Övning accelererad rörelse inkl lösningar - Dropbox

Övning – Accelererad rörelse
G1. En löpare ökar hastigheten från 0 m/s till 6,0 m/s på tiden 2,0 s.
Hur stor är löparens medelacceleration?
G2. Vid en omkörning hade den omkörande bilen vid omkörningens början hastigheten
20 m/s. Bilen accelererade med den konstanta accelerationen 1,2 m/s 2 i 5,0 s.
Vilken hastighet hade bilen efter accelerationen?
G3. Man släpper en liten blykula från 10 meters höjd. Vilken acceleration har kulan när
den har fallit 5,0 m? Bortse från luftmotstånd.
G4. En sten släpps ned från ett 35 m högt torn. Hur lång tid tar fallet? Bortse från
luftmotstånd.
G6. Vid en omkörning hade bilen vid omkörningens början hastigheten 25 m/s. Bilen
accelererade med den konstanta accelerationen 1,8 m/s 2 i 5,0 s.
Hur lång sträcka tillryggalades under accelerationen?
G7. Hur lång tid tar det att accelerera en bil från hastigheten 18 km/h till hastigheten
54 km/h, om bilens motor förmår åstadkomma en konstant acceleration av 1,2 m/s 2 ?
G8. En blomkruka faller ut genom ett fönster. Hur stor är krukans medelhastighet, om den
faller fritt under 1,8 s? Fallet antas ske utan friktion.
G9. Släpet till en bil, som rör sig med farten 20 m/s lossnar från dragbilen. Friktionen mot
underlaget och luften medför att släpvagnen får en retardation av 1,5 m/s 2 .
Efter hur lång tid stannar släpvagnen?

G10. Efter att ha åkt nedför en fjällbrant har en skidåkare farten 24 m/s. Inbromsningen till
stillastående tar 20 s. Hur lång blir bromssträckan om man antar att inbromsningen
sker med konstant acceleration?
G11. v-t-diagrammet beskriver rörelsen hos en kula som rullar nedför en ränna.
Bestäm kulans acceleration.
m/s
10
2
v
0,5 1,0
G12. Diagrammet visar en v-t-graf för en bils inbromsning till stillastående.
Beräkna bromssträckan.
m/s v
30
20
10
1 2 3 4 5 6 s
V5. Grafen visar v-t-grafen för en kropps rörelse.
Beräkna kroppens medelhastighet under tiden 0 s - 10 s.
m/s v
5
1
5 10
t
s
V6. En Formel I-bil accelererar med konstant acceleration från vila under 3,0 s.
Bilen kör under denna tid 40 m. Hur stor är därefter bilens hastighet?
V7. Ett litet föremål rör sig längs en rätlinjig bana på ett sådant sätt att avståndet s m från
utgångspunkten kan bestämmas med formeln s = 3,0·t + 0,80·t 2 där t är tiden i
sekunder efter starten. Hur stor är föremålets acceleration?
t
s
t

V8. Rita en v-t-graf för ett lodrätt kast med begynnelsehastighet 25 m/s rakt uppåt. Rita i
tidsintervallet 0 s ≤ t ≤ 5,0 s. Räkna med att tyngdaccelerationen är 10 m/s 2 .
V14. Carl Lewis sprang vid ett tillfälle ett 100 m-lopp på 9,86 s. Antag att han accelererade
likformigt under de första 25,0 m av loppet och sprang resterande delen med konstant
hastighet. Beräkna denna hastighet.
M1. En bil A körde med hastigheten 72 km/h på en rak motorväg. Framför A körde en
annan bil B, som hade hastigheten 90 km/h. Avståndet mellan de båda bilarna var
50 m. A accelererade med konstant acceleration och körde om B. Det tog
30 sekunder från det att A startade omkörningen tills det att A låg 50 m framför B,
som hela tiden höll samma hastighet.
a) Hur lång sträcka körde A under denna omkörning?
b) Beräkna accelerationen för bil A.
M2. En bil A med hastigheten 54 km/h blir omkörd av en annan bil B som kör med
hastigheten 72 km/h. Efter 10 s börjar bil A att accelerera med accelerationen
2,0 m/s 2 och fortsätter med detta tills han har kört om B.
Hur lång tid har det gått mellan dessa omkörningar?
M6. Två poliser sitter i en polisbil vid sidan av en väg där hastighetsbegränsningen är
70 km/h. Plötsligt ser de en bil som kommer i hög fart på vägen. Poliserna mäter
bilens hastighet med radar och ser att bilen kör med hastigheten 105 km/h. Eftersom
fartsyndaren inte ser polisbilen fortsätter han med samma hastighet. Poliserna beslutar
sig för att försöka köra ifatt bilen och stoppa den. Poliserna börjar accelerera när den
fortkörande bilen är jämsides med polisbilen. Polisbilen accelererar med
accelerationen 3,5 m/s 2 till hastigheten 150 km/h och håller sedan denna hastighet.
Hur lång tid tar det för polisbilen att hinna ifatt fartsyndaren, räknat från det
ögonblick då polisbilen startar?
M12. Pelle släpper en liten boll från ett fönster 8,0 m över marken. Precis rakt under står
Nisse och kastar en likadan boll rakt uppåt i samma ögonblick som Pelle släpper sin.
Bollen kastas från en höjd av 2,0 m över marken. Nisse kastar sin boll med
hastigheten 7,5 m/s och lyckas verkligen med konststycket att träffa Pelles boll på
vägen.
a) På vilken höjd över marken träffar bollarna varandra?
b) Åt vilket håll rör sig Nisses boll när bollarna träffar varandra?

