Geometrisk och fysikalisk optik Geometrisk optik

TAH/AGU-040504
Teori
1(13)
Geometrisk och fysikalisk optik
Göran Jönsson: Våglära och optik, kapitlen Avbildning med linser, Optiska instrument
Geometrisk optik
Tunna linser
För tunna linser gäller linsformeln:
1 1 1
+ =
a b f
Uppgifter:
a
1 Vad kan man säga om bildavståndet om man betraktar ett oändligt avlägset föremål?
2 Vad händer med bildavståndet om man betraktar ett föremål med mindre avstånd till
linsen än brännvidden?
b

Bessels metod
2(13)
Ett belyst föremål och en skärm placeras på ett avstånd som är minst fyra gånger större än
linsens uppskattade brännvidd. Linsen placeras mellan föremål och bild. Linsen flyttas så att
den i två lägen ger en skarp bild. Se figur.
Det kommer då att gälla att
2 2
L − d
f =
4L
Uppgifter
3. Härled sambandet ovan.
L
Ledtråd: Avståndet mellan föremål - lins i den övre figuren är lika stort som
avståndet mellan lins - bild i den undre figuren.
d

Negativa linser
3(13)
Att direkt bestämma brännvidden på negativa linser är svårt eftersom de normalt ger virtuella
bilder. Genom att kombinera den negativa linsen med en positiv lins med känd brännvidd är
det emellertid möjligt.
Bestäm först den positiva linsens brännvidd med Bessels metod.
Placera sedan den positiva linsen så att denna ger upphov till en skarp bild på en skärm (fig
1).
a
b
fig. 1
Placera den negativa linsen framför skärmen. Linsen måste placeras på ett avstånd från
skärmen som är mindre än dess brännvidd. Justera skärmen så att bilden blir skarp. (fig 2)
fig. 2
Använd linsformeln. "Bilden" i fig. 1 blir nu "föremål". Observera att "föremålet" ligger på
"fel" sida linsen.
a
b

Laborativa uppgifter
4(13)
Du har till ditt förfogande en optisk bänk samt diverse linser enligt följande:
+2 cm, +5 cm, +10 cm, +30 cm, -20 cm, okänd negativ lins samt okänd positiv lins.
I en del fall är lämpliga linskombinationer angivna, men oftast begärs det av laboranten att
denne själv funderar ut lämpliga linser ur listan ovan. Genom att studera beskrivningen av
instrumenten i läroboken bör lämpliga val kunna göras. Handledaren står givetvis också till
förfogande med stöd i valet. I rapporten skall givetvis de gjorda valen redovisas. Vidare skall
de i handledningen ställda frågorna besvaras. Dessutom krävs det i del 3, 4, 5 och 6 att en
tydlig figur med bildkonstruktion för de olika optiska instrumenten redovisas.
1. Bestäm brännvidden för tunn positiv lins med fyra olika metoder.
Denna är märkt med +.
A
Fokusera ett avlägset föremål och bestäm den positiva linsen:s brännvidd.
B
Skapa en bild av ett mer närbeläget föremål på en skärm och använd linsformeln för
att bestämma brännvidden på den positiva linsen.
C
Använd Bessels metod för att bestämma brännvidden på den positiva linsen.
2. Bestäm brännvidden för tunn negativ lins med olika metoder.
Bestäm brännvidden för den negativa linsen enligt metoden beskriven i teorin.
3. Bygg en kamera
Vilken typ av lins används i en kamera?
Vilken typ av bild får Du om Du använder en kamera? (Reell/virtuell)
Hur är det med förstoringen? (Förstoring/förminskning)
Är bilden omvänd eller rättvänd?
Hur skall föremålet placeras i förhållande till brännvidden?
Bygg en kamera som kan "fotografera" naturen utanför fönstret. I stället för film
används en vit skärm. Bilden på skärmen ska rymmas inom 24 mm x 36 mm - normalt
format för vanliga småbildskameror.
Fundera på lämplig lins.
Bestäm även "förstoringen" av motiv på skärmen.

4. Bygg en diaprojektor
5(13)
En diaprojektor har normalt flera linser/linssystem. Kondensorns uppgift är att se till
så att det ljus som kommer från projektorlampan belyser diat någorlunda jämnt.
Funnes inte kondensorn skulle detta ljus divergera kraftigt. Diat placeras ganska nära
kondensorn - se bilden nedan. Observera att avstånden inte är realistiska.
kondensor
diabild
objektiv
"vita duken"
Vilken typ av lins är kondensorn?
Vilken typ av lins är objektivet?
Vilken typ av bild får Du om Du använder en diaprojektor? (Reell/virtuell)
Hur är det med förstoringen? (Förstoring/förminskning)
Är bilden omvänd eller rättvänd?
Hur skall föremålet placeras i förhållande till brännvidden?
Bygg en diaprojektor.
Välj en lämplig brännvidd så att du får en förstorad bild på väggen med en diameter
på ca 1m. Bestäm förstoringen.
I förhållande till en vanlig diaprojektor kommer laboratorieprojektorn att vara väldigt
ljussvag, Vi använder en 30 W lampa. Det är inte onormalt att en diaprojektor har en
300 W-lampa.
5. Luppen
Vilken typ av lins används som förstoringsglas?
Vilken typ av bild får Du om Du använder ett förstoringsglas?
Hur är det med förstoringen? (Förstoring/förminskning)
Är bilden omvänd eller rättvänd?
Hur skall föremålet placeras i förhållande till brännvidden?
Välj en lämplig brännvidd för luppen, bland dina linser.
Bestäm luppens brännvidd med någon metod ovan och jämför med märkvärdet.
Beräkna luppens vinkelförstoring.

