Lektion 4.1: Sannolikhet - Stp

8. Sannolikhet
Detta kapitel behandlar grundläggande begrepp i sannolikhetsteori: enkel sannolikhet,
betingad sannolikhet, lagen om total sannolikhet och Bayes lag.
8.1. Enkel sannolikhet
Den klassiska sannolikhetsteorin, som började utvecklas på 1600-talet, har sitt ursprung i
tillämpningar på hasardspel. De frågor som man ville ha svar på var av typen
Är det gynnsamt att, vid jämna odds, slå vad om att man vid fyra kast med
en tärning får minst en sexa?
Detta specifika problem kallas även för De Mérés problem. 1
Fråga: Hur du skulle intuitivt svara på frågan? Hur skulle du kunna gå tillväga för
att lösa problemet?
8.1.1. Relativ frekvens
Låt oss försöka att lösa detta problem empiriskt. I Figur 8.1 ser vi utdatan från ett program
som kastar fyra tärningar åt oss och håller koll på antalet i sammanhanget gynnsamma
utfall, dvs. antalet gånger där man kastat minst en sexa vid fyra kast. Programmet skriver
även ut den relativa frekvensen av de gynnsamma utfallen: andelen som de gynnsamma
utfallen har bland alla utfall. Som vi ser så är denna andel vid 60% efter tio försök.
1 Efter Antoine Gombaud (1607–1684), som kallades Chevalier de Méré (även om han inte var riddare).
68

Matematik för språkteknologer (5LN445) 7 mars 2013
Försök Tärningar Gynsamma Rel. frekvens
1 3 3 4 3 0 0.000000
2 4 5 1 6 1 0.500000
3 4 4 3 5 1 0.333333
4 2 3 5 5 1 0.250000
5 5 5 6 2 2 0.400000
6 6 4 5 2 3 0.500000
7 5 5 3 5 3 0.428571
8 4 6 6 3 4 0.500000
9 2 6 5 2 5 0.555556
10 4 2 6 1 6 0.600000
Figur 8.1.: De Mérés problem.
Fråga: Vilken konsekvens skulle du dra av detta experiment? Varför då?
Sannolikhetsteorin utvecklades för att man ville kunna förutsäga framtiden baserat på
empiriska erfarenheter. Det hela bygger på antagandet att den relativa frekvensen av en
given händelse (såsom att kasta minst en sexa vid fyra kast) så småningom stabiliseras
kring ett värde. Detta värde kallas för händelsens sannolikhet. Det är viktigt att förstå
att en händelses sannolikhet kan inte observeras; det kan bara skattas. (I det experiment
som vi körde i Figur 8.1 observerade vi relativa frekvenser, inte sannolikheter.) Skattning
kommer vi tillbaka till i nästa kapitel, som handlar om statistik.
8.1.2. Utfall, händelser och sannolikhet
För att lösa De Mérés problem med hjälp av sannolikhetsteorin börjar vi med en förenklad
fråga:
Är det gynnsamt att, vid jämna odds, slå vad om att man vid ett kast med
en tärning får en sexa?
Svaret på denna fråga är lätt. När man kastar en tärning finns det sex möjliga utfall:
Tärningen kan visa en etta, en tvåa, en trea, en fyra, en femma eller en sexa. Mängden av
69

Matematik för språkteknologer (5LN445) 7 mars 2013
alla möjliga utfall kallas för utfallsrum och betecknas med den grekiska bokstaven ⌦. I
det här fallet har vi alltså
⌦ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Vid jämna odds finns det alltså bara ett gynnsamt utfall (man kastar en sexa), men fem
stycken ogynnsamma utfall (man kastar något annat). Det är alltså inte gynnsamt att slå
vad om att man får en sexa.
Fråga: Hur måste man argumentera om man istället är intresserad i frågan om det
är gynnsamt att slå vad om att man vid ett kast med en tärning får ett jämt tal?
Om man istället är intresserad i händelsen ”man kastar ett jämt tal” så finns det tre
gynnsamma utfall: en tvåa, en fyra och en sexa.
Det föregående exempel illustrerar skillnaden mellan begreppen utfall och händelse:
Varje kast med tärningen kommer att ge exakt ett tal som utfall; men vissa relevanta
händelser (”talet är jämt”, ”talet är större än 3”) kan bara beskrivas som kombinationer
av sådana utfall. Allmänt definierar man därför en händelse som en mängd utfall. En
händelse är därför en delmängd till utfallsrummet.
Sannolikheten för en händelse A är definierad som
P (A) =
antal utfall som leder till A
antal möjliga utfall
= |A|
|⌦|
(Kom ihåg att notationen |X| betecknar kardinaliteten eller storleken hos X.)
Fråga: Vad för sorts händelser är ; och ⌦?
Den tomma mängden representerar ”omöjlighet”: Det finns inget som helst utfall
som kan leda till denna händelse; dess sannolikhet är 0. Den fullständiga mängden
representerar ”nödvändighet”: Alla möjliga utfall leder till denna händelse; dess
sannolikhet är 1.
Nu kan vi gå tillbaka till De Mérés problem.
70

