Differentialekvationer Sverker Aasa och Per ... - Malmö högskola
Differentialekvationer Sverker Aasa och Per ... - Malmö högskola
Differentialekvationer Sverker Aasa och Per ... - Malmö högskola
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Differentialekvationer</strong><br />
<strong>Sverker</strong> <strong>Aasa</strong> <strong>och</strong> <strong>Per</strong> Jönsson<br />
<strong>Malmö</strong> 2008<br />
NMS, <strong>Malmö</strong> <strong>högskola</strong>
1 <strong>Differentialekvationer</strong><br />
Ett system eller en process beskrivs ofta av en ordinär differentialekvation. Differentialekvationen<br />
talar om hur ändringen per tidsenhet (derivatan) av systemvariabeln y beror på systemets tillstånd<br />
y ′ (t) = f(t, y)<br />
<br />
beskrivning av hur förändringshastigheten<br />
beror av systemvariablerna<br />
Lite tillspetsat kan man säga att differentialekvationen är en matematisk beskrivning eller modell<br />
för hur systemet regleras. Givet ett värde y0 på den studerade variabeln vid en tidpunkt t = 0<br />
(begynnelsevärde) kan man med hjälp av differentialekvationen ta reda på variabelns värde y(t)<br />
vid en senare tidpunkt t. Detta kallas att lösa differentialekvationen. Ibland kan man få fram en<br />
analytisk lösning, dvs. en lösning där y(t) ges i termer av standardfunktioner. I de flesta fall måste<br />
man dock använda någon numerisk metod, där man beräknar approximativa värden på y(t) i olika<br />
diskreta punkter i ett tidsintervall. För mekaniska system är differentialekvationerna ofta av andra<br />
ordningen, vilket innebär att vi har kunskap om andraderivatan. Även i dessa fall måste man i<br />
allmänhet förlita sig på numeriska lösningsmetoder.<br />
2 Analytiska lösningar<br />
<strong>Differentialekvationer</strong> löses ofta genom en serie omskrivningar, varvid det hela övergår till det<br />
enklare problemet att bestämma en primitiv funktion. Lösningsmetoder för differentialekvationer<br />
behandlas i de flesta läroböcker i matematisk analys, se till exempel <strong>Per</strong>sson <strong>och</strong> Böijers Envariabelanalys.<br />
I många fall kan differentialekvationer också hanteras av datoralgebraprogram. Lösningar<br />
med Maxima, som är ett fritt nerladdningsbart program, beskrivs i detalj i kompendiet Symbolisk<br />
matematik med Maxima. Även grafprogram som Graph 4.13 kan vara till stor hjälp.<br />
3 Anpassning av modeller till data<br />
Lösningar till differentialekvationer beror ofta på en eller flera parametrar. Dessa parametrar kan<br />
bestämmas genom att anpassa lösningen till experimentella data. I det allmänna fallet har vi en<br />
anpassningsfunktion y(t,a) som beror av parametrarna a = (a1, a2, . . . , am). Vi vill på något sätt<br />
bestämma parametrarna så att funktionen ansluter så bra som möjligt till ett antal datapunkter<br />
(ti, yi), i = 1, 2, . . .,n.<br />
(t 1 ,y 1 )<br />
(t 2 ,y 2 )<br />
(t i ,y i )<br />
y(t i ,a 1 ,a 2 ,a 3 )<br />
(t n ,y n )<br />
Figur 1: Anpassning av modell till datapunkter.<br />
I minsta-kvadratmetoden tittar man på summan av de kvadratiska avvikelserna mellan anpassningsfunktionen<br />
y(t,a) <strong>och</strong> datapunkterna<br />
χ 2 =<br />
n<br />
i=1<br />
(y(ti,a) − yi) 2<br />
<br />
kvadrerad avvikelse i y-led<br />
mellan anpassningsfunktionen<br />
beräknad i ti <strong>och</strong> datavärdet yi<br />
<strong>och</strong> bestämmer parametrarna a så att summan blir så liten som möjlig. Metoden är illustrerad<br />
i figur 1 för anpassning av ett andragradspolynom. Anpassningar underlättas av de utmärkta<br />
2
datorprogram som idag finns tillgängliga (se kapitel 10 i Symbolisk matematik med Maxima. Anpassningar<br />
kan också göras på moderna miniräknare. Problemet med miniräknare är att plottarna<br />
blir så små att det är svårt att se detaljer i anpassningen.<br />
4 Processer som beskrivs av differentialekvationer<br />
I det följande behandlar vi ett antal system <strong>och</strong> processer som beskrivs av differentialekvationer.<br />
Man bör notera att differentialekvationerna bara är modeller för verkligheten <strong>och</strong> att de aldrig<br />
kan ge en exakt beskrivning. Man måste också komma ihåg att alla experiment är behäftade<br />
med mätfel, både statistiska <strong>och</strong> systematiska, <strong>och</strong> detta måste beaktas då man jämför med en<br />
matematisk modell.<br />
Radioaktivt sönderfall<br />
Låt N(t) vara antalet atomer i ett radioaktivt prov vid tiden t. Noggranna experiment visar att<br />
