Processteknikens grunder Tentamen: Exempel

TkF Värmeteknik
Processteknikens grunder Tentamen: Exempel
4 frågor, max totalpoäng = 4 + 8 + 8 + 10 = 30
Alla hjälpmedel tillåtna utan telekommunikationsutrustning och personliga hjälpredor.
E1. En glaskula med diametern 1 meter fylls med benzen (C6H6) och sänks i havet till 100 m djup.
Vad ska vikten av glaskulan (tom) vara så att den stannar vid 100 m djup?
Data: densitet benzen ρb = 879 kg/m 3 ; densitet havsvatten ρhv = 1025 kg/m 3 . (4 p.)
E2. Hoover Dam vatten-kraftverket
i USA ger 2074 MW elektricitet
via en rad hydroturbiner. Vatten
tas in från sjön via s.k. ”intake
towers” (se Figuren) och i ett
förgreningsrör (”manifold”)
med diametern 9.1 m fördelas
strömmen över flera rör
(”penstock”) med diametrarna
D = 3.96 mot turbinen som
finns på en 110.5 m lägre nivå.
Efter turbinen leds vattnet i ån.
Varje turbin tar hand om 79.4 m 3 /s.
a. Beräkna den maximala effekten för en turbin för en medelvärdeshöjdskillnad Δz = 158.5
m. (4 p.)
b. Beräkna tryckförlusten över ett ”penstock”-rör med D = 3.96 m, längden L = 110.5 m och
för utloppet (med motståndstal ζ´ = 0.5) efter turbinen och beräkna hur många % av den
totala turbineffekten det tar. (4 p.)
Temperaturen är 25°C, trycket p1 vid inloppet = p2 vid utloppet = pomgivning = 1 bar.
Rörströmmarnas hastighetsprofil är nära uniform, dvs rörelseenergikoefficienten ξ = 1. Rörets
väggskrovlighet x = 0.046 m. Vattnets densitet är ρ = 997 kg/m 3 , vattnets dynamiska viskositet
är η = 8.9×10 -4 Pa.s.
1 av 4

E3. Apelsiner med diametern D = 6 cm hänger i ett träd och plötsligt
vid tidpunkten t = 0 och normaltryck p = 1 bar sjunker
temperaturen från 10°C till -1°C. För en värmekoefficient h = 1.5
W/m 2 ·K:
a. Bevisa att Biot-talet Bi < 0.1 för värmeöverföringsprocessen
(1 p)
b. Beräkna hur snabbt apelsinerna börjar kylas ner, dvs dT/dt (i °C/hr) vid t = 0 (3 p.)
c. Ge ekvationen för apelsinens temperatur som funktion av tiden och rita upp en graf som ger
apelsinens temperatur T som funktion av tiden, och dess temperaturförändring dT/dt som
funktion av tiden, för första två timmarna. (4 p.)
Apelsinernas temperatur T0 = 10°C vid t = 0, och deras densitet ρ, specifika värme c, och
termiska konduktivitet är ρ = 850 kg/m 3 , c = 3770 J/(kg·K) och λ = 0.5 W/ (m·K).
E4. Mat kan kokas snabbare med en tryckpanna genom att
uppnå temperaturer över 100°C.
Trycket i pannan regleras med en tryckregulator genom
vilken småmängder ånga släpps ut så att trycket inte blir
för högt.
En viss tryckpanna har volymen 6 liter och används vid
övertrycket (i förhållande till umgivningen där tryck är p
= p0 = 1 bar) pöver = 75 kPa. I början innehåller pannan 1
kg vatten och en 500 W värmeström tillförs. Vid
tidpunkten tstart = 0 kokar vattnet.
a. Ge temperaturen T (i °C) vid vilken vattnet kokar (1 p) och entalpin hexit (i kJ/kg) för ångan
som släpps ut ur pannan (2 p).
b. Beräkna specifika volymen v0 (i m 3 /kg), ångkvalitetet x0 (volym/volym), specifika inre
energin u0 (i kJ/kg) och inre energin U0 (i kJ) för vattnet (vätska + ånga) i pannan vid t = 0.
(3 p).
c. Beräkna, med hjälp av massa- och energibalanser, specifika volymen v1 (i m 3 /kg), och
ångkvaliteten x1 (volym/volym) för vattnet (vätska + ånga) i pannan vid t = 30 minuter
(3p).
d. Hur mycket vatten (vätska + ånga) m1 (i kg) finns i pannan vid t = 30 minuter och vad är
dess inre energi U1 (2 p.)
2 av 4

