SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med ...
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med ...
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>SF1624</strong> <strong>Algebra</strong> <strong>och</strong> <strong>geometri</strong><br />
<strong>Lösningsförslag</strong> <strong>med</strong> bedömningskriterier till kontrollskrivning 2<br />
M˚andagen den 24 september, 2012<br />
1. L˚at T : R3 → R4 vara den linjära avbildningen <strong>med</strong> standardmatris<br />
⎡<br />
1<br />
⎢ 2<br />
⎣ 1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
⎤<br />
1<br />
3 ⎥<br />
3⎦<br />
−1 1 0<br />
.<br />
(a) Bestäm en bas för bildrummet im(T ). (2 p)<br />
(b) Bestäm dimensionen för nollrummet ker(T ). (2 p)<br />
<strong>Lösningsförslag</strong>. Vi börjar <strong>med</strong> Gauss eliminering:<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1 0 1<br />
2 1 3<br />
1 2 3<br />
−1 1 0<br />
1 0 1<br />
0 1 1<br />
0 2 2<br />
0 1 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
addera första rad till fjärde<br />
subtrahera första rad fr˚an tredje<br />
subtrahera 2 g˚anger första rad fr˚an andra<br />
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→<br />
subtrahera 2 g˚anger andra rad fr˚an tredje<br />
subtrahera andra rad fr˚an fjerde<br />
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1 0 1<br />
0 1 1<br />
0 2 2<br />
0 1 1<br />
1 0 1<br />
0 1 1<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
(a) Den första <strong>och</strong> den andra kolonnen har ledande ettor. Det betyder att de första tv˚a<br />
kolonnerna ⎡ ⎤ av den ursprungliga matrisen bildar en bas till im(T ). Allts˚a har vi att<br />
1<br />
⎢ 2 ⎥<br />
⎣ 1 ⎦<br />
−1<br />
,<br />
⎡ ⎤<br />
0<br />
⎢ 1 ⎥<br />
⎣ 2 ⎦ är en bas till im(T ).<br />
1<br />
(b) Eftersom T är en linjär avbildning fr˚an R 3 , har vi dim(ker(T )) + dim(im(T )) = 3.<br />
Fr˚an (a) vet vi att dim(im(T )) = 2. Vi kan konstatera att dim(ker(T )) = 1.<br />
1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦
2<br />
2. L˚at T : R 2 −→ R 2 vara en linjär avbildning som avbildar kvadraten <strong>med</strong> hörn i punkterna<br />
(0, 0), (2, 1), (1, 3) <strong>och</strong> (−1, 2) p˚a kvadraten <strong>med</strong> hörn i punkterna (0, 0), (3, −4), (7, −1),<br />
(4, 3)<br />
(a) Bestäm matrisen för T . (Det finns tv˚a möjligheter.) (3 p)<br />
(b) Förklara varför alla kvadrater i planet avbildas p˚a kvadrater av T . (1 p)<br />
<strong>Lösningsförslag</strong>. a) Vi har punkterna<br />
O = (0, 0)<br />
P = (2, 1), Q = (1, 3), S = (−1, 2)<br />
P ′ = (3, −4), Q ′ = (7, −1), S ′ = (4, 3).<br />
En linjär avbildning T : R 2 → R 2 m˚aste skicka noll-vektorn 0 p˚a noll. Vi har vidare<br />
att vektorn (−1, 2) = (1, 3) − (2, 1), vilket betyder att avbildningen T skickar (−1, 2)<br />
till T (1, 3) − T (2, 1). Vi vill först bestämma vilka möjliga punkt T kan skicka (1, 3) <strong>och</strong><br />
(2, 1) till. Punkterna vi kan välja mellan är P ′ , Q ′ <strong>och</strong> S ′ . Vi har att Q ′ − S ′ = P ′ <strong>och</strong> vi<br />
har att Q ′ − P ′ = S ′ , <strong>och</strong> detta ger oss de tv˚a möjligheterna för avbildningen T . Vi har<br />
T (P ) = P ′ T (Q) = Q ′<br />
eller T (P ) = S ′ T (Q) = Q ′ .<br />