ändringen av antalet atomer per tidsenhet, som kommer från att vissa atomer sönderfaller, är<br />
proportionellt mot antalet atomer i provet, dvs.<br />
N ′ (t)<br />
<br />
ändring per<br />
tidsenhet<br />
= −λN(t),<br />
där λ är en positiv konstant som är karakteristisk för ämnet. Lösningen till differentialekvationen<br />
är<br />
N(t) = Ce −λt ,<br />
där C är en konstant. Konstanten C brukar betecknas N0 <strong>och</strong> kan tolkas som antalet atomer<br />
vid t = 0, dvs. då vi börjar studera sönderfallsprocessen. Antalet atomer i provet avtar alltså<br />
exponentiellt med tiden t. Vid sönderfallsprocesser är man ofta intresserad av den tid T 1/2 det tar<br />
för det ursprungliga antalet atomer N0 att halveras (halveringstiden). Insättning av t = T 1/2 ger<br />
N0<br />
2<br />
<br />
halva ursprungsantalet<br />
= N0e −λT 1/2 ⇔ 1<br />
2 = e−λT 1/2 ⇔ ln<br />
<br />
1<br />
= −λT1/2 ⇔ ln 2 = λT1/2. 2<br />
Vi ser alltså att halveringstiden T 1/2 är relaterad till sönderfallskonstanten λ enligt<br />
T 1/2 =<br />
ln 2<br />
λ .<br />
I tabellen nedan ger vi halveringstider för några viktiga ämnen.<br />
ämne användning <strong>och</strong> förekomst halveringstid<br />
239 Pu kärnvapen, restprodukt från kärnreaktorer 2.4111 · 10 4 år<br />
235 U bränsle i kärnreaktorer 7.13 · 10 8 år<br />
222 Rn radioaktiv gas som kommer från sönderfall av uran 3.82 dygn<br />
137 Cs huvudprodukt vid klyvning av uran 30.0 år<br />
14 C åldersbestämningar av arkeologiska fynd 5.730 · 10 3 år<br />
3
I(x)<br />
x<br />
Figur 2: Strålningsintensiteten som passerar ett material beror av materialets tjocklek x.<br />
Absorption av strålning<br />
Elektromagnetisk strålning från t.ex. mobiltelefoner eller röntgenapparater absorberas av materia.<br />
Intensiteten I(x) av strålningen som går igenom ett material beror av materialets tjocklek x (se<br />
figur 2). Ändringen av intensiteten per längdenhet av det stoppande materialet är enligt Beer-<br />
Lamberts lag proportionell mot den ingående intensiteten<br />
I ′ (x)<br />
<br />
ändring per<br />
längdenhet<br />
= −kI(x),<br />
där k är en positiv konstant som beror materialet <strong>och</strong> vilken typ av strålning det är frågan om.<br />
Lösningen till differentialekvationen är<br />
I(x) = Ce −kx ,<br />
där C är en konstant. Konstanten C brukar betecknas I0 <strong>och</strong> kan tolkas som strålningsintensiteten<br />
vid x = 0, dvs. då tjockleken av det stoppande materialet är noll. Strålningen som går igenom ett<br />
material avtar alltså exponentiellt med materialets tjocklek. Vid absorption av strålning är man<br />
intresserad av halveringstjockleken x 1/2, dvs. den tjocklek på materialet som reducerar intensiteten<br />
på strålningen till hälften. En liknande räkning som ovan ger<br />
x 1/2 =<br />
ln 2<br />
k .<br />
Halveringstjockleken för gammastrålning är cirka 1 cm i bly.<br />
Avsvalning<br />
Vi har en kopp nybryggt kaffe med temperatur T(t) som befinner sig i ett rum med konstant<br />
temperatur Tomg. Erfarenhetsmässigt vet vi att kaffet kommer att svalna för att så småningom<br />
få samma temperatur som omgivningen. Vi vet också att temperaturändringen per tidsenhet<br />
(derivatan) är störst i början då det är stor temperaturskillnad mellan kaffet <strong>och</strong> omgivningen.<br />
Processen styrs av Newtons avsvalningslag<br />
T ′ (t) = −k (T(t) − Tomg),<br />
där k är en positiv konstant som bland annat beror av materialet i kaffekoppen. Vi skriver ekvationen<br />
på linjär form<br />
T ′ (t) +<br />
<br />
k T(t) = kTomg.<br />
g(t)<br />
Multiplikation med den integrerande faktorn e G(t) = e kt ger<br />
T ′ (t)e kt + T(t)ke kt<br />
<br />
D(T(t)e kt = kTomge<br />
)<br />
kt ,<br />
4<br />
I 0
vilket efter omskrivning är lika med<br />
D(T(t)e kt ) = kTomge kt .<br />
Integration av vänster <strong>och</strong> högerledet ger<br />
T(t)e kt <br />
=<br />
varur vi löser ut T(t)<br />
T(t) = Tomg + Ce −kt .<br />
kTomge kt dt = Tomge kt + C,<br />
Konstanten C är relaterad till kaffets begynnelsetemperatur. Om vi antar att kaffets temperatur<br />
är T0 vid t = 0 så blir<br />
<strong>och</strong> vi har<br />
T0 = Tomg + C ⇔ C = T0 − Tomg<br />
T(t) = Tomg + (T0 − Tomg)e −kt .<br />
Vi ser att lösningen startar vid T0 för t = 0 för att så sakta närma sig Tomg. Genom att anpassa<br />
lösningen till en experimentell avsvalningskurva kan vi få fram konstanten k.<br />
Vätskeströmning<br />
Vi har en vätskefylld behållare med ett hål i botten. Vätskenivån (avståndet från vätskeytan till<br />
