Resonans - Malmö högskola

Malmö högskola 3 Modeller och verklighet
Teknik och samhälle AU4, Resonans
Så länge källan som driver systemet vid resonansfrekvensen matar energi i systemet är detta ett
tecken på att systemet innehåller dämpning som transformerar den inmatade energi till någon
form av förlustenergi, t.ex. värme p.g.a. friktionen.
Utgångspunkten för en teoretisk studie systemets uppförande kan enklast göras genom att bestämma
massans rörelse. Resonansfrekvensen kan t.ex. bestämmas genom att identifiera alla
krafterna som verkar på massan och skriva sedan att summan av dessa krafter uppfyller Newtons
andra lag. Fjädern verkar på massan med en kraft ffjäder = − kx , denna kraft motsätter sig fjäderns
utsträckning (x > 0) resp. ihoptryckning (x < 0).
Ekvationen för massans rörelse utan dämpningen uttrycks m.h.a. Newtons andra lag som:
2
2
d x
d x
F = -kx
⇒ ma = -kx
⇒ m = -kx
eller
2
2
dt
dt
k
+ x
m
En matematisk teknik för att lösa denna typ av differentiellekvation är att anta att lösningen kan
uttryckas som x =A·e iwt där A är amplituden och t tiden. Storheten w, alltså faktorn framför tiden i
exponenten, beskriver massrörelsens periodicitet och kallas därför vinkelfrekvensen. Den verkliga
frekvensen f (antalet perioder per tidsenhet, i Hz) är f = w/2p, och periodtiden T=1/f= 2p/w.
När man deriverar x två gånger med avseende på tiden och sedan sätta dess uttryck samt uttrycket
för x i ekvationen ovan (ekvationen för massans fria rörelse) får man w 2 = k/m, vilket ger syste-
1
mets resonansfrekvens f =
2p
k
m
; ju styvare är fjädern, eller är massan lättare, desto snabbare
rör sig massan periodiskt kring sitt jämviktläge.
När man tar hänsyn ytterligare till dämpningen får man en extra term i rörelsens ekvation, nämligen:
2
d x
F = -kx
- cv ⇒ ma = -kx
- cv ⇒ m = -kx
- c
2
dt
LK & DJ & JH 2006 MoVe_HT06VT07_AU4_labmanual
dx
dt
= 0
eller
2
d x c dx k
+ + x = 0
2
dt m dt m
Lösningen för denna ekvation är en periodisk rörelse vars amplitud minskar med tiden, d.v.s. att
massans utslag kring sitt jämviktsläge dämpas som en exponentiellfunktion av tiden. Detta skall
du undersöka m.h.a. excell-programmet där sätter olika värden för parametrarna m, c och k.