Standardmatrisen till den första avbildningen: Vi har att<br />
<br />
1 7<br />
2 3<br />
T = <strong>och</strong> T =<br />
3 −1<br />
1 −4<br />
Avbildningen T avbildar kvadraten <strong>med</strong> hörn i punkterna O, P , Q, S till O, P ′ , Q ′ , S ′ .<br />
<br />
1 0<br />
För att hitta matrisen till T vi ska först skriva <strong>och</strong> som linjär kombinationer<br />
0 1<br />
<br />
1 2<br />
av <strong>och</strong> . För att göra detta m˚aste vi lösa systemet:<br />
3 1<br />
<br />
1 2 1 0 subtrahera 3 g˚anger första rad fr˚an andra 1 2 1 0<br />
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→<br />
3 1 0 1<br />
0 −5 −3 1<br />
<br />
1<br />
0<br />
2<br />
−5<br />
1<br />
−3<br />
<br />
0 1<br />
→<br />
1 0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3/5<br />
<br />
0 1<br />
→<br />
−1/5 0<br />
0<br />
1<br />
−1/5<br />
3/5<br />
<br />
2/5<br />
−1/5<br />
Allts˚a 1<br />
0<br />
<br />
<br />
1<br />
= −1/5<br />
3<br />
<br />
<br />
2<br />
+ 3/5<br />
1<br />
0<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
= 2/5<br />
3<br />
Vi kan konstatera att:<br />
<br />
1<br />
T =<br />
0<br />
−1<br />
5 T<br />
<br />
1<br />
+<br />
3<br />
3<br />
5 T<br />
<br />
2<br />
=<br />
1<br />
= −1<br />
<br />
7<br />
+<br />
5 −1<br />
3<br />
<br />
3 2/5<br />
=<br />
5 −4 −11/5<br />
<br />
<br />
.<br />
<br />
2<br />
− 1/5<br />
1
0<br />
T =<br />
1<br />
2<br />
5 T<br />
<br />
1<br />
−<br />
3<br />
1<br />
5 T<br />
<br />
2<br />
=<br />
1<br />
= 2<br />
<br />
7<br />
−<br />
5 −1<br />
1<br />
<br />
3 11/5<br />
=<br />
5 −4 2/5<br />
<strong>och</strong> att matrisen till T ges av:<br />
<br />
2/5<br />
<br />
11/5<br />
−11/5 2/5<br />
Standardmatrisen till den andra avbildningen kan vi hitta p˚a samma sätt som ovan, eller<br />
som följer. Vi har att T (Q) = Q ′ <strong>och</strong> att T (P ) = S ′ . Om vi l˚ater A vara standardmatrisen<br />
har vi matrisekvationen<br />
Vi har vidare att<br />
A<br />
<br />
1 2<br />
=<br />
3 1<br />
−1 1 2<br />
=<br />
3 1<br />
<br />
7 4<br />
.<br />
−1 3<br />
− 1<br />
Vi multiplicerar v˚ar matrisekvation fr˚an höger <strong>med</strong> inversmatrisen, <strong>och</strong> erh˚aller att<br />
<br />
7 4<br />
A = (−<br />
−1 3<br />
1<br />
5 )<br />
<br />
1 −2<br />
= −<br />
−3 1<br />
1<br />
<br />
−5 −10<br />
5 −10 5<br />
.<br />
5<br />
3<br />
5<br />
b) Vi noterar att T är en sammansättning av en förstoring <strong>och</strong> en rotation. B˚ada förstoring<br />
<strong>och</strong> rotation avbildar kvadrater till kvadrater, <strong>och</strong> det följer att samma m˚aste hända för deras<br />
sammansättning T .<br />
2<br />
5<br />
1 − 5<br />
3. L˚at W vara det delrum som spänns upp av vektorerna<br />
⎡<br />
u = ⎣ 1<br />
⎤ ⎡<br />
2⎦<br />
, v = ⎣<br />
3<br />
1<br />
⎤<br />
⎡<br />
1⎦<br />
<strong>och</strong> w = ⎣<br />
2<br />
4<br />
⎤<br />
6 ⎦ .<br />
10<br />
(a) Bestäm en bas för W . (2 p)<br />
(b) Bestäm ett linjärt ekvationssystem vars lösningsmängd är W . (2 p)<br />
<strong>Lösningsförslag</strong>. a) Vi börjar <strong>med</strong> Gauss eliminering av matrisen [ → u → v → w]:<br />
⎡<br />
⎣<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