behållarens botten) betecknas med y(t), se figur 3.<br />
y(t)<br />
utströmmande vätska<br />
med fart v(t)<br />
Figur 3: Vätska som strömmar ut ur ett hål. Utströmningsfarten beror av vätskenivån.<br />
Då vi öppnar hålet kommer vätskan att rinna ut varvid potentiell energi omvandlas till kinetisk<br />
energi. Betrakta ett vätskeelement med massan m. Energin bevaras för elementet <strong>och</strong> vi har att<br />
gmy(t)<br />
<br />
pot. energi<br />
= 1<br />
2 mv(t)2<br />
<br />
kin. energi<br />
Från bevaringslagen ovan sluter vi att den utströmmande vätskans fart ges av<br />
v(t) = 2gy(t).<br />
Detta är också känt som Torricellis 1 lag. Den utströmmande vätskan gör att vätskenivån hela tiden<br />
sänks. Efter lite funderande inser man att vätskenivåns hastighet (nivåns ändring per tidsenhet)<br />
måste vara proportionell mot den utströmmande vätskans fart <strong>och</strong> därmed mot y(t), dvs.<br />
y ′ (t) = −k y(t),<br />
1 Torricelli (1608-1647) italiensk fysiker, lärjunge till Galilei. Barometerns uppfinnare <strong>och</strong> den förste att åstad-<br />
komma vakuum.<br />
5
där k är en positiv konstant. Differentialekvationen ovan är en modell för hur vätskenivån ändrar<br />
sig med tiden. Om vi antar att vätskenivån är h vid tiden t = 0 då vätskan börjar strömma ut blir<br />
lösningen till differentialekvationen<br />
<br />
y(t) = − k<br />
2 t + √ 2 h .<br />
Notera att lösningen endast är giltig så länge uttrycket inom parentesen är större än eller lika med<br />
noll. Att uttrycket inom parentes är noll motsvarar precis att all vätska har runnit ut.<br />
Populationsdynamik<br />
Vi ska sätta upp <strong>och</strong> studera några modeller för populationsdynamik, dvs. hur antalet individer i en<br />
grupp växter eller djur utvecklar sig med tiden. En population ökar genom födslar <strong>och</strong> immigration<br />
(invandring) <strong>och</strong> minskar genom dödsfall <strong>och</strong> emigration (utvandring). För enkelhetens skull antar<br />
vi att populationen är sluten, dvs. att immigration <strong>och</strong> emigration är försumbara. Det är, som en<br />
första modellhypotes, rimligt att anta att både antalet som föds per tidsenhet (inflödet) <strong>och</strong> antalet<br />
som dör per tidsenhet (utflödet) är proportionellt mot antalet individer N(t) i populationen.<br />
Matematiskt formulerad blir modellhypotesen<br />
N ′ (t)<br />
<br />
ändring per tidsenhet<br />
= aN(t)<br />
− bN(t) =<br />
<br />
rN(t)<br />
<br />
,<br />
inflöde utflöde nettoflöde<br />
där r = a − b styr nettoflödet. Lösningen till differentialekvationen är<br />
N(t) = Ce rt ,<br />
där C är en konstant som kan tolkas som populationens storlek N0 vid tiden t = 0, dvs. då vi<br />
startar att titta på förändringarna. Om r > 0 (inflöde större än utflöde) har vi exponentiell tillväxt<br />
medan om r < 0 (utflöde större än inflöde) så har vi exponentiell minskning. En svaghet med den<br />
uppsatta modellen är att den förutsäger att ökningen av en population kan ske obegränsat, vilket<br />
uppenbart är orimligt.<br />
I en mera realistisk modell måste vi ta hänsyn till att miljön i form av ändlig tillgång på föda,<br />
boplatser osv. till slut sätter gränser för tillväxten. Sålunda måste man tänka sig att r inte är en<br />
konstant utan en funktion av N som minskar med ökande N. Antag att miljön har en bärarkapacitet<br />
eller förmåga att föda K individer av en given population. Vi har då att r(N) = 0 då N = K.<br />
Dessutom kan vi anta att r(N) antar sitt största värde rmax för N = 0. Vi vet inte i detalj hur<br />
r(N) ser ut, men det enklaste antagandet vi kan göra är att r(N) minskar linjär från r = rmax<br />
för N = 0 till r = 0 för N = K. Vi har då att<br />
<br />
r(N) = rmax 1 − N<br />
<br />
K<br />
<strong>och</strong> differentialekvationen blir<br />
N ′ <br />
(t) = rmax 1 − N(t)<br />
<br />
K<br />
N(t)<br />
N(t) = rmaxN(t) − rmax<br />
2<br />
<br />
K<br />
<br />
resurskonkurrens<br />
I en population är sannolikheten att två individer stöter ihop med varandra (<strong>och</strong> konkurrerar) proportionell<br />
mot N(t) 2 , <strong>och</strong> termen rmaxN(t) 2 /K tolkas som den täthetsberoende resurskonkurrensen<br />
vid tiden t. Modellen ovan kallas den logistiska modellen. Lösningen till differentialekvationen<br />
med begynnelsevillkoret N(0) = N0 är<br />
N(t) =<br />
N0Ke rmaxt<br />
N0(e rmaxt − 1) + K<br />
Lösningen kommer att gå i S-form från begynnelsevärdet N0 för att plana ut mot miljöns bärarkapacitet<br />
K då t blir stor.<br />
6<br />
.