Svaren:
E1. Flytkraft = ρhavsvatten·g·Vkulan = 5270 N med Vkulan = 0.5236 m 3
Vikt för benzen = Wbenzen = ρbenzen·g·Vkulan = 4520 N
För kulan att stanna på 100 m djup: Flytkraft = Wbenzen + Wkulan
→ Kulans vikt Wkulan = Flytkraft - Wbenzen = 750 N (och kulans massa = 76.4 kg)
E2. a. Energi balans (punkt 1 = sjö, punkt 2 = å ) med Q = 0 (inga värmeströmmar) och ξi = 0:
dW/dtout = Pout = - m (u2 – u1 + ½v2 2 - ½v1 2 + gz2 – gz1 + p2/ρ - p1/ρ)
med p1 = p2 och u1 = u2 (eftersom T1 = T2)
→ Pout = (– ½v2 2 - g(z2 - z1))
Hastighet v2 från volymströmmen V = m/ρ och V = v2·Arör med Arör = (π/4)·(3.96) 2 = 6.45 m/s
→ med z2-z1 = -158.5 m ger Pout = 121 MW
b. Tryckförlusten Δp beror på rörets längd osv och friktionsfaktorn (eller motståndstalet) ζ=4ƒ.
Relativa väggskrovligheten är 0.046 mm / 3.96 m = 1.16×10 -5 m och Re =
997·6.45·3.96/8.9×10 -4 = 2.86×10 7 . Moody chart eller ekvationen för den ger ζ= 0.0087.
För röret blir tryckförlusten Δp = ½ρv 2 ·ζ·L/D = 5035 Pa.
För utloppet efter turbinen blir tryckförlusten Δp = ½ρv 2 ·ζ´ = 10369 Pa.
Totalt är tryckförlust Δptotal = 15404 Pa, vilket kräver Δp·V = 15404 Pa·79.4 m 3 /s = 1.22 MW
effekt. 1.22 MW av 121 MW = 1.01%.
E3. a. Biottalet: med L = volym/yta = D/6 = 0.01 m ger Bi = hL/λ = 0.03 is < 0.1,
→ s.k. ”lumped system approach” är OK.
b. Värmebalans: Qkonvection = mapelsin·c·dT/dt (W) och mapelsin = ρ·volym = ρ·(π/6)·D 3
och Qkonvection = h·A·(Tapelsin – Tomgivning) med ytan A = π·D 2 .
→ dTapelsin /dt = - (h·(Tapelsin – Tomgivning)) / ((D/6)·( ρ·c)apelsin) *)
Vid t = 0, Tapelsin = 10°C → dTapelsin /dt = -(1.5·11)/(0.01·850·3770) = 5.2·10 -4 °C/s =1.9 °C/hr
d. integration av *) under b. ger Tapelsin= Tomgivning+[(Tapelsin-Tomgivning)t=0 ·exp(- (h·t)/((D/6)·ρ·c))]
3 av 4

T(t) °C
12
10
8
6
4
2
0
-2
0 1200 2400 3600 4800 6000 7200
tid (s)
T(t)
dT(t)/dt
0
-0.0001
-0.0002
-0.0003
-0.0004
-0.0005
-0.0006
E4. a. p = 1.75 bar = 175 kPa → Tsat @ 175 kPa = 116 °C (vatten / ånga tabeller)
hexit = hg @ 175 kPa = 2700.6 kJ/kg (vatten / ånga tabeller)
b. v0 = V/m0 = 0.006 m 3 / 1 kg = 0.006 m 3 / kg
v0 = vf + x0·(vg – vf) →
x1 = (v0-vf ) / (vg – vf) = (0.006 – 0.001)(1.004 – 0.001) vid 116 °C, 1.75 bar
ger x0 = 0.005 (1 kg vatten = 995 g vätska + 5 g ånga)
inre energin u0 = uf + x0·(ug – uf) = 486.8 + 0.005·(2524.9 – 486.8) = 497.0 kJ/kg
och U0 = 497.0 kJ/kg · 1 kg = 497 kJ
c. Massabalans: m0 – m1 = mexit
Energibalans: Qin + m0·u0 = mexit·hexit + m1·u1
med Qin = 500 J/s · 1800 s = 900 kJ och mexit = m0 – m1
→ Qin = m0·(hexit - u0) + m1·(u1 - hexit) = m0·(hexit - u0) + V·(u1 - hexit)/v1 *)
med obekanta u1 och v1 och V = 0.006 m 3
v1 = vf + x1·(vg – vf) och u1 = uf + x1·(ug – uf) in *) ger
Qin = m0·(hexit - u0) + V ·(uf + x1·(ug – uf) - hexit) / (vf + x1·(vg – vf)) med obekanta x1 ger
→→ x1 = 0.009 och v1 = 0.010 m 3 /kg
d. m1 = V/v1 = 0.006 m 3 / 0.01 m 3 /kg = 0.6 kg och
U 1 = m1·u1 = 0.6 ·(486.8 + 0.01·(2524.9 – 486.8)) = 304 kJ
dT(t)/dt °C/s
4 av 4