
α1
) −
2 2 2 2 2 2
σ ( α γ + α γ + α γ )
100
σ
( α α γ γ + α α γ γ + α α γ γ )
1
1
2
1
1
2
2
2
2
Första termen är MAE och bestämmer lätta riktningar för σ = 0 .
3
3
2
Exempel Fe, λ 100 > 0, K1 > 0 ⇒ [100] lätta riktningar, dragspänning σ > 0,
λ σ 0
100 >
möjliga domänmagnetiseringsriktningar [100], [010], [001]
(a) [100]; α 1 = 1, α 2 = 0, α 3=
0
(b) [010]; α 1 = 0, α 2 = 1, α 3=
0
(c) [001]; α 1 = 0, α 2 = 0, α 3 = 1
σ along [100] ⇒ γ 1 = 1, γ 2 = 0, γ 3 = 0
3
(a) eme = − λ100σ , (b) eme = 0, (c) eme
= 0
2
x
y
Vad händer om vi istället trycker på samma mtrl-bit ?
λ 0 ⇒ domäner med magnetisering ⊥ σ har lägre energi.
100 σ <
3
3
−
3
1
3
1
σ
6

Sällsynta jordartsmetallers MS
Magnetostriktion i 3d element liten, mycket stor i sällsynta jordartsmetaller, 4f
element, ex. Tb och Dy
Δl l ≈1
%
problem för tillämpningar Tc < RT
Legering 3d-4f ger bra resultat, speciellt RFe2
(R = 4f), kubisk kristallstruktur
P.g.a. stark utbytesväxelverkan mellan R - Fe, J R−Fe,
finns de positiva egenskaperna
kvar hos R även vid T > RT.
ex TbFe2 Tc = 698 K
λ = 1750 .10-6
SmFe2 Tc = 676 K
λ = -1560 .10-6
DyFe2 Tc = 635 K
λ = 433 .10-6
(gäller polykristallina prov ∆l/l // H)
Ett problem för tillämpningar är hög magnetokristallin anisotropi
ex TbFe2 K1 = - 7.6 .106 J/m3
DyFe2 K1 = + 2.1 .106 J/m3
jmf Fe K1 = 4.5 .104 J/m3
Kompensering av anisotropi genom att blanda TbFe2 och DyFe2;
terfenol Tb1-xDyxFe2, x = 0.73
λ 111~
2000 .10-6
λ >> λ 100
111
K1 liten, jämförbar med Fe.
s
s
s
7