4<br />
6<br />
3 2 10<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
1 1 4<br />
0 −1 −2<br />
0 −1 −2<br />
<br />
.<br />
subtrahera 2 g˚anger första rad fr˚an andra<br />
subtrahera 3 g˚anger första rad fr˚an tredje<br />
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→<br />
⎤<br />
⎦<br />
subtrahera andra rad fr˚an tredje<br />
−−−−−−−−−−−−−−−−−→<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎣<br />
1<br />
0<br />
1<br />
−1<br />
4<br />
−2<br />
0 −1 −2<br />
1 1 4<br />
0 −1 −2<br />
0 0 0<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎦<br />
3
4<br />
Den första <strong>och</strong> den andra kolonnen är ledande kolonner. Det betyder att vektorerna<br />
⎡<br />
⎣ 1<br />
⎤ ⎡<br />
2 ⎦ <strong>och</strong> ⎣<br />
3<br />
1<br />
⎤<br />
1 ⎦<br />
2<br />
bildar en bas till W .<br />
b) Vi har att W är ett plan i R3 . For att hitta en ekvation till W m˚aste vi hitta en normal<br />
vektor till W . Detta kan göras <strong>med</strong> vektorprodukten,<br />
⎡<br />
⎣ 1<br />
⎤ ⎡<br />
2 ⎦ × ⎣<br />
3<br />
1<br />
⎤ ⎡ ⎤ ⎡<br />
4 − 3<br />
1 ⎦ = ⎣ 3 − 2 ⎦ = ⎣<br />
2 1 − 2<br />
1<br />
1<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎡<br />
Vi har att vektorn ⎣<br />
−1<br />
1<br />
⎤<br />
1 ⎦ är normal till W , <strong>och</strong> där<strong>med</strong> har vi att planet ges av ekvationen:<br />
−1<br />
x + y − z = 0.<br />
Svar:<br />
1. (a) -<br />
(b) Dimensionen till nollrummet är ett.<br />
2/5 11/5<br />
2. (a) Antigen<br />
eller<br />
−11/5 2/5<br />
1 2<br />
2 −1<br />
(b) -<br />
3. (a) -<br />
(b) Planet ges av ekvationen x + y − z = 0.<br />
<br />
.
ALLMÄNNA BEDÖMNINGSKRITERIER<br />
För full poäng p˚a en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad <strong>och</strong> lätt att följa. Det innebär<br />
speciellt att införda beteckningar definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i<br />
ord eller symboler <strong>och</strong> att resonemangen är väl motiverade <strong>och</strong> tydligt förklarade. Lösningar<br />
som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms <strong>med</strong> högst tv˚a poäng.<br />
• Om lösningen helt saknar förklarande text, eller motsvarande förklaring i form av logiska<br />
symboler, till beräkningar <strong>och</strong> formler ges högst tv˚a poäng. Detta markeras vid<br />
bedömningen <strong>med</strong> FTS (Förklarande text saknas).<br />
• Om lösningen har förklarande text men inte tillräckligt för att det ska g˚a att först˚a alla<br />
steg ges högst tre poäng sammanlagt p˚a uppgiften. Detta markeras <strong>med</strong> FLFT (För lite<br />
förklarande text).<br />
• Mindre räknefel ger i allmänhet inte avdrag om de inte ändrar uppgiftens karaktär eller<br />
leder till orimligheter som borde ha upptäckts.<br />
Lösningen ska kunna läsas av en person som inte är insatt i problemet i förväg. Bevisbördan<br />
ligger p˚a den som skriver, inte p˚a den som läser.<br />
1. (a) • , 1 poäng.<br />
• , 1 poäng.<br />
(b) • , 1 poäng.<br />
• , 1 poäng.<br />
2. (a) • , 1 poäng.<br />
• , 1 poäng.<br />
(b) • , 1 poäng.<br />
• , 1 poäng.<br />
3. (a) • , 1 poäng.<br />
• , 1 poäng.<br />
(b) • , 1 poäng.<br />
• , 1 poäng.<br />
PRELIMINÄRA BEDÖMNINGSKRITERIER<br />
5