Resonans - Malmö högskola
Resonans - Malmö högskola
Resonans - Malmö högskola
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Malmö</strong> <strong>högskola</strong> 0 Modeller och verklighet<br />
Teknik och samhälle AU4, <strong>Resonans</strong><br />
<strong>Malmö</strong> Högskola<br />
Hösten 06<br />
<strong>Resonans</strong><br />
Laborationen har tre delar. I den ena, resonans i strängvibrationer, är målsättningen<br />
att du ska få förståelse för resonansfenomenet i ett enkelt mekaniskt system,<br />
nämligen hur en sträng kommer att vibrera med sitt största utslag när frekvensen<br />
för exciteringssignal närmar sig en av strängens egenfrekvenser. Den<br />
andra delen av laborationen är mest en demonstration av resonansfenomenet i<br />
ett mer komplicerat system, nämligen en platta. Till sist skall ett dämpat fjädermassa<br />
system studeras, och där massans position kring sitt jämviktsläge skall<br />
studeras som funktion av tiden. Här skall påverkan av olika parametrar i det<br />
vibrerande system studeras genom att jämföra tidskurvorna för massans rörelse.<br />
1.1. UTRUSTNING<br />
Science Workshop<br />
Vibrator<br />
Tråd<br />
Vikter<br />
Våg<br />
Stativutrustning<br />
Sektion 1: Transversella vibrationer i en sträng<br />
1.2. TEORI<br />
En sträng där båda ändarna är fixerade kan endast ha stående vågor med noder vid ändpunkterna.<br />
Villkoret för våglängderna för stående vågor är i detta fall:<br />
l<br />
L = n<br />
2<br />
F<br />
grundresonansen: L = l/2<br />
LK & DJ & JH 2006 MoVe_HT06VT07_AU4_labmanual<br />
F
<strong>Malmö</strong> <strong>högskola</strong> 1 Modeller och verklighet<br />
Teknik och samhälle AU4, <strong>Resonans</strong><br />
där L är strängens längd och l vibrationens våglängd. I experimentet med resonansröret är lufthastigheten<br />
konstant medan man varierar våglängden (genom att variera tonens frekvens) för att<br />
erhålla resonans i röret. I fallet med strängen är det grundtonens våglängd som hålls densamma<br />
medan man letar efter resonansen genom att variera våg utbredningshastigheten. Denna hastighet<br />
beror på två parametrar som är kraften F som man spänner strängen med och strängens längdmassa<br />
r (massan per längdenheten uttryckt i kg/m). Sambandet mellan dessa tre storheter är:<br />
F<br />
v =<br />
r<br />
En stor spännkraft leder till en större våghastighet, som i sin tur leder enligt uttrycket f = v/l till<br />
en ton med högre frekvens (man ökar tonhöjden på signalen från ett gitarr genom att spänna hårdare<br />
på gitarrsträngen).<br />
1.3. MÅLSÄTTNING<br />
I denna dellaboration undersöks vibrationerna på en uppspänd sträng. Man studerar påverkan av<br />
spännkraften på strängens resonansmoder.<br />
1.4. UTFÖRANDE<br />
Börja med att bestämma strängens längdmassa. Ta t.ex. en tillräckligt lång bit av strängen,<br />
och väg den. Dela sedan vikten med strängens längd.<br />
Fäst en vikt med massan 50 g i tråden. Låt trådens längd vara ca 1.20 m. Ställ in frekvensen<br />
på tongeneratorn på t.ex. 20Hz. Reglera avståndet mellan frissan och trådens inbindningspunkt<br />
på vibratorn tills en tydlig buk uppträder på tråden. Notera detta avstånd.<br />
Räkna spännkraften på tråden p.g.a. den hängande vikten.<br />
Bestäm våghastigheten och frekvensen för grundtonen. Stämmer dina experimentella resultat<br />
med teorin?<br />
Bestäm frekvensen för första och andra övertonen. Överensstämmer igen teorin med experiment?<br />
Gör om samma experiment som ovan, fast med en tunnare tråd. Hur förändras då resonansfrekvenserna?<br />
Våglängderna då?<br />
Kommentera dina resultat!<br />
Sektion 2: Vibrationer på en platta; Chladni figurer<br />
Denna dellaboration handlar om vibrationer av en mer komplicerat art, nämligen böjvibrationer<br />
på en platta med en begränsad yta, och som exciteras i sitt mitt av en harmonisk kraft.<br />
2.1. UTRUSTNING<br />
Vibrator<br />
Liten stålplatta<br />
Finkornig sand<br />
LK & DJ & JH 2006 MoVe_HT06VT07_AU4_labmanual<br />
´<br />
´<br />
´<br />
´
<strong>Malmö</strong> <strong>högskola</strong> 2 Modeller och verklighet<br />
Teknik och samhälle AU4, <strong>Resonans</strong><br />
TEORI<br />
Teorin för detta experiment handlar om böjvågor i en platta. Ekvationen som beskriver utbredningen<br />
för denna typ av vågor är en partiell differentiellekvation i fjärde ordningen (jmfr med den<br />
