Appendix B: Referensinformation - SmartData

Runge-Kuttas metod
Bogacki-Shampine
3(2) formel
Runge-Kutta integrationer av vanliga differentialekvationer
beräknas med TI-89 / TI-92 Plus enligt formeln Bogacki-
Shampine 3(2) som den presenterades i Applied Math
Letters, 2 (1989), pp. 1–9.
Formeln Bogacki-Shampine 3(2) ger ett resultat med tredje gradens
exakthet och en feluppskattning baserad på en inbäddad andra
gradens formel. För ett problem av formen:
y' = ƒ(x, y)
och en angiven stegning h, kan Bogacki-Shampine formeln skrivas som:
F 1 = ƒ(x n, y n)
F 2 = ƒ (x n + h 1
2 , y n + h 1
2 F 1)
F 3 = ƒ (x n + h 3
4 , y n + h 3
4 F 2)
y n+1 = y n + h ( 2
9 F 1 + 1
3 F 2 + 4
9 F 3)
x n+1 = x n + h
F 4 = ƒ (x n+1 , y n+1)
errest = h ( 5
72 F 1 ì 1
12 F 2 ì 1
9 F 3 + 1
8 F 4)
Feluppskattningen errest används för att kontrollera steglängden
automatiskt. En utförlig beskrivning finns i Numerical Solution of
Ordinary Differential Equations av L. F. Shampine (New York:
Chapman & Hall, 1994).
Programvaran i TI-89 / TI-92 Plus justerar inte steglängden för att hamna
på särskilda punkter. Istället tar räknaren så stora steg som möjligt
(utifrån felmarginalen som angetts i diftol) och erhåller resultaten
för xn x xn+1 genom de kubiskt interpolerade polynomen som
passerar genom punkten (xn , yn) med lutningen F1 och genom (xn+1 , yn+1) med lutningen F4. Interpoleringen är effektiv och ger resultat genom
steget som är lika exakta som resultaten vid stegets slut.
Appendix B: Referensinformation 569