Betingad sannolikhet och oberoende händelser

12. I en familj i V˚amhus (en kommun i norra Dalarna) där samtliga generationer försörjer sig
som korgmakare, st˚ar farfar, far och son för respektive 30, 40 och 30 % av tillverkningen
av en viss korgtyp. Av erfarenhet vet man vidare att farfars produktion till 1 % best˚ar
av kassabla korgar. Motsvarande siffror för far och son är 0,5 och 1 %. En korg väljes
p˚a m˚af˚a fr˚an familjens produktion och visar sig vara kassabel. Vad är sannolikheten att
den tillverkats av farfar?
13. Vad är sannolikheten att vid en givning i bridge n˚agon av de fyra spelarna erh˚aller
exakt 6 ruter och exakt 2 klöver?
14. Sannolikheten att en jägare skall träffa en älg p˚a avst˚andet r är a2
r 2 , a är en konstant och
r > a. Jägaren skjuter första g˚angen, d˚a älgen är p˚a avst˚andet 3a. Om han d˚a missar,
laddar han om och skjuter igen d˚a älgen är p˚a avst˚andet 4a och analogt för avst˚anden
5a osv. Beräkna sannolikheten
a) att jägaren träffar älgen först p˚a sitt tredje skott,
b) att jägaren träffar älgen först p˚a sitt n:te skott,
c) att älgen är oskadd efter n skott.
d) Beteckna den sista sannolikheten med Pn och beräkna limn→∞ Pn.
15. L˚at A och B vara oberoende. Visa att även A och B c , A c och B, samt A c och B c är
oberoende.
16. I en urna ligger tre kuvert, ett vitt inneh˚allande ett vitt brevpapper, ett bl˚att in-
neh˚allande ett bl˚att brevpapper samt ett bl˚att inneh˚allande ett vitt brevpapper. Man
drar p˚a m˚af˚a ett av kuverten och studerar händelserna
A = {det dragna kuvertet är bl˚att}
B = {det dragna kuvertet har samma färg som dess inneh˚allande brevpapper}.
Är händelserna oberoende?
17. Betrakta försöket att kasta en symmetrisk tärning tv˚a g˚anger. L˚at A, B och C vara
händelserna “udda poäng vid första kastet”, “udda poäng vid andra kastet” resp. “udda
poängsumma”. Visa att händelserna A, B och C är parvis oberoende. P(A∩B∩C) = 0.
18. A, B och C är oberoende händelser som inträffar med sannolikheterna 0,1, 0,2 resp. 0,3.
Bestäm sannolikheten att minst en av dem inträffar.
19. För tv˚a preparerade tärningar, T1 och T2, gäller att sannolikheten för sexa är 0,15 resp.
0,20. Man väljer fullständigt slumpmässigt en tärning och gör tv˚a kast med denna. L˚at
A beteckna händelsen “sexa i första kastet” och B händelsen “sexa i andra kastet”. Är
A och B oberoende?
51