Fjädersystem<br />
Vi ska nu sätta upp <strong>och</strong> analysera några modeller för mekaniska svängningar. För den sakens<br />
skull tänker vi oss en kropp med massa m fäst i en fjäder. Kroppen är kopplad till en viskös<br />
dämpare (trögflytande olja) vilken utöver en kraft som motverkar rörelsen. Fjädern <strong>och</strong> dämparen<br />
utgör ett så kallat dämpat fjädersystem. Dämpade fjädersystem har bland annat tillämpningar<br />
som stötdämpare i bilar.<br />
0<br />
y(t)<br />
m<br />
k, fjäderkonstant<br />
jämviktsläge<br />
viskös dämpare<br />
dämpningskonstant c<br />
Figur 4: En kropp kopplad till en fjäder <strong>och</strong> en dämpare utgör ett så kallat dämpat fjädersystem<br />
<strong>och</strong> tjänar som modell för stötdämpare i bilar.<br />
Låt y(t) vara kroppens position vid tiden t. Kvantiteterna y ′ (t) <strong>och</strong> y ′′ (t) kan då tolkas som<br />
kroppens hastighet <strong>och</strong> acceleration. Enligt Hooks lag är den återställande kraften från fjädern<br />
proportionell mot avståndet y(t) till jämviktsläget <strong>och</strong> vi har<br />
Ffjäder = −ky(t),<br />
där den positiva konstanten k är den så kallade fjäderkonstanten. Vi har ett minustecken framför<br />
eftersom kraften är motsatt riktad i förhållande till y(t). Noggranna experiment visar att kraften<br />
från dämparen är proportionell mot hastigheten y ′ (t) <strong>och</strong> vi har<br />
Fdämpare = −cy ′ (t),<br />
där den positiva konstanten c är systemets dämpningskonstant. Den dämpande kraften är motsatt<br />
riktad i hastigheten. Enligt Newtons andra lag är kraftsumman F lika med massan gånger<br />
accelerationen <strong>och</strong> vi har<br />
−ky(t) − cy ′ (t) = my<br />
<br />
Ffjäder +Fdämpare ′′ (t).<br />
Omordning ger<br />
my ′′ (t) + cy ′ (t) + ky(t) = 0.<br />
Fri svängning<br />
Vi antar först att dämpningskonstanten c = 0. Differentialekvationen blir då<br />
my ′′ (t) + ky(t) = 0.<br />
Karakteristiska ekvationen mr 2 +k = 0 har rötterna r1 = i k/m <strong>och</strong> r2 = −i k/m <strong>och</strong> lösningen<br />
till differentialekvationen är<br />
y(t) = C1 cosωt + C2 sin ωt,<br />
7
där ω = k/m är systemets egenfrekvens. Lösningen kan också skrivas på formen<br />
y(t) = Asin(ωt + δ).<br />
Lösningen representerar alltså en sinussvängning med amplituden A <strong>och</strong> fasförskjutning δ.<br />
Dämpade svängningar<br />
Om vi tar hänsyn till dämpningen blir differentialekvationen<br />
my ′′ (t) + cy ′ (t) + ky(t) = 0.<br />
Den karakteristiska ekvationen mr 2 + cr + k = 0 har rötterna<br />
r1 = −c + √ c 2 − 4km<br />
2m<br />
<strong>och</strong> r2 = −c − √ c2 − 4km<br />
.<br />
2m<br />
Man skiljer på tre fall beroende på om c 2 − 4km är positiv, negativ eller noll.<br />
(i) c 2 − 4km > 0. I detta fallet är både r1 <strong>och</strong> r2 negativa <strong>och</strong> lösningarna har formen<br />
y(t) = C1e r1t + C2e r2t .<br />
En kropp som har förflyttats iväg från jämviktsläget går direkt tillbaka. Vi säger att vi har överkritisk<br />
dämpning. En bra kompass är överkritiskt dämpad.<br />
(ii) c 2 − 4km = 0. I detta fallet är r1 = r2 = −c/2m <strong>och</strong> lösningarna har formen<br />
y(t) = (C1 + C2t)e −ct/(2m) .<br />
En kropp som har förflyttats iväg från jämviktsläget går tillbaka efter maximalt en oscillation. Vi<br />
säger att vi har kritisk dämpning. Fjädringen i många bilar ligger nära kritisk dämpning.<br />
(iii) c 2 − 4km < 0. I detta fallet är r1 <strong>och</strong> r2 komplexa <strong>och</strong> lösningarna har formen<br />
eller<br />
y(t) = e −ct/(2m) (C1 cosµt + C2 sin µt)<br />
y(t) = e −ct/(2m) Asin(µt + δ),<br />
där µ = 1<br />
√<br />
2m 4km − c2 . En kropp som har förflyttats iväg från jämviktsläget går oscillerande<br />
tillbaka. Amplituden på oscillationerna avtar exponentiellt. Vi säger att vi har underkritisk dämpning.<br />
En gammal bil med utsliten fjädring uppvisar ofta underkritiskt dämpade oscillationer då<br />
den kör över ett gupp.<br />
Pendel<br />
Betrakta pendeln i figur 5. Kroppen påverkas av tyngdkraften samt av spännkraften i snöret.<br />
Komposantuppdelning av tyngdkraften ger att kraften i banriktningen är<br />
F = −mg sin θ,<br />
där minustecknet anger att kraften är riktad mot jämviktsläget.<br />
För läget s(t) i banan gäller s(t) = L θ(t) vilket ger e är sammanbundna enligt Newtons andra lag<br />