Matematik för språkteknologer (5LN445) 7 mars 2013
⌦ A
Figur 8.2.: Diagrammet visar att |A c | = |⌦ \ A| = |⌦| |⌦ \ A|.
Fråga: Vilket utfallsrum får man för De Mérés problem? Vilken storlek har detta rum?
Vilken händelse är man intresserad i? Hur stor är sannolikheten för den händelsen?
Det nya utfallsrummet består av alla följder (tupler) av fyra tärningskast. Detta
utfallsrum har kardinalitet 6 4 = 1296. Händelsen som man är intresserad i är mängden
av alla följder som innehåller minst en sexa. Men det är inte så lätt att räkna ut
sannolikheten för denna händelse . . . Närmare bestämt så är det svårt att räkna ut
antalet utfall som leder till händelsen ”minst en sexa”.
Ett begrepp som är mycket användbart i samband med De Mérés problem är begreppet
komplementhändelse. Med komplementhändelsen till en händelse A menas händelsen
att A inte inträffar. Eftersom varje händelse är en mängd är komplementhändelsen till A
helt enkelt komplementmängden till A, relativt till universum ⌦. Det är inte svårt att se
att sannolikheten för komplementhändelsen till en händelse A är
På samma sätt får man P (A) =1 P (A c ).
Fråga: Kan du bevisa detta?
P (A c )=1 P (A)
Mängden A c kan skrivas som ⌦ \ A. Enligt definitionen av sannolikhet gäller då att
P (A c )=P (⌦ \ A) =
71
|⌦ \ A|
|⌦|

Matematik för språkteknologer (5LN445) 7 mars 2013
När man ritar ett Venn-diagram som i Figur 8.2 ser man att |⌦ \ A| = |⌦| |⌦ \ A|.
Men eftersom A ✓ ⌦ har man ⌦ \ A = A. Med detta:
P (A c )=
|⌦ \ A|
|⌦|
= |⌦| |⌦ \ A|
|⌦|
= |⌦| |A|
|⌦|
= |⌦|
|⌦|
|A|
=1 P (A)
|⌦|
Det som gör begreppet ”komplementhändelsen” användbart i samband med De Mérés
problem är att det är mycket lättare att räkna ut storleken på komplementhändelsen till
”minst en sexa på fyra kast” än händelsen själv.
Fråga: Vad är komplementhändelsen, hur stor är respektive mängd och hur sannolikt
är komplementhändelsen?
Komplementhändelsen är ”ingen sexa på fyra kast”; dess storlek är 5 4 = 625; och
sannolikheten för komplementhändelsen är då 625/1296 = 48, 2%.
Med detta vet vi alltså att sannolikheten att få minst en sexa på fyra kast (vilket är
komplementhändelsen till komplementhändelsen, så att säga) är
P (A) =1 P (A c )=1
625
' 51, 8%
1296
Detta betyder att man har större chans att vinna än att förlora när man slår vad om att
man vid fyra kast med en tärning får minst en sexa.
Fråga: Din kompis och du ska singla slant om vem som ska gå ut med soporna.
Tyvärr har ingen av er några pengar, låt bli mynt. Din kompis föreslår att istället för
att singla slant slå upp en bok på en slumpmässig sida, titta på det första ordet på
denna sida och ta det som ”krona” om det börjar på en konsonant och som ”klave” om
det börjar på en vokal. Vad tycker du om hens förslag? Motivera! Försök att tillämpa
några av de sannolikhetsteoretiska begrepp som du har hittills sett.
72

Matematik för språkteknologer (5LN445) 7 mars 2013
8.2. Betingad sannolikhet
En mycket användbar generalisering av begreppet ”sannolikhet” är begreppet ”betingad
sannolikhet”. Den betingade sannolikheten för händelsen A givet händelsen B är
P (A|B) =
|A \ B|
|B|
För att se att denna definition är en generalisering av vår tidigare definition av sannolikhet
kan man notera att man får den vanliga (enkla) sannolikheten genom att sätta B = ⌦:
P (A|⌦) =
|A \ ⌦|
|⌦|
|A|
= = P (A)
|⌦|
Sammanhanget mellan enkel sannolikhet och betingad sannolikhet kan beskrivas så att
man ”zoomar in” på en delmängd av händelserna, nämligen de som är förenliga med B.
Dessa händelser blir det nya utfallsrummet. Detta illustreras i följande exempel.
Ett bigram är en sekvens av två ord. En korpus på engelska meningar med sammanlagt
100 000 000 ord innehåller 35 förekomster av bigram som slutar på ordet amok.
Fråga: Låt P (amok) vara sannolikheten för händelsen att man ser ordet amok när
man läser engelsk text. Hur skulle du kunna använda dig av korpusen för att skatta
P (amok)?
Man skulle kunna skatta sannolikheten genom att anta att den motsvarar den relativa
frekvensen av bigram som slutar på amok i korpusen. (Detta utgår ifrån att amok
inte är det första ordet i korpusen.) På det sättet får man ett värde P (amok) =
35/100 000 000 ' 0,000035%.
Nu får du lite ny information: Korpusen innehåller 8,500 förekomster av bigram som
börjar på run och 15 förekomster av bigrammet run amok.
Fråga: Hur skulle du kunna använda denna information för att skatta sannolikheten
att se ordet amok när du har just sett ordet run?
73

