Hur utförs aritmetiska operationer i processorn? ? ?

Datorteknik 2012 föreläsningsfilmer
Hur utförs aritmetiska operationer
i processorn?
De aritmetiska operationerna byggs in i processorn m.h.a enkla logiska
kretsar (operanderna är ord stora) → de implementeras m.h.a. enkla operationer
som skift, and, or, ...
Obs! Ett värde representeras med ett fast
antal bitar → Aritmetiskt fel (overflow,spill)
kan uppstå
=
Resultatet kan ej representeras i antalet tillbudsstående
bitar.
Denna situation bör kunna igenkännas av
processorn
c1 =0; additions algoritm
for (i=0; i

Datorteknik 2012 föreläsningsfilmer
Addition och subtraktion
Addition: Additionen S = A+B uttryckt i algoritmform (x i betecknar biten i
position i i X ):
c 1 =0; /* carry in */
for (i=0; i

Datorteknik 2012 föreläsningsfilmer
Multilpkation och division
Utnyttjande av skift operationen
Ett tvåkomplement tal (och ett naturligt tal) multipliceras med 2 m genom
att skifta alla bitar m positioner åt vänster och flytta in nollor i de m minst
signifikanta positionerna.
Aritmetiskt fel sker om en signifikant bit flyttas ut ur ordet eller teckenbiten
ändras (tvåkomplement).
Ett tal i tvåkomplement (och naturligtt tal) divideras med 2 m genom att
skifta alla bitar m positioner åt höger och flytta in teckenbiten (0) i de m
mest signifikanta positionerna.
n=9: m=1
0 0 1 0 0 1 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0 1 1 0
n=9: m=1
1 0 0 0 1 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1
Mera invecklade
operationer
bit dk blir bit dk+1 , k=1,..,n-1
dvs. vikten blir 2 k . 2=2 k+1
bit d0 = 0
rest
Obs! för ett negativt udda tal blir det fel vid division
n=9:
-3=
1 1 1 1 1 1 1 0 1
-4= 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0
0
bit dk blir bit dk-1 , k=0,1,...,n-2
dvs. vikten blir 2 k . 2 -1 =2 k-1
bit dn-1 = 0 (naturliga tal)
bit dn-1 värde ändras ej (heltal)
Spill ?
1 1 1 1 1 1 1 1 0 =-2 ✓borde vara -1
=-2
Hur kan felet
rättas ?
7 (3/7)

Datorteknik 2012 föreläsningsfilmer
Multilpkation
Produkten av två naturliga tal fås genom att multiplicera varje siffra i
multiplikatorn (B) med multiplikanden (A) och siffrans vikt, och addera
ihop alla dessa delprodukter:
För binära tal
A⋅B = A⋅(dn-1 ⋅b n-1 + dn-2 ⋅b n-2 + ... + d1 ⋅b 1 + d0 ⋅b 0 )
A⋅B = A⋅dn-1 ⋅b n-1 + A⋅dn-2 ⋅b n-2 + ... + A⋅d1 ⋅b 1 + A⋅d0 ⋅b 0
n=4, r=10:
0023⋅0025 = 0023⋅(0 ⋅10 3 + 0⋅10 2 + 2 ⋅10 1 + 5⋅10 0 ) =
23⋅2⋅10 + 23 ⋅5 ⋅1 =
46 ⋅10 + 115 ⋅1 =
460 + 115 = 575
• är multiplikationen med siffran (0 eller 1) trivial
• multiplikationen med vikten kan göras m.h.a. vänster
skift
Multiplikation av tvåkomplementtal sker på samma sätt som multiplikation
av två naturliga tal utom att den mest signifikanta positionens
delprodukt subtraheras istället för att adderas (enl. def. tvåkomp.):
A⋅B = A⋅(-dn-1 ⋅2 n-1 + dn-2 ⋅2 n-2 + ... + d1 ⋅2 1 + d0 ⋅2 0 )
A⋅B = -A⋅dn-1 ⋅2n-1 + A⋅dn-2 ⋅2n-2 + ... + A⋅d1 ⋅21 + A⋅d0 ⋅20 n=4, r=2:
1010 . 1001 = -1010 . 1⋅2 3 +1010 ⋅ 0 ⋅2 2 + 1010⋅0⋅2 1 + 1010⋅1⋅2 0 =
produkten repr.
med 2n bitar:
-11010000 + 0 + 0 +11111010 =
- 00110000 + 0 + 0 +11111010 =
00101010
-6⋅(-7) = 42
7 (4/7)
Hur multipliceras
tvåkomplementtal
?

