SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med ...

SF1624 Algebra och geometri
Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2
M˚andagen den 24 september, 2012
1. L˚at T : R3 → R4 vara den linjära avbildningen med standardmatris
⎡
1
⎢ 2
⎣ 1
0
1
2
⎤
1
3 ⎥
3⎦
−1 1 0
.
(a) Bestäm en bas för bildrummet im(T ). (2 p)
(b) Bestäm dimensionen för nollrummet ker(T ). (2 p)
Lösningsförslag. Vi börjar med Gauss eliminering:
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
1 0 1
2 1 3
1 2 3
−1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 2 2
0 1 1
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
addera första rad till fjärde
subtrahera första rad fr˚an tredje
subtrahera 2 g˚anger första rad fr˚an andra
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
subtrahera 2 g˚anger andra rad fr˚an tredje
subtrahera andra rad fr˚an fjerde
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
1 0 1
0 1 1
0 2 2
0 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
0 0 0
(a) Den första och den andra kolonnen har ledande ettor. Det betyder att de första tv˚a
kolonnerna ⎡ ⎤ av den ursprungliga matrisen bildar en bas till im(T ). Allts˚a har vi att
1
⎢ 2 ⎥
⎣ 1 ⎦
−1
,
⎡ ⎤
0
⎢ 1 ⎥
⎣ 2 ⎦ är en bas till im(T ).
1
(b) Eftersom T är en linjär avbildning fr˚an R 3 , har vi dim(ker(T )) + dim(im(T )) = 3.
Fr˚an (a) vet vi att dim(im(T )) = 2. Vi kan konstatera att dim(ker(T )) = 1.
1
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦

2
2. L˚at T : R 2 −→ R 2 vara en linjär avbildning som avbildar kvadraten med hörn i punkterna
(0, 0), (2, 1), (1, 3) och (−1, 2) p˚a kvadraten med hörn i punkterna (0, 0), (3, −4), (7, −1),
(4, 3)
(a) Bestäm matrisen för T . (Det finns tv˚a möjligheter.) (3 p)
(b) Förklara varför alla kvadrater i planet avbildas p˚a kvadrater av T . (1 p)
Lösningsförslag. a) Vi har punkterna
O = (0, 0)
P = (2, 1), Q = (1, 3), S = (−1, 2)
P ′ = (3, −4), Q ′ = (7, −1), S ′ = (4, 3).
En linjär avbildning T : R 2 → R 2 m˚aste skicka noll-vektorn 0 p˚a noll. Vi har vidare
att vektorn (−1, 2) = (1, 3) − (2, 1), vilket betyder att avbildningen T skickar (−1, 2)
till T (1, 3) − T (2, 1). Vi vill först bestämma vilka möjliga punkt T kan skicka (1, 3) och
(2, 1) till. Punkterna vi kan välja mellan är P ′ , Q ′ och S ′ . Vi har att Q ′ − S ′ = P ′ och vi
har att Q ′ − P ′ = S ′ , och detta ger oss de tv˚a möjligheterna för avbildningen T . Vi har
T (P ) = P ′ T (Q) = Q ′
eller T (P ) = S ′ T (Q) = Q ′ .
Standardmatrisen till den första avbildningen: Vi har att
1 7
2 3
T = och T =
3 −1
1 −4
Avbildningen T avbildar kvadraten med hörn i punkterna O, P , Q, S till O, P ′ , Q ′ , S ′ .
1 0
För att hitta matrisen till T vi ska först skriva och som linjär kombinationer
0 1
1 2
av och . För att göra detta m˚aste vi lösa systemet:
3 1
1 2 1 0 subtrahera 3 g˚anger första rad fr˚an andra 1 2 1 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
3 1 0 1
0 −5 −3 1
1
0
2
−5
1
−3
0 1
→
1 0
2
1
1
3/5
0 1
→
−1/5 0
0
1
−1/5
3/5
2/5
−1/5
Allts˚a 1
0
1
= −1/5
3
2
+ 3/5
1
0
1
1
= 2/5
3
Vi kan konstatera att:
1
T =
0
−1
5 T
1
+
3
3
5 T
2
=
1
= −1
7
+
5 −1
3
3 2/5
=
5 −4 −11/5
.
2
− 1/5
1