Lösningar Accelererad rörelse
∆v
6, 0 − 0
G1. Medelaccelerationen am = = m/s
∆t
2,
0
2 =
= 3,0 m/s2 Svar: 3,0 m/s 2
G2. v = v o + a·t ger v = (20 + 1,2·5,0) m/s = 26 m/s
Svar: 26 m/s
G3. Om vi bortser från luftmotstånd, är accelerationen hos alla fallande kroppar i varje ögonblick lika med
tyngdaccelerationen g = 9,82 m/s2 .
Svar: 9,82 m/s 2
G4. För fritt fall utan begynnelsehastighet gäller
gt
2
s = , där s = 35 m
2
t =
2 s
=
g
Svar: 2,7 s
2⋅
35
s = 2,67 s
9,
82
G5. Då stenen kastas uppåt minskar dess hastighet. När stenen når sitt översta läge är hastigheten noll. Sedan
faller stenen nedåt. Hastigheten byter då tecken (blir negativ). Det diagram som visar detta är c.
Svar: c
a ⋅ t
2
G6. s = vo ·t +
2
s = 147,5 m
Svar: 150 m
ger s = (25·5,0 +
1,
8⋅
5,
0
2
) m
2
G7. 18 km/h = 5,0 m/s och 54 km/h = 15 m/s.
v = v o + a·t ger 15 = 5 + 1,2·t ⇒ t = 8,33 s
Svar: 8,3 s

G8. v = v o + a·t ger sluthastigheten
v = (0 + 9,82·1,8) m/s = 17,68 m/s.
Eftersom accelerationen är konstant är medelhastigheten
v
o
+ v 0 + 17,
68
v
m
= = m/s = 8,84 m/s
2 2
Svar: 8,8 m/s
G9. v = vo + a·t ger med sluthastigheten v = 0 :
0 = 20 – 1,5·t ⇒ t = 13,3 s
Svar: 13 s
G10. Eftersom accelerationen är konstant är
v
o
+ v 24 + 0
v
m
= = m/s = 12 m/s
2 2
s = v
m
·t = 12·20 m = 240 m
Svar: 240 m
G11. Kulans acceleration ges av lutningen av linjen i v-t-diagrammet.
∆ v 6,
0
a = = m/s
∆t
1,
0
2 = 6,0 m/s2 Svar: 6,0 m/s 2
G12. v-t-grafen är linjär. Alltså är accelerationen konstant.
v
o
+ v
Då accelerationen är konstant är medelhastigheten v
m
= .
2
Enligt grafen är vo = 30 m/s och v = 0 m/s.
30 + 0
v
m
= m/s =15 m/s
2
s = v
m
·t = 15·5 m = 75 m
Svar: 75 m

V5. Vi bestämmer först hur lång sträcka som kroppen har förflyttat sig under de första 10 sekunderna. Denna
sträcka representeras av arean av området under grafen. Detta område kan delas upp i en rektangel med
arean
s1 = 10 . 2 m = 20 m och en triangel med arean
5⋅ 3
s2 = m = 7,5 m
2
Total sträcka s1 + s2 = (20 + 7,5) m = 27,5 m. Detta har skett på tiden 10 s.
27,
5
Medelhastigheten vm = m/s = 2,75 m/s
10
Svar: 2,8 m/s
V6. Begynnelsehastighet: vo = 0. Sluthastighet: v
Då accelerationen är konstant får vi:
v
o
+ v
0 + v
s = ⋅t
⇒ 40 = ⋅3,
0
2
2
2⋅ 40
v = m/s = 26,7 m/s = 26,7
3,
0
. 3,6 km/h = 96 km/h
Svar: 27 m/s (96 km/h)
V7. s = 3,0·t + 0,80 . t2 . Derivatan av denna funktion ger hastigheten v(t) uttryckt i enheten m/s.
v(t) = 3,0 + 2 . 0,80 . t = 3,0 + 1,6 . t
Om vi deriverar funktionen v(t) erhåller vi accelerationen a(t) uttryckt i enheten m/s2 .
a(t) = 1,6
Svar: 1,6 m/s 2