Matematik för språkteknologer (5LN445) 7 mars 2013
A B
Figur 8.3.: Venn-diagram för A \ B.
Låt oss beteckna sannolikheten för att se amok efter run med P (amok|run). Då gäller
P (amok|run) = 15/8 500 ' 0,18%. Det är alltså betydligt mera sannolikt att få amok
efter run än att få amok i godtyckliga kontexter.
Två händelser A och B kallas oberoende om P (A|B) =P (A). Detta betyder att den
betingade sannolikheten för A givet B inte är större än den enkla sannolikheten för A;
händelsen B händer har ingen påverkan på A.
Fråga: Hur räknar man ut P (A \ B)? Vad gäller när A och B är oberoende?
Genom att titta på Venn-diagrammet för A \ B (Figur 8.3) är det lätt att se att
P (A \ B) =P (A) · P (B|A) =P (A|B) · P (B) =P (B \ A)
Om nu A och B är oberoende gäller P (A|B) =P (A) och P (B|A) =P (B), så
P (A \ B) =P (A) · P (B) =P (B \ A)
74

Matematik för språkteknologer (5LN445) 7 mars 2013
8.3. Lagen om total sannolikhet
Två händelser A och B kallas disjunkta om A \ B = ;.
Fråga: Hur räknar man ut P (A [ B)? Vad gäller när A och B är disjunkta?
Genom att använda oss av räknereglerna för kardinalitet får vi
P (A [ B) =
|A [ B|
|⌦|
|A| |B|
= +
|⌦| |⌦|
|A \ B|
|⌦|
= P (A)+P (B) P (A \ B)
Om nu A och B är disjunkta gäller P (A \ B) =0och P (A [ B) =P (A)+P (B).
Fråga: I en fabrik tillverkas 40% av enheterna vid maskin 1 och 60% vid maskin 2.
Maskinerna tillverkar en viss andel defekta enheter; denna andel är 2% för maskin 1
och 5% för maskin 2. Hur stor är sannolikheten att en slumpmässigt vald enhet är
defekt?
Låt oss beteckna händelsen att en enhet tillverkas vid maskin 1 med M1 och händelsen
att en enhet tillverkas vid maskin 2 med M2. Låt oss beteckna händelsen att en enhet
är defekt med A. Eftersom varje enhet tillverkas av någon maskin kan vi skriva
P (A) =P (A \ (M1 [ M2)) = P ((A \ M1) [ (A \ M2))
Eftersom varje enhet tillverkas antingen vid maskin 1 eller vid maskin 2 är M1 och M2
disjunkta händelser. Därför är även A \ M1 och A \ M2 disjunkta och vi får
P (A) =P ((A \ M1) [ (A \ M2)) = P (A \ M1)+P (A \ M2)
Genom att använda formlerna för P (A \ M1) och P (A \ M2) kan vi skriva
P (A) =P (A \ M1)+P (A \ M2) =P (M1) · P (A|M1)+P (M2) · P (A|M2)
Och nu är det bara att stoppa in värdena ur uppgiften:
P (A) =P (M1) · P (A|M1)+P (M2) · P (A|M2) =0,4 · 0,02 + 0,6 · 0,05 = 0,038
Sannolikheten att en slumpmässigt vald enhet är defekt är alltså 3,8%.
75

Matematik för språkteknologer (5LN445) 7 mars 2013
Principen som vi använde oss av för att lösa denna uppgift kallas för lagen om total
sannolikhet. Den lyder: Låt A och B vara händelser så att A [ B = ⌦ och A \ B = ;.
Då gäller följande formel för varje händelse X:
8.4. Bayes lag
P (X) =P (A) · P (X|A)+P (B) · P (X|B)
Bayes lag låter en vända på en betingad sannolikhet. Den kan fattas i följande formel
där A och B är godtyckliga händelser:
P (B|A) =
P (A|B)P (B)
P (A)
Bayes lag är användbart eftersom det finns många situationer där vi är intresserade i
P (B|A) men bara har tillgång till P (A|B). Ett exempel är medicinsk diagnos. Läkare vill
gärna veta P (influensa|feber), men det är mycket enklare att skatta P (feber|influensa).
Bayes lag låter en använda denna information för att dra slutsatser om den information
man egentligen är intresserad i. Här är ett annat exempel:
Fråga: Kom ihåg fabriken från förra frågan. En kund påträffar en defekt enhet. Hur
stor är sannolikheten att den har tillverkats vid maskin 2?
Vi är intresserade i sannolikheten P (M2|A). Enligt Bayes lag gäller:
P (M2|A) = P (A|M2) · P (M2)
P (A)
= 0,05 · 0,60
0,038
' 0,789
Sannolikheten att den felaktiga enheten tillverkats är alltså ungefär 78,9%.
76