6. Bygg ett mikroskop
6(13)
Ett mikroskop är en kombination av en lupp och ett okular, genom vilken bilden från
luppen betraktas.
Bygg ett mikroskop.
Som objekt används mm-rutnätet med ett färgfilter bakom.
Som objektiv används en positiv 5 cm lins. Som okular används en positiv 10 cm lins.
Föremålet placeras framför objektivet på ett avstånd som är något större än
brännvidden. Placera en mattglasskiva ca 30 cm från objektivet. Objektivet ska ge en
reell förstorad bild av föremålet. Flytta objektivet så att bilden blir skarp.
Nu ska okularet placeras. Detta ska vara på ett okularbrännviddsavstånd från
mattglasbilden. Då ger okularet en virtuell bild på oändligt avstånd, vilket gör att
vinkelförstoringen blir maximal. Placera okularet så att detta villkor är uppfyllt. Ta
bort mattglasskivan. Titta in genom okularet - ögat nära - och finjustera.
7. Undersökning av astronomisk kikare
Flera av de frågor som ställs i denna del är en repetition av del 1 t.o.m. 6.
Vi ber om ursäkt för att vi är tjatiga.
Objektiv och okular
Även i en kikare använder man minst två linser.
Den ena linsen kallas objektiv och den andra okular.
Objektivet är den lins som är närmast objektet - föremålet. Denna lins fungerar ungefär
som en kamera.
Okularet är den lins som är närmast ögat. Denna lins skall fungera som ett
förstoringsglas.
Objektivet
Objektivets uppgift är att ge en så stor bild som möjligt av ett avlägset föremål.
A. Hur långt från linsen får vi en skarp bild av föremålet?
Undersök detta genom att placera en lins på den optiska bänken.
Rikta linsen mot ett avlägset föremål. Uppfånga en bild på skärmen bakom linsen.
B. Du har ett antal linser som går att spänna fast på den optiska bänken att välja mellan.
Vilken av linserna ger den största reella bilden?
Okularet
Okularet är ett förstoringsglas.
Ett förstoringsglas hålls nära ögat och ger en förstorad bild av ett föremål.
C. Du har ett antal linser som går att spänna fast på den optiska bänken, att välja
mellan.
Vilken av dessa ger den största förstoringen om den används som förstoringsglas?

Konstruktion av en kikare
7(13)
Vi har nu kommit så långt att Du bör förstå vilken lins som Du bör välja som objektiv
respektive okular.
Vi ska nu försöka konstruera en kikare. Placera objektivet i ena änden av den optiska
bänken. Placera en mattglasskiva i hållaren där Du tror att bilden av ett avlägset
föremål skall falla. Titta genom mattglasskivan mot objektivet. Justera
mattglasskivans läge så att Du får en skarp bild av föremålet. Kontrollera att avståndet
mellan mattglasskiva och lins är det Du förväntade Dig. Det är denna bild Du ska
förstora med hjälp av förstoringsglaset (okularet).
D. Hur ska okularet placeras i förhållande till mattglasskivan för att okularet skall
fungera som ett förstoringsglas? Var ska Du placera Ditt öga?
Utför experimentet och kontrollera att Du ser en förstorad bild. Tar Du bort
mattglasskivan blir bilden tydligare.
E. Hur ser bilden ut?
F. Hur stort är avståndet mellan objektiv och okular?
Jämför detta avstånd med linsernas brännvidder.
Kikarens förstoring
Nu ska Du försöka bestämma kikarens förstoring. Placera Dig
långt bak i laborationslokalen. Vid tavlan är en meterlinjal
uppställd. Titta med ena ögat genom kikaren och med andra
ögat direkt på linjalen. Välj ut en del av linjalen som Du ser
genom kikaren. Titta samtidigt med andra ögat och bestäm hur
stor del av den verkliga linjalen som den del av linjalen du ser genom kikaren upptar.
Detta är inte så lätt! Räkna skalstrecken.
synvinkel
Bild med
blotta ögat Bild genom
kikaren
H. Bestäm kikarens förstoring experimentellt och jämför med det "teoretiska" värdet..

