Mekanik baskurs 010309-1 De krafter som flygplanet påverkas av är ...
Mekanik baskurs 010309-1 De krafter som flygplanet påverkas av är ...
Mekanik baskurs 010309-1 De krafter som flygplanet påverkas av är ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
T<br />
-1<br />
FARA<br />
51<br />
L<br />
mg<br />
β<br />
För en konstant stigvinkel β ger kraftekvationen<br />
komponentekvationerna<br />
Ekv (2) ger<br />
<strong>De</strong>n sökta kvoten <strong>är</strong> då<br />
Numeriskt fås<br />
β<br />
Svar: <strong>De</strong>n sökta kvoten <strong>är</strong><br />
FT<br />
= 1<br />
mg<br />
D<br />
<strong>Mekanik</strong> <strong>baskurs</strong> <strong>010309</strong>-1<br />
<strong>De</strong> <strong>krafter</strong> <strong>som</strong> <strong>flygplanet</strong> <strong>påverkas</strong><br />
<strong>av</strong> <strong>är</strong><br />
tyngdkraften mg,<br />
lyftkraften L ,<br />
dragkraften T (eng. ”thrust”) samt<br />
luftmotståndskraften D (eng. ”drag”).<br />
Krafterna L och D <strong>är</strong> komponenter<br />
<strong>av</strong> den totala aerodynamiska kraften.<br />
Vid horisontell flygning kan man<br />
säga att den effektiva dragkraften<br />
F = T −D<br />
T<br />
<strong>är</strong> den <strong>som</strong> accelererar planet.<br />
F = m a<br />
(1)<br />
T −D− mg = ma sin β (2)<br />
L− mg = cosβ 0 (3)<br />
F = T − D= mgsin β + ma<br />
(4)<br />
T<br />
FT<br />
1<br />
a<br />
= ( mgsin β + ma)=<br />
sin β +<br />
mg mg g<br />
(5)<br />
FT<br />
1 g<br />
= + = 1 (6)<br />
mg 2 2g<br />
/CN
N<br />
c<br />
c<br />
C<br />
O<br />
<br />
<br />
<br />
O<br />
<br />
<br />
<br />
b<br />
b<br />
C D<br />
R<br />
S<br />
A<br />
S<br />
B<br />
N<br />
2f<br />
<strong>Mekanik</strong> <strong>baskurs</strong> <strong>010309</strong>-2<br />
Vi börjar med att frilägga bromsens<br />
två delar. I figurens plan <strong>påverkas</strong> de<br />
båda armarna <strong>av</strong><br />
vajerkraften S,<br />
normalkraften N samt<br />
en kraft vid axeln O.<br />
Efter<strong>som</strong> den sistnämnda kraften<br />
inte efterfrågas eliminerar vi den<br />
direkt genom att ställa upp momentekvationen<br />
med <strong>av</strong>seende på axeln<br />
vid O:<br />
Jämvikt fordrar för<br />
Armen AOC<br />
O :<br />
Armen BOD<br />
O :<br />
b⋅S−c⋅ N = 0 (1)<br />
c⋅N −b⋅ S=<br />
0 (2)<br />
Båda ekvationerna ger resultatet<br />
N b<br />
c S = (3)<br />
Vid fälgens glidning mot bromsklossen<br />
ger varje normalkraft en friktionskraft<br />
f = µ N<br />
Kraftmomentet med <strong>av</strong>seende på<br />
hjulets axel blir då<br />
b<br />
M R f R N R<br />
c S<br />
f = ⋅ 2 = ⋅ 2µ = 2 µ<br />
⇒<br />
M R b<br />
c S<br />
f = 2 µ /CN
före stöten<br />
v 0<br />
m M<br />
omedelbart<br />
efter<br />
stöten<br />
M+m<br />
v 1<br />
M+m<br />
<br />
<br />
k<br />
<br />
maximal fjäderförkortning<br />
δ<br />
F fjäder<br />
k<br />
k<br />
<strong>Mekanik</strong> <strong>baskurs</strong> <strong>010309</strong>-3<br />
