Geometri

Geometri
1. Linjen AC är bisektris till vinkeln BAD.
Sträckorna AB, AC och CD är lika långa.
Hur stor är vinkeln D ? Avgör utan mätningar!
A
B C D
2. ABCDE är en regelbunden femhörning
(de fem sidorna är lika långa och
vinklarna dem emellan är lika stora).
BF är bisektris till vinkeln ABE.
Bestäm, utan mätningar, vinkeln CBF.
B
C
3. Summan av vinklarna A,B,C,D,E är densamma
för alla s.k. pentagram —
femuddiga ”stjärnor” som i figuren nedan.
Hurinsermandet
och hur stor är vinkelsumman ?
A
C
E
A
D
F
D
E
B
1
4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid
sättas ihop till en ”kvadrat med hål” som i följande
figur — varför ?
Uttryck kvadratens area på två olika sätt,
sätt uttrycken lika med varandra och förenkla,
såharDuettbevisför...ja,förvad?
(Många matematiska resultat kommer till
genom att man uttrycker en och samma
storhet på två olika sätt ochdärmedskaffar
sig en ekvation, som man sedan ”räknar på”!)
5. Uttryck parallelltrapetsets area på två olika sätt
och förenkla, så har Du ett annat bevis för ...
a
c
b
(Tillskrivs James Garfield, USAs president några
månader 1881, innan han sköts av en förbittrad
arbetslös tjänsteman.)
6. Matematik2000CD: 2418
7. I en liksidig triangel betecknas sidornas längd
med a. Vadärarean,uttrycktia?
c
a
b

8. Med två kvartscirkelbågar har vi delat en
kvadrat i tre områden. Hur stor del av
kvadratens area upptas av den mittersta delen?
9. ABCD är en kvadrat, M är mittpunkt på CD.
Vill ha P, så att AP, BP och MP är lika långa.
Var skall P ligga ?
D
A B
10. I en cirkelkvadrant med radie r
är två halvcirklar inskrivna
så att de precis tangerar varandra.
Hur stor är den mindre halvcirkelns radie ?
M
P
C
2
11. Av ett cylinderformat rör,
som är delvis nedgrävt i marken,
ser man endast ett s.k. cirkelsegment
med bredd a och höjd b.
Hurstorärröretsdiameter?
12. I en rätvinklig triangel är en bisektris dragen.
Ta fram en formel för dess längd
som funktion av kateternas längder.
Utnyttja gärna den s.k. bisektrissatsen:
a b
a
b
x y
a
Ζ
b x
y

13. Sjömän ute till havs utnyttjar ibland följande
grova tumregel: Om ens ögon befinner sig på
höjden h meter ovanför vattenytan, så är synsträckan
till horisonten s km, där
s =3.6 √ h
Förklara detta samband med hjälp av figuren
nedan!
14. Vi har en rektangel och en punkt inuti.
Vi känner till tre av punktens avstånd till rektangelhörnen:
a, b, c. Hur kan vi ur dem räkna
ut det fjärde avståndet d ?
b
a
c
d
3
15. I en regelbunden sjuhörning (alla de sju sidorna
lika långa och likaså alla de sju inre vinklarna
lika stora)
är s = sidans längd, d = lilla diagonalens längd,
D = stora diagonalens längd. Visa att
1 1 1
= +
s d D
Tips: Betrakta rätvinkliga trianglar
och utnyttja symmetrin
(endast två olika diagonallängder finns!).

Likformighet
16. Såväl Pettersson som Ma2000CD skriver att
två räta linjer med riktn.koeff. k1 resp. k2
är vinkelräta då och endast då k1 · k2 = −1,
men någon förklaring lämnas inte.
Härled sambandet m.h.a. likformiga trianglar!
17. Vad skall förhållandet mellan a och b vara, om
den övre deltriangeln och. trapetset nedanför
skallhalikastorarea?
18. Med två linjer parallella med basen
skall en triangel delas i tre lika stora delar
(d.v.s. med lika stora areor).
Hur lång skall AB vara i förhållande till CD ?
A
19. Standard pappersformat (A3-,A4-,A5-ark, etc.)
är dimensionerat så att, om man delar ett ark
i mitten (av den längre sidan), så fås två rektanglar
som är likformiga med den ursprungliga.
Vad måste förhållandet mellan längd och bredd
för ett sådant ark papper vara? (Kontrollera dig
själv: ett A4-ark är 210 mm × 297 mm .)
B
a
b
C
D
4
20. Visa att varje rätvinklig triangel
delas i två likformiga trianglar
av höjden mot hypotenusan.
Utnyttja likformigheten
för att finna ett samband mellan a, b och c
a
x
c Ζ xΗy
21. I en rätvinklig triangel är en kvadrat inskriven.
(Månghörningen M säges vara
inskriven i månghörningen / cirkeln N,
om M:s alla hörn ligger på N.)
Hur lång är kvadratens sida,
om kateterna har längderna a resp. b ?
b
Förklara varför formeln för kvadratens sidlängd
måste vara symmetrisk i a och b — uttrycket skall
inte ändras om man låter a och b byta plats —
och kontrollera att så är fallet!
y

22. Figuren nedan skall föreställa
en konisk vattenbehållare, fylld till en viss nivå.
Ange sambandet som råder mellan
x =
vattnets höjd
konens höjd
och y =
vattnets volym
konens volym
23. Kapar man toppen av en pyramid med ett
snitt parallellt med basplanet, fås en kropp som
brukar kallas för stympad pyramid :
Anta att basen är en kvadrat med sidlängd a.
Sätt b = toppkvadratens sidlängd, h= höjden
(vinkelräta avståndet mellan de två parallella
kvadraterna).
Visa att den stympade pyramidens volym är
1 ³
a
3
2 + ab + b 2´
h
Tips: Volymen är differensen mellan två vanliga
pyramiders volymer.
5