0
T =
1
2
5 T
1
−
3
1
5 T
2
=
1
= 2
7
−
5 −1
1
3 11/5
=
5 −4 2/5
och att matrisen till T ges av:
2/5
11/5
−11/5 2/5
Standardmatrisen till den andra avbildningen kan vi hitta p˚a samma sätt som ovan, eller
som följer. Vi har att T (Q) = Q ′ och att T (P ) = S ′ . Om vi l˚ater A vara standardmatrisen
har vi matrisekvationen
Vi har vidare att
A
1 2
=
3 1
−1 1 2
=
3 1
7 4
.
−1 3
− 1
Vi multiplicerar v˚ar matrisekvation fr˚an höger med inversmatrisen, och erh˚aller att
7 4
A = (−
−1 3
1
5 )
1 −2
= −
−3 1
1
−5 −10
5 −10 5
.
5
3
5
b) Vi noterar att T är en sammansättning av en förstoring och en rotation. B˚ada förstoring
och rotation avbildar kvadrater till kvadrater, och det följer att samma m˚aste hända för deras
sammansättning T .
2
5
1 − 5
3. L˚at W vara det delrum som spänns upp av vektorerna
⎡
u = ⎣ 1
⎤ ⎡
2⎦
, v = ⎣
3
1
⎤
⎡
1⎦
och w = ⎣
2
4
⎤
6 ⎦ .
10
(a) Bestäm en bas för W . (2 p)
(b) Bestäm ett linjärt ekvationssystem vars lösningsmängd är W . (2 p)
Lösningsförslag. a) Vi börjar med Gauss eliminering av matrisen [ → u → v → w]:
⎡
⎣
1
2
1
1
4
6
3 2 10
⎡
⎣
⎤
⎦
1 1 4
0 −1 −2
0 −1 −2
.
subtrahera 2 g˚anger första rad fr˚an andra
subtrahera 3 g˚anger första rad fr˚an tredje
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
⎤
⎦
subtrahera andra rad fr˚an tredje
−−−−−−−−−−−−−−−−−→
⎡
⎣
⎡
⎣
1
0
1
−1
4
−2
0 −1 −2
1 1 4
0 −1 −2
0 0 0
⎤
⎦
⎤
⎦
3

4
Den första och den andra kolonnen är ledande kolonner. Det betyder att vektorerna
⎡
⎣ 1
⎤ ⎡
2 ⎦ och ⎣
3
1
⎤
1 ⎦
2
bildar en bas till W .
b) Vi har att W är ett plan i R3 . For att hitta en ekvation till W m˚aste vi hitta en normal
vektor till W . Detta kan göras med vektorprodukten,
⎡
⎣ 1
⎤ ⎡
2 ⎦ × ⎣
3
1
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
4 − 3
1 ⎦ = ⎣ 3 − 2 ⎦ = ⎣
2 1 − 2
1
1
⎤
⎦
⎡
Vi har att vektorn ⎣
−1
1
⎤
1 ⎦ är normal till W , och därmed har vi att planet ges av ekvationen:
−1
x + y − z = 0.
Svar:
1. (a) -
(b) Dimensionen till nollrummet är ett.
2/5 11/5
2. (a) Antigen
eller
−11/5 2/5
1 2
2 −1
(b) -
3. (a) -
(b) Planet ges av ekvationen x + y − z = 0.
.

ALLMÄNNA BEDÖMNINGSKRITERIER
För full poäng p˚a en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det innebär
speciellt att införda beteckningar definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i
ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar
som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst tv˚a poäng.
• Om lösningen helt saknar förklarande text, eller motsvarande förklaring i form av logiska
symboler, till beräkningar och formler ges högst tv˚a poäng. Detta markeras vid
bedömningen med FTS (Förklarande text saknas).
• Om lösningen har förklarande text men inte tillräckligt för att det ska g˚a att först˚a alla
steg ges högst tre poäng sammanlagt p˚a uppgiften. Detta markeras med FLFT (För lite
förklarande text).
• Mindre räknefel ger i allmänhet inte avdrag om de inte ändrar uppgiftens karaktär eller
leder till orimligheter som borde ha upptäckts.
Lösningen ska kunna läsas av en person som inte är insatt i problemet i förväg. Bevisbördan
ligger p˚a den som skriver, inte p˚a den som läser.
1. (a) • , 1 poäng.
• , 1 poäng.
(b) • , 1 poäng.
• , 1 poäng.
2. (a) • , 1 poäng.
• , 1 poäng.
(b) • , 1 poäng.
• , 1 poäng.
3. (a) • , 1 poäng.
• , 1 poäng.
(b) • , 1 poäng.
• , 1 poäng.
PRELIMINÄRA BEDÖMNINGSKRITERIER
5