Vi delar upp problemet i två delar,<br />
stöten och hoptryckningen <strong>av</strong> fjädern<br />
efter stöten.<br />
För stöten gäller att rörelsemängden<br />
bevaras för hela systemet kula+säck+<br />
vagn, efter<strong>som</strong> det inte finns någon<br />
yttre horisontell kraft <strong>som</strong> kan ändra<br />
den. Fjäderkraften <strong>är</strong> ju noll under<br />
stöten.<br />
Antag att vagnens hastighet <strong>är</strong> v1 efter stöten!<br />
före efter<br />
p = p ⇒ (1)<br />
x x<br />
mv + 0 = M + m v<br />
v<br />
( ) (2)<br />
0 1<br />
m<br />
M m v =<br />
+<br />
1 0<br />
(3)<br />
<strong>De</strong>tta <strong>är</strong> vagnens fart omedelbart efter<br />
stöten då fjädern fortfarande har sin<br />
naturliga längd. Efter stöten gäller att<br />
den mekaniska energin bevaras efter<strong>som</strong><br />
den enda kraften <strong>som</strong> gör arbete<br />
<strong>är</strong> fjäderkraften, och den <strong>är</strong> konservativ.<br />
<strong>De</strong>n maximala förkortningen inträffar<br />
då vagnen vänder, dvs då farten<br />
<strong>är</strong> noll:<br />
T + V = T + V<br />
(4)<br />
1 1 2 2<br />
1<br />
2 1 2<br />
( M+ m) v1+ 0= 0+<br />
kδ<br />
(5)<br />
2<br />
2<br />
Insättning <strong>av</strong> sambandet (3) ger<br />
⇒<br />
1<br />
2<br />
2<br />
m 1<br />
⋅ v0= kδ<br />
M+ m 2<br />
v0<br />
=<br />
2 2<br />
kM ( + m)<br />
δ /CN<br />
m
l r<br />
P<br />
<br />
θ<br />
A<br />
O<br />
2l/3<br />
l<br />
O<br />
l<br />
O<br />
kr<br />
2l/3<br />
<br />
P<br />
θ<br />
N<br />
F N<br />
fjäder 1 <br />
en et v 1<br />
<strong>Mekanik</strong> <strong>baskurs</strong> <strong>010309</strong>-4<br />
Kroppen P <strong>påverkas</strong> <strong>av</strong> fjäderkraften<br />
kr i den radiella riktningen och normalkraften<br />
N i normalriktningen till bankurvan.<br />
För vinkeln θ = 0 sammanfaller<br />
dessa riktningar.<br />
Vi söker normalkraften och det <strong>är</strong> då<br />
naturligt att ställa upp kraftekvationen i<br />
normalriktningen. Allmänt gäller:<br />
m s˙<br />
Fn 2<br />
= (1)<br />
ρ<br />
Insättning ger för θ = 0, då krökningsradien<br />
<strong>är</strong> l och farten v1 :<br />
2<br />
1<br />
v<br />
m<br />
l<br />
2l<br />
= k ⋅ − N1<br />
(2)<br />
3<br />
Vi ser att normalkraften blir bestämd om<br />
farten v1 kan bestämmas.<br />
Frågeställningen fart i ett visst läge indikerar<br />
att en energiekvation kan ge<br />
lösningen. Normalkraften gör inget<br />
arbete och fjäderkraften <strong>är</strong> konservativ.<br />
<strong>De</strong>t betyder att den mekaniska energin<br />
bevaras:<br />
T1 + V1 = T0 + V0<br />
(3)<br />
Insättning ger<br />
1 2 1 ⎛ 2l⎞<br />
mv1 + k<br />
2 2 ⎝ 3 ⎠<br />
2<br />
1 2<br />
= 0 + kl (4)<br />
2<br />
⇒ mv k l<br />
2<br />
2 5<br />
1 = (5)<br />
9<br />
Insättning <strong>av</strong> ekv (5) i ekv (2) ger<br />
⇒<br />
5l<br />
2l<br />
k = k ⋅ − N1<br />
(6)<br />
9 3<br />
N<br />
1<br />
kl<br />
= /CN<br />
9