Datorteknik 2012 föreläsningsfilmer
kom ihåg:
skall ske i
hårdvara
Aritmetiskt fel:
Hur implementeras
multiplikation i
processorn ?
För att undvika aritmetiskt fel beräknas produkten i två ord.
Om ett tal med n siffror multipliceras med ett tal
med m siffror betår produkten av högst n+m siffror
(b n -1) . (b m -1) = b n+m -b n -b m +1 < b n+m -1
→ Produkten av två n-bitars tal kommer att uppta
högst 2n bitpositioner.
Multiplikationen P = A . B i tvåkomplement uttryckt i algoritmform (d i är
biten i position i i B):
P=0;
for (i=0; i

Datorteknik 2012 föreläsningsfilmer
Division
Division av positiva tal sker genom att för varje sifferposition i kvoten
subtrahera största möjliga multipel av nämnaren gånger vikten utan att
differensen blir negativ.
rest = A - B ⋅ kvot
rest = A -B⋅(dn-1 ⋅b n-1 + dn-2 ⋅b n-2 + ... + d1 ⋅b 1 + d0 ⋅b 0 )
rest = A - B⋅dn-1 ⋅b n-1 - B⋅dn-2 ⋅b n-2 - ... - B⋅d1 ⋅b 1 - B⋅d0 ⋅b 0
n=4, r=10:
851 - 0 ⋅ 9 ⋅10 3 - 0 ⋅ 9 ⋅10 2 - 9 ⋅ 9 ⋅10 1 - 4 ⋅ 9 ⋅10 0 =
851 - 9 ⋅ 90 - 4 ⋅ 9 = 5
kvot = 10 3 ⋅0 +10 2 ⋅0 +10 1 ⋅9 +10 0 ⋅4 = 94
För binära tal
• är multipeln 0 eller 1 - trivial att beräkna
• multiplikationen med vikten kan göras
med vänster skift
Division av tvåkomplementtal:
ex. 851 / 9 = 94
rest = 5
• Konvertera ett negativa tal till motsvarande positiva tal
• Dividera de positiva talen
• Konvertera resultatet till motvarande negativa tal om täljaren
och nämnaren har olika förtecken
→ Division är långsammare än multiplikation.
rest = A - B ⋅ kvot
rest = A -B⋅(dn-1 ⋅bn-1 + dn-2 ⋅bn-2 + ... + d1 ⋅b1 + d0 ⋅b0 )
rest = A - B⋅dn-1 ⋅bn-1 - B⋅dn-2 ⋅bn-2 - ... - B⋅d1 ⋅b1 - B⋅d0 ⋅b0 n=4, r=2:
1101 - 0⋅0011⋅2 3 - 1⋅0011⋅2 2 - 0⋅0011⋅2 1 - 0⋅0011⋅2 0 =
7 (6/7)
Hur dividerars
tvåkomplementtal
?
1101 - 0⋅0011000 - 1⋅001100 - 0⋅00110 - 0⋅0011 =
ex. 1101 / 0011 = 0100
1101 - 1100 = 0001 = 110 rest = 0001
kvot = 2 3 ⋅0 +2 2 ⋅1 +2 1 ⋅0 +2 0 ⋅0 = 4 10

Datorteknik 2012 föreläsningsfilmer
Aritmetiskt fel sker ej ty kvotens absoluta värde är ju alltid mindre än
eller lika med dividendens.
Divisions algoritm :
Hur implementeras
division
i processorn ?
I maskinvara utförs subtraktionen R-B