Mjukvarurealiserad bildtelefoni - Umeå universitet

Frekvensdomänanalys
Eftersom inte alla läsare av denna rapport förmodas vara familjära med frekvensdomänanalys ges
här en kort definition av en del begrepp (sett ur det datavetenskapliga perspektivet).
En (matematisk) funktion är en uppsättning beräkningar som tar ett antal parametrar och returnerar
ett värde utifrån dessa, d.v.s. i det reella fallet mappar ett värde från R n till R 1 (där R är de reella
talens värderum och n är antal parametrar som ges funktionen samt rummets dimension). Inom
signalbehandling kallas (endimensionella) signaler ofta för funktioner och i detta arbete används
uttrycken utbytbart.
En transform är en uppsättning beräkningar som tar ett antal parametrar och mappar dessa till en
ny värdemängd, d.v.s. för det reella fallet mappar alltså en transform från R n till R m (där m och n
betecknar antal dimensioner för de reella värderummen). En transform kan även sägas vara reell
eller komplex samt diskret eller kontinuerlig och då är det naturligtvis de värderum de arbetar på
som avses i beskrivningen.
Frekvensdomänen
Fouriertransformens (liksom de flesta övriga transformer nämns här) värdemängd kallas frekvensdomänen,
detta på grund av att den delar upp periodiska funktioner i sinusoida komponenter baserat
på dessa signalers inneboende frekvenser (d.v.s. hur data förändras inom signalen). De värden
som fås i transformkoefficienterna av en dylik transform uttrycker information om hur mycket den
aktuella sinusoiden skall viktas i det givna avsnittet för att tillsammans med de andra koefficienterna
approximera ursprungsfunktionen. Detta uttrycker även den komponentens relativa förekomst
i funktionen och kan även användas som ett mått på förändring inom en signal. Frekvensdomänanalys
är det samlingsnamn som används för att beteckna de metodiker som utnyttjar
transformer av periodiska funktioner och arbetar på de resulterande transformkoefficienterna.
Två egenskaper som kanske inte kommer läsaren intuitivt till sinnet men som är nödvändiga hos
de transformer som används är att de dels är reversibla och dels (oftast) är separabla.
Med reversibla menas att de i sig inte är dataförstörande – den ursprungliga signalen kan rekonstrueras
till fullo från de resulterande transformkoefficienterna med hjälp av inversen av transformen.
Mer matematiskt uttryckt så sägs dessa transformer vara ortonormala, vilket innebär att
transformmatrisens invers är detsamma som transponatet av transformmatrisen. Eftersom transponatet
av en matris alltid existerar och är enkel att beräkna så är det enkelt ta fram inversen för
transformen från dess transformmatris. Skall en transform användas på en flerdimensionell signal
kommer den andra nämnda egenskapen in i spel, med separabel menas att den flerdimensionella
transformen kan beräknas utifrån den endimensionella transformen genom upprepade beräkningar
(av den endimensionella transformen) på den givna signalen.
Transformteori används mycket inom signalbehandling eftersom transformer erbjuder ett smidigt
matematiskt verktyg för att beskriva en signals sammansättning på en specificerad detaljnivå.
Försöks exempelvis vissa frekvenser i en ljudsignal isoleras till en viss upplösning kan detta göras
genom att lokalisera dess motsvarande sinusoider i signalens transformrepresentation (för den
sökta upplösningen), extrahera dessa och sedan beräkna inversen av transformen på dessa
koefficienter. På motsvarande vis kan även färger i bilder bearbetas eller störningars i en signal
motverkas. Dessa metoder finner med andra ord många naturliga tillämpningar hos filtrering,
komprimering, signalrekonstruktion, med mycket mera. Subband coding och frekvensdomänanalys
är inom kompression närbesläktade men har den skillnaden att Subband coding
arbetar på (spatiella) frekvensband i ursprungssignalen medan frekvensdomänanalys delar upp den
ursprungliga signalen i (viktade) frekvenskomponenter efter signalens förändringar.
30