klassiska andra ordningens ljudvågsekvationen).<br />
2.3. MÅLSÄTTNING<br />
Syftet med detta experiment är mest kvalitativt och målet är att lära sig en praktisk metod för att<br />
bestämma vibrationsmönstret för resonanserna hos en platta som sätts under vibration.<br />
2.4. UTFÖRANDE<br />
Fäst plattan på vibratorn med skruven.<br />
Strö sanden löst och jämnt på plattan.<br />
Ställ frekvensen för signalen som driver vibratorn till runt 20 Hz.<br />
Börja höja frekvensen sakta och stegvis, tills tydliga nodlinjer erhålls på den vibrerande plattan.<br />
Plattan kommer eventuellt att stråla ut starkt. En resonansfrekvens har då erhållits.<br />
Fortsätt at höja signalfrekvensen, och varje gång ett symmetriskt stabilt sandmönster syns på<br />
plattan, har man då fått en resonans.<br />
Sektion 3: <strong>Resonans</strong> i ett dämpat fjäder-massa system<br />
3.1. UTRUSTNING<br />
RLC kopplingsplatta<br />
Science Workshop<br />
Voltage sensor<br />
Sladdar.<br />
TEORI<br />
fjäder<br />
k<br />
massa, m<br />
x<br />
dämpning<br />
c<br />
Ett dämpat fjäder-massa system består av en massa m<br />
kopplad till ett underlag genom en fjäder med styvheten k<br />
och en dämpare. Dämparen oftast är av den viskösa typen,<br />
vilket för enkelhets skull leder till att dämpningskraften är<br />
proportionell mot massans hastighet. För ett odämpat sådant<br />
system avgörs resonansfrekvensen endast av massan<br />
m och fjäderns styvhet. Dämpning finns i alla verkliga vibrerande<br />
system och den påverkar värdet för resonansfrekvensen<br />
(som minskar), men i de flesta fall av praktisk tilllämpning<br />
försummas denna minskning av resonansfrekvensen.<br />
LK & DJ & JH 2006 MoVe_HT06VT07_AU4_labmanual
<strong>Malmö</strong> <strong>högskola</strong> 3 Modeller och verklighet<br />
Teknik och samhälle AU4, <strong>Resonans</strong><br />
Så länge källan som driver systemet vid resonansfrekvensen matar energi i systemet är detta ett<br />
tecken på att systemet innehåller dämpning som transformerar den inmatade energi till någon<br />
form av förlustenergi, t.ex. värme p.g.a. friktionen.<br />
Utgångspunkten för en teoretisk studie systemets uppförande kan enklast göras genom att bestämma<br />
massans rörelse. <strong>Resonans</strong>frekvensen kan t.ex. bestämmas genom att identifiera alla<br />
krafterna som verkar på massan och skriva sedan att summan av dessa krafter uppfyller Newtons<br />
andra lag. Fjädern verkar på massan med en kraft ffjäder = − kx , denna kraft motsätter sig fjäderns<br />
utsträckning (x > 0) resp. ihoptryckning (x < 0).<br />
Ekvationen för massans rörelse utan dämpningen uttrycks m.h.a. Newtons andra lag som:<br />
2<br />
2<br />
d x<br />
d x<br />
F = -kx<br />
⇒ ma = -kx<br />
⇒ m = -kx<br />
eller<br />
2<br />
2<br />
dt<br />
dt<br />
k<br />
+ x<br />
m<br />
En matematisk teknik för att lösa denna typ av differentiellekvation är att anta att lösningen kan<br />
uttryckas som x =A·e iwt där A är amplituden och t tiden. Storheten w, alltså faktorn framför tiden i<br />
exponenten, beskriver massrörelsens periodicitet och kallas därför vinkelfrekvensen. Den verkliga<br />
frekvensen f (antalet perioder per tidsenhet, i Hz) är f = w/2p, och periodtiden T=1/f= 2p/w.<br />
När man deriverar x två gånger med avseende på tiden och sedan sätta dess uttryck samt uttrycket<br />
för x i ekvationen ovan (ekvationen för massans fria rörelse) får man w 2 = k/m, vilket ger syste-<br />
1<br />
mets resonansfrekvens f =<br />
2p<br />
k<br />
m<br />
; ju styvare är fjädern, eller är massan lättare, desto snabbare<br />
rör sig massan periodiskt kring sitt jämviktläge.<br />
När man tar hänsyn ytterligare till dämpningen får man en extra term i rörelsens ekvation, nämligen:<br />
2<br />
d x<br />
F = -kx<br />
- cv ⇒ ma = -kx<br />
- cv ⇒ m = -kx<br />
- c<br />
2<br />
dt<br />
LK & DJ & JH 2006 MoVe_HT06VT07_AU4_labmanual<br />
dx<br />
dt<br />
= 0<br />
eller<br />
2<br />
d x c dx k<br />
+ + x = 0<br />
2<br />
dt m dt m<br />
Lösningen för denna ekvation är en periodisk rörelse vars amplitud minskar med tiden, d.v.s. att<br />
massans utslag kring sitt jämviktsläge dämpas som en exponentiellfunktion av tiden. Detta skall<br />
du undersöka m.h.a. excell-programmet där sätter olika värden för parametrarna m, c och k.