vilket ger<br />
mL θ ′′ (t) = −mg sinθ(t) .<br />
<br />
ma(t) nettokraft<br />
8
θ<br />
L<br />
mg sinθ<br />
Figur 5: En pendel bestående av en kula upphängd i ett snöre med längden L. Nettokraften på<br />
kulan är F = −mg sin θ i banriktningen.<br />
Förenkling ger<br />
θ ′′ (t) + g<br />
sinθ(t) = 0.<br />
L<br />
Ekvationen ovan kan inte lösas analytiskt. För små vinklar θ kan vi dock utnyttja approximationen<br />
sin θ ≈ θ (första termen i Taylorutvecklingen) vilket ger<br />
θ ′′ (t) + g<br />
θ(t) = 0.<br />
L<br />
Karakteristiska ekvationen r 2 +g/L = 0 har rötterna r1 = i g/L <strong>och</strong> r2 = −i g/L <strong>och</strong> lösningen<br />
till differentialekvationen är<br />
θ(t) = Asin(ωt + δ).<br />
där ω = g/L. <strong>Per</strong>iodtiden T, dvs. tiden det tar att svänga från det ena vändläget <strong>och</strong> tillbaka,<br />
ges av<br />
T = 2π<br />
<br />
L<br />
= 2π<br />
ω g .<br />
Vi ser alltså att periodtiden är proportionell mot roten ur pendellängden.<br />
Fallrörelse med motstånd<br />
Ett föremål med massa m som släpps påverkas av tyngdkraften men också av en motriktad kraft<br />
på grund av luftmotståndet. I de fall strömningen är turbulent, dvs. det bildas virvlar bakom<br />
föremålet så att det uppstår en tryckskillnad mellan främre <strong>och</strong> bakre delen, är friktionskraften<br />
ofta proportionell mot det fallande föremålets fart i kvadrat. Om vi väljer referensriktning så att<br />
krafter <strong>och</strong> hastigheter är positiva då de är riktade nedåt blir nettokraften på kroppen<br />
F(t) = mg<br />
<br />
− kv(t)<br />
tyngdkraft<br />
2<br />
<br />
.<br />
luftmotstånd<br />
Kombinerat med Newtons andra lag F(t) = ma(t) = mv ′ (t) ger detta upphov till differentialekvationen<br />
mv ′ (t) = mg − kv(t) 2 .<br />
9<br />
mg
uppåtriktad kraft<br />
pga luftmotstånd<br />
F = −kv 2<br />
tyngdkraft<br />
F = mg<br />
Figur 6: En kropp som faller i luft påverkas av tyngdkraften <strong>och</strong> en uppåtriktad kraft på grund av<br />
luftmotståndet. Den uppåtriktade kraften är proportionell mot farten i kvadrat.<br />
Lösningen till differentialekvationen med begynnelsevärdet v(0) = 0 är<br />
<br />
<br />
m g e<br />
v(t) =<br />
k<br />
2<br />
√ gk<br />
m t <br />
− 1<br />
<br />
e 2<br />
√ gk<br />
m t .<br />
+ 1<br />
<br />
mg<br />
Från lösningen ser vi att farten närmar sig ett konstant värde vg = , den så kallade gräns-<br />
k<br />
farten, då tiden blir stor. Typiska gränsfarter för några olika föremål ges i tabellen nedan.<br />
5 Förberedande uppgifter<br />
Föremål gränsfart i m/s<br />
människa vertikalt 85<br />
människa horisontellt 55<br />
fallskärmshoppare 5<br />
bordtennisboll 8<br />
golfboll 30<br />
regndroppe 10<br />
Innan de experimentella uppgifterna i nästa avsnitt får påbörjas skall följande uppgifter vara<br />
redovisade <strong>och</strong> godkända.<br />
1. Läs igenom kapitlet om differentialekvationer i läroboken.<br />
2. Arbeta igenom kapitel 10 om minstakvadratanpassningar i kompendiet Matematik med datoralgebrasystem.<br />
Kör exemplen i kapitlet.<br />
3. Arbeta igenom kapitel 12 om differentialekvationer i kompendiet Matematik med datoralgebrasystem.<br />
Kör exemplen i kapitlet.<br />
4. Vi har kaffe med temperaturen T = 80 o C. Den omgivande temperaturen är Tomg = 20 0 C.<br />
Plotta avsvalningskurvan i tidsintervallet [0, 150] för k = 0.02 <strong>och</strong> k = 0.05. De två plottarna<br />
skall vara i samma figur. Vilken är betydelsen av k?<br />
10
5. Lös differentialekvationen<br />
y ′ (t) = −k y(t)<br />
med begynnelsevillkor y(0) = h.<br />
6. Lös differentialekvationen<br />
N ′ <br />
(t) = rmax 1 − N(t)<br />
<br />
N(t)<br />
K<br />
med begynnelsevillkor N(0) = N0. Det går bra att använda Maxima (jmf. uppgift 3 i kapitel<br />
12). Låt N0 = 100 <strong>och</strong> K = 1000. Plotta lösningen N(t) i tidsintervallet [0, 80] för rmax = 0.1<br />
<strong>och</strong> rmax = 0.2. De två plottarna skall vara i samma figur. Vilken är betydelsen av rmax?<br />
7. Betrakta differentialekvationen<br />
my ′′ (t) + cy ′ (t) + ky(t) = 0.<br />
för en dämpad svängning.<br />
(a) Lös ekvationen med hjälp av Maxima (jmf. ex. 12.3). Notera att där är tre olika fall beroende<br />
på värdet av c 2 − 4km.<br />