V8. v = v o + a·t ger med positiv riktning uppåt och
a = –g = –10 m/s 2 ⇒ v = 25 – 10·t
Tabell:
t 0 1 2 2,5 3 4 5 s
v 25 15 5 0 –5 –15 –25 m/s
V14. Först likformig acceleration och sedan konstant hastighet innebär att v-t-grafen får
nedanstående utseende:
m/s
v
0
v
t
9,86 - t
9,86
t
s
Första delen av loppet var 25 m och andra delen blir då 75 m. Arean av det markerade
området i figuren representerar den totala sträckan.
25
2 =
v ⋅t
⇒ v·t = 50
v·(9,86 – t) = 75 ⇒ 9,86v – v·t = 75
Eftersom v·t = 50 erhålls: 9,86v – 50 = 75
125
v = m/
s = 12,
677 m/
s
9,
86
Svar: 12,7 m/s

90
M1. 90 km/h = m/s = 25 m/s
3,
6
72
72 km/h = m/s = 20 m/s
3,
6
a) Under de 30 sekunder som omkörningen tog körde B sträckan 25 . 30 m = 750 m.
A körde denna sträcka plus ytterligare 100 m, dvs totalt 850 m.
b) s = v . at
2
o t + , där v
2 o = 20 m/s
a är accelerationen.
2s
− 2v
t
a =
o 2⋅ 850 − 2⋅
20⋅
30
=
m/s
2
2
t
30
2 = 0,56 m/s2 Svar: a) 850 m b) 0,56 m/s 2
54
M2. 54 km/h = m/s = 15 m/s
3,
6
72
72 km/h = m/s = 20 m/s
3,
6
B kör 5 m/s snabbare än A. Under de första 10 s får då B försprånget 5 . 10 m = 50 m.
Låt t vara tiden från det att A börjar accelerera tills dess att A kör om B.
Under tiden t kör A sträckan 15t +
2,
0
⋅
2
2
t
= 15t + t 2
På samma tid kör B sträckan 20t.
A skall köra 50 m längre än B för att hinna ikapp.
15t + t 2 = 20t + 50
t 2 – 5t – 50 = 0
t = 2,5 ± 2, 5 50
2 + s = (2,5 ± 7,5) s
t1 = 10 s (t2 = –5,0 s är orimligt)
Den totala tiden mellan de båda omkörningarna blir då (10 + 10) s = 20 s
Svar: 20 s

M6. Först beräknas den tid det tar för polisbilen att nå farten 150 km/h:
v = v
o
+ at
⇒
150
v - v
− 0
3,
6
t =
o
= s = 11,
905 s
a 3,
5
Under denna tid kör polisbilen sträckan:
150
v
0
o
+ v
+
3,
6
s = ⋅t
= ⋅11,
905 m = 248,
02 m
2 2
Under denna tid hinner fartsyndaren köra sträckan:
s = v ⋅t
=
105
⋅11,
905 m = 347,
22 m
3,
6
Fartsyndaren har alltså ett försprång:
(347,22 – 248,02) m = 99,21 m
Polisbilen närmar sig fartsyndaren med farten
(150 – 105) km/h = 45 km/h.
Den tid som polisbilen behöver för att hinna ifatt fartsyndaren kan då lätt beräknas:
t = s =
v
99,
21
s = 7,94 s
45
3,
6
Sammanlagt behövs då tiden:
(11,905 + 7,94) s = 19,8 s
Svar: 20 s
M12.a) Vid tiden t = 0 är avståndet mellan bollarna 6,0 m.
Antag att bollarna träffar varandra efter tiden t.
2
gt
Pelles boll har då fallit sträckan s =
2 .
Vid tiden t har Nisses boll förflyttat sig sträckan
6,0 – s.
För denna boll gäller
2
gt
6,0 – s = vot –
2 , där vo = 7,5 m/s
Om vi sätter in uttrycket för s ovan får vi
2
gt
6,0 –
2 = v 2
gt
ot –
2
6, 0
vot = 6,0 t = =
v
o
6, 0
s = 0,80 s
7, 5
Pelles boll har då fallit
2
gt 9,82 ⋅ 0,802
s = = m = 3,1 m
2 2
Bollarna träffar varandra i en punkt
(8,0 – 3,1) m = 4,9 m över marken.
b) Hastigheten på Nisses boll efter 0,80 s är
v = v o – gt = (7,5 – 9,82·0,80) m/s = –0,36 m/s
Eftersom hastigheten är negativ har bollen vänt och är på väg nedåt.
Svar: a) 4,9 m b) nedåt