(b) Tag m = k = 1 <strong>och</strong> c = 4 (överkritisk dämpning). Lös differentialekvationen med begynnelsevillkoret<br />
y(0) = 1 <strong>och</strong> y ′ (0) = 0, vilket motsvarar att vi drar ut massan en längdenhet<br />
<strong>och</strong> släpper den. Plotta lösningen i tidsintervallet [0, 15].<br />
(c) Tag m = k = 1 <strong>och</strong> c = 2 (kritisk dämpning). Lös differentialekvationen med begynnelsevillkoret<br />
y(0) = 1 <strong>och</strong> y ′ (0) = 0. Plotta lösningen i tidsintervallet [0, 15].<br />
(d) Tag m = k = 1 <strong>och</strong> c = 0.1 (underkritisk dämpning). Lös differentialekvationen med begynnelsevillkoret<br />
y(0) = 1 <strong>och</strong> y ′ (0) = 0. Plotta lösningen i tidsintervallet [0, 15].<br />
(e) Tag m = k = 1 <strong>och</strong> c = 0 (fri svängning). Lös differentialekvationen med begynnelsevillkoret<br />
y(0) = 1 <strong>och</strong> y ′ (0) = 0. Plotta lösningen i tidsintervallet [0, 15].<br />
8. Betrakta differentialekvationen<br />
mv ′ (t) = mg − kv(t) 2 .<br />
för en fallande kropp.<br />
(a) Lös ekvationen med hjälp av Maxima (jmf. uppgift 6 i kapitel 12) under förutsättning att<br />
vi har begynnelsevärdet v(0) = 0.<br />
(b) Visa att lösningen verkligen uppfyller ekvationen genom derivation <strong>och</strong> insättning.<br />
(c) Tag m = 1 <strong>och</strong> k = 0.1 <strong>och</strong> plotta lösningen i tidsintervallet [0, 5]. Det går bra att approximera<br />
g med 10. Vilken är gränsfarten?<br />
6 Experimentella uppgifter<br />
Gör följande experimentella uppgifter. Var noggranna när ni arbetar <strong>och</strong> se till att ni skriver ner<br />
alla uppgifter ni behöver.<br />
1. Uppgiften består i att illustrera radioaktivt sönderfall genom att kasta tärningar.<br />
(a) Starta med alla tärningar i burken.<br />
(b) Räkna antalet tärningar <strong>och</strong> notera antalet.<br />
11
(c) Kasta tärningarna.<br />
(d) Ta bort alla tärningar som visar 1.<br />
(e) Räkna antalet kvarvarande tärningar <strong>och</strong> notera antalet.<br />
(f) Kasta tärningarna på nytt <strong>och</strong> fortsätt på samma sätt tills det att tärningarna tar slut.<br />
(g) Anpassa en exponentialfunktion N(t) = N0e −λt till data (här betecknar N(t) antalet<br />
tärningar <strong>och</strong> t antalet slag). Anpassningen kan göras med Maxima eller med miniräknare.<br />
Plotta data <strong>och</strong> anpassningsfunktion i samma figur.<br />
(h) Bestämma halveringstiden, dvs. hur många kast det tar innan antalet tärningar har minskat<br />
med en faktor 2.<br />
2. I den här uppgiften skall vi titta på hur gammastrålning från ett radioaktivt preparat absorberas<br />
av bly. Experimentuppställningen består av ett radioaktivt preparat <strong>och</strong> ett Geiger-<br />
Müllerrör kopplat till en räknare som registrerar antalet gammafotoner som går igenom blyskiktet<br />
under ett givet tidsintervall.<br />
strålkälla blyplattor detektor (GM−rör)<br />
Figur 7: Absorption av strålning i materia.<br />
räknare<br />
(a) Avläs på räknaren hur många fotoner som träffar Geiger-Müllerröret under ett givet tidsintervall.<br />
(b) Mät tjockleken av en blyplatta med hjälp av ett skjutmått. Notera tjockleken. Placera<br />
plattan mellan strålkällan <strong>och</strong> Geiger-Müllerröret. Avläs på räknaren hur många fotoner som<br />
träffar Geiger-Müllerröret under ett givet tidsintervall.<br />
(c) Häng på allt fler blyplattor <strong>och</strong> räknaren hur många fotoner som träffar Geiger-Müller<br />
röret under ett givet tidsintervall.<br />
(d) Anpassa en exponentialfunktion I(x) = I0e −kx till data med minstakvadratmetoden (här<br />
12
etecknar I antalet fotoner som träffar Geiger-Müllerröret under ett givet tidsintervall <strong>och</strong> x<br />
den totala tjockleken på blyplattorna). Anpassningen kan göras med Maxima eller med miniräknare.<br />
Plotta data <strong>och</strong> anpassningsfunktion i samma figur.<br />
(e) Bestämma halveringstjockleken, dvs. hur tjockt blylagret skall vara för att antalet fotoner<br />
som träffar Geiger-Müllerröret skall ha minskat med en faktor 2.<br />
3. I den här uppgiften skall vi ta upp en avsvalningskurva för kaffe. Ta fram en termometer <strong>och</strong><br />
köp en kopp varmt kaffe i någon automat på skolan.<br />
(a) Starta med att bestämma omgivningens temperatur Tomg (rumstemperaturen).<br />
(b) Sätt tiden t till noll <strong>och</strong> avläs kaffets begynnelsetemperaturen T0.<br />
(c) Avläs temperaturen vid olika tidpunkter. Se till att ni får tillräckligt många datapunkter.<br />
Notera både temperatur <strong>och</strong> tid.<br />
(d) Anpassa en funktion<br />
T(t) = Tomg + (T0 − Tomg)e −kt<br />
till data. Anpassningen kan göras med Maxima eller med miniräknare. Plotta data <strong>och</strong> anpassningsfunktion<br />
i samma figur. Vilket värde får ni på k?<br />
4. Gör hål i nederdelen av en 1.5 liters PET-flaska. Klistra på ett måttband eller något liknande<br />
så att ni får en skala.<br />
Figur 8: PET-flaska med hål <strong>och</strong> skala.<br />
Utloppshål Skala<br />
(a) Täpp till hålet i nederdelen av flaskan med ett finger. Fyll flaskan med vatten upp till 14<br />
cm.<br />
(b) Ta bort fingret så att vattnet strömmar ut samtidigt som en klocka startas. Notera tiderna<br />
vid vilken nivån y(t) i flaskan passerar 14 cm, 13 cm, 12 cm osv.<br />
13
(c) Upprepa försöket två gånger <strong>och</strong> bilda medelvärdet av tiderna.<br />
(d) Anpassa en funktion<br />
y(t) =<br />
<br />
− k<br />
2 t + √ 2 h .<br />
till data. Här är h vätskenivån då vattnet börjar strömma ut ur flaskan. Anpassningen kan<br />
göras med Maxima eller med miniräknare. Plotta data <strong>och</strong> anpassningsfunktion i samma figur.<br />
Vilket värde får ni på k?<br />
5. Vi ska nu göra ett experiment för att titta på populationstillväxt då vi har obegränsat med<br />
tillgångar. Individerna i populationen representeras av tärningar.<br />
(a) Starta med 5 tärningar. Notera antalet.<br />
(b) Kasta tärningarna.<br />
(c) För varje tärning som visar 6 lägger ni till en ny tärning.<br />
(d) Räkna antalet tärningar ni har då ni lagt till tärningar. Notera antalet.<br />
(e) Kasta tärningarna på nytt <strong>och</strong> fortsätt på samma sätt tills det att tärningarna tar slut.<br />
(f) Anpassa en exponentialfunktion N(t) = N0e kt till data (här betecknar N(t) antalet tärningar<br />
<strong>och</strong> t antalet slag). Anpassningen kan göras med Maxima eller med miniräknare. Plotta<br />
data <strong>och</strong> anpassningsfunktion i samma figur. Bestäm fördubblingstiden, dvs. antalet kast det<br />
tar för antalet tärningar (individer) att fördubblas.<br />
6. Vi modifiera experimentet ovan för att titta på populationstillväxt då vi har täthetsberoende<br />
resurskonkurrens. I vårt fall representeras individerna i populationen av tärningar <strong>och</strong> konkurrensen<br />
uppkommer då det finns begränsat med plats för tärningarna.<br />
Figur 9: Täthetsberoende konkurrens simulerad med tärningar.<br />
(a) Lägg alla tärningarna i behållaren. Töm behållaren så att tärningarna faller ner på bordet.<br />
(b) Tag frystejp <strong>och</strong> markera ett rektangulärt område sådant att en del av tärningarna hamnar<br />
utanför området. Området är det livsutrymme som individerna i populationen tävlar om.<br />
(c) Starta med fem tärningar. Lägg tärningarna i behållaren. Töm behållaren så att tärningarna<br />
faller ner på bordet.<br />
(d) Tärningar som hamnar utanför den markerade rektangeln blir utkonkurrerade <strong>och</strong> tas bort<br />
(motsvarande individ i populationen dör). För varje tärning i rektangeln som visar 6 lägger ni<br />
till en ny tärning.<br />
14
(e) Räkna antalet tärningar ni har då ni lagt till tärningar. Notera antalet.<br />
(f) Lägg tärningarna i behållaren <strong>och</strong> fortsätt på samma sätt tills det att tärningarna tar slut.<br />
(g) Anpassa en logistisk funktion<br />
N(t) =<br />
N0Ke rmaxt<br />
N0(e rmaxt − 1) + K<br />
till data. Anpassningen kan göras med Maxima eller med miniräknare. Plotta data <strong>och</strong> anpassningsfunktion<br />
i samma figur.<br />
7. I denna uppgiften skall vi betrakta mekaniska svängningar. Välj en fjäder <strong>och</strong> en metallcylinder<br />
så att ni får en svängning som inte är alltför snabb.<br />
Figur 9: Metallcylinger upphängd i fjäder. Jämviktsläget samt två andra lägen har markerats.<br />
(a) Bestäm massan för metallcylindern.<br />
(b) Fäst fjädern i en hållare <strong>och</strong> häng metallcylindern i den nedre delen av fjädern. För den<br />
fortsatta analysen är det bra om fjädern hänger nära whiteboardtavlan. Markera metallcylinderns<br />
jämviktsläge med ett streck på whiteboardtavlan. Sätt ytterligare ett streck så att ni får<br />
en längdskala.<br />
(c) Dra ner metallcylindern en bit <strong>och</strong> släpp den sedan så att den oscillerar upp <strong>och</strong> ned. Filma<br />
det hela med digitalkamera. Se till att ni får med ett par svängningar.<br />
(d) Använd Vidshell för att bestämma y(t) som funktion av t.<br />
15
(e) Anpassa funktionen<br />
y(t) = Asin(ωt + δ).<br />
till data. Plotta data <strong>och</strong> anpassningsfunktion i samma figur. Bestäm fjäderkonstanten k från ω.<br />
8. Tillverka en enkel pendel med hjälp av ett snöre <strong>och</strong> en tyngd. Mät svängningstiden T som<br />
funktion av snörets längd L. För att få bättre mätvärden kan ni ta tiden för 10 svängningar<br />
<strong>och</strong> sedan dela tiden med 10. Se till att utslagsvinklarna inte blir för stora då uttrycken vi har<br />
tagit fram endast gäller då sin θ ≈ θ. Plotta den uppmätta svängningstiden som funktion av<br />
L. Plotta det teoretiska uttrycket T = 2π L/g i samma figur. Hur väl stämmer experiment<br />
<strong>och</strong> teori?<br />
9. I den här uppgiften skall vi studera fallrörelse med luftmotstånd. För att fallet inte skall bli<br />
för snabbt använder vi oss av en badboll.<br />
(a) Börja med att bestämma badbollens massa m.<br />
(b) Gå till den stora trapphallen på lärarutbildningen (alternativt gymnastikhallen). Mät upp<br />
en sträcka som ni kan ha som referens.<br />
(c) Släpp badboll från en höjd som är tillräckligt stor för att bollen skall hinna bromsas upp<br />
för att till slut falla med konstant fart. Filma fallet med digitalkamera <strong>och</strong> se till att ni får med<br />
referenssträckan. Det kan vara bra att stå en bra bit från den fallande badbollen <strong>och</strong> använda<br />
en lång brännvidd för att undvika parallaxfel.<br />
(d) Använd VirtualDub för att bestämma bollens position y(t) som funktion av tiden t. Spara<br />
datavärdena i en textfil.<br />
(e) Beräkna badbollens fart numeriskt genom att bilda centrala differenskvoter.<br />
(f) Plotta farten som funktion av tiden <strong>och</strong> bestäm badbollens gränsfart vg. Lös ut <strong>och</strong> bestäm<br />
k från gränsfarten.<br />
(g) Plotta den experimentellt bestämda farten v(t) som funktion av tiden. Plotta den teoretiska<br />
farten<br />
<br />
<br />
m g e<br />
v(t) =<br />
k<br />
2<br />
√ gk<br />
m t <br />
− 1<br />
<br />
e 2<br />
√ gk<br />
m t <br />
+ 1<br />
i samma figur. Hur väl stämmer experiment <strong>och</strong> teori?<br />
7 Redovisning<br />
De experimentella uppgifterna skall redovisas i en skriftlig rapport skriven i Word eller något annat<br />
ordbehandlingsprogram. Rapporten skall innehålla beräkningar <strong>och</strong> resultat för all uppgifterna.<br />
Rapporten skall innehålla tillräckligt mycket text <strong>och</strong> förklaringar så att en utomstående läsare<br />
utan problem kan förstå vad ni har gjort. Beräkningar utan kommentarer godkänns inte. Mätdata<br />
<strong>och</strong> anpassningar skall redovisas <strong>och</strong> korrekta enheter skall användas. Det laborativa arbetet<br />
skall dokumenteras med digitalkamera. Inklippta bilder <strong>och</strong> figurer skall förses med förklarande<br />
text. Stor vikt läggs vid rapportens layout (se det som en träning att skriva bra <strong>och</strong> informativa<br />
laborationsinstruktioner till era elever).<br />
8 Vidare läsning<br />
För den som är intresserad av biologi <strong>och</strong> ekologi rekommenderas<br />
T. Bohlin, Introduktions till populationsekologi, Studentlitteratur, 2000.<br />
16
Boken presenterar på ett lättfattligt sätt olika teorier inom populationsekologin. Här finns otroligt<br />
mycket intressant material att hämta till matematikundervisningen. Kan vara bra att känna till<br />
då många elever i skolan har ett stort intresse för miljöfrågor <strong>och</strong> människans påverkan på den<br />
biologiska mångfalden.<br />
Många differentialekvationer kommer från fysik <strong>och</strong> teknik. Den som vill fördjupa sig kan läsa<br />
Ö. Nilsson <strong>och</strong> M. Österlund, Dynamisk simulering i fysik <strong>och</strong> teknik, Studentlitteratur, 2003.<br />
Här finns lite fylligare bakgrund till en del av systemen <strong>och</strong> processerna vi har tagit upp under<br />
denna laborationen.<br />
17