Fysikalisk optik
Teori
8(13)
Göran Jönsson: Våglära och optik, kapitlen Optisk väglängd, Böjning och upplösning,
Interferens och böjning
Inledning
Synligt ljus och lasrar
Det ljus som det mänskliga ögat förmår uppfatta ligger i våglängdsområdet 400 - 750 nm.
Vilka frekvenser motsvarar detta?
Frekvenserna är så höga att det inte finns detektorer som förmår registrera svängningarna.
Vilken högsta frekvens klarar våra oscilloskop?
De ljusdetektorer som finns ger istället ett medelvärde av den intensitet som träffar dem.
Ljuset alstras när en exciterad atom återgår till ett tillstånd med lägre energi genom att
hc
utsända ett ljuskvantum, en s.k. foton. Denna får då en energi som ges av E = hf = .
λ
h är den s.k. Plancks konstant. Om fotonen har hög energi, d.v.s. om atomen exciteras så att
den lämnar ifrån sig mycket energi, blir våglängden liten. Kortvågigt ljus motsvarar alltså en
högre fotonenergi.
Excitationen kan ske på flera sätt. Ett fast ämne som värms upp får högre temperatur och
avger s.k. värmestrålning. Atomerna i det fasta ämnet exciteras men går till ett lägre
energitillstånd inom ca 10 ns. Eftersom energinivåerna i ett fast ämne ligger tätt kommer
denna strålning att ske i ett kontinuerligt våglängdsområde. Strålningens är maximal för en
viss våglängd som bestäms av yttemperaturen.
I en gas sker excitationen genom att atomerna alternativt molekylerna råkar ut för kollisioner
med elektroner eller joner, vilka accelererats av ett elektriskt fält. I ett lysrör sker återtåget till
lägre energinivå mycket snabbt. Om gasen består av en eller några få olika typer av gaser
kommer deexcitationen att ske mellan ett fåtal bestämda energinivåer. Vi kommer därför att
få ett för ämnet karaktäristiskt linjespektra. (Detta gäller inte gaser som framför allt består av
molekyler, där vi istället får ett s.k. bandspektra.) Att lysröret faktiskt också ger ett
kontinuerligt spektra beror på att rörets väggar är belagt med ett fluorescerande skikt.
Återgången till lägre energitillstånd sker i normala ljuskällor slumpvis. Normalt finns det
dessutom som tidigare nämnts flera olika energinivåer som återgången kan ske till, varför vi
får en blandning av våglängder och faser.
För en laser gäller principiellt att
energinivådiagrammet kan se ut
som det till höger. Genom
urladdningar kan man se till att
många atomer hamnar i den övre
energinivån, E 3 (optisk
pumpning). Den högsta
energinivån är kortlivad, d.v.s.
optisk
pumpning
snabb deexcitation
E 3
E 2
E 1
metastabil nivå
laserljus
grundnivå

9(13)
deexcitationen sker tämligen omedelbart. Om det nu finns en energinivå, E 2 , över
grundtillståndet som är s.k. metastabilt sker återgången till grundtillståndet, E 1 , först efter en
relativt lång tid. Därmed kan det bli många atomer som befinner sig i det metastabila
tillståndet. Återgången sker genom att en annan foton "lurar" med sig fotoner från den
metastabila nivån. Genom att det är många atomer som befinner sig i det metastabila
tillståndet kommer vi att få många atomer som samtidigt återgår till grundtillståndet. Den
inkommande och de "medlurade" fotonerna kommer att ha samma fas, samma våglängd och
samma riktning. Genom att fotonerna dessutom får passera i ett spegelförsett utrymme
kommer processen att förstärkas. Vi har fått vad man kallar en laser. Ordet är en förkortning
för Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation.
Laserljuset har för våra försök goda egenskaper. Dels är det monokromatiskt, vilket innebär
att det tämligen väldefinierat har en enda våglängd. I våra laborationer använder vi en heliumneon-laser,
vars våglängd enligt tillverkaren är 632,8 nm. Vidare lämnar lasern ifrån sig en
tämligen väldefinierad ljusstråle som divergerar högst måttligt. Dessutom är ljuset i hög grad
koherent - mer om detta nedan.
Varning!
Laserljusets egenskaper gör att det trots att effekten i ljusstrålen är liten, ca 1 mW,
så kan det orsaka skador. Det är helt ofarligt att låta ljuset träffa huden - pröva
gärna och känn efter om du märker av någon värmeeffekt. Däremot är det direkt
hälsovådligt att titta in i laserstrålen. Med normala försiktighetsåtgärder ska inte
detta kunna inträffa och till 2001 hade jag inte hört talas om någon olycka i
undervisningssammanhang. Men det kan alltså ske.
Koherenslängd
I figuren nedan ser du ett frekvensspektrum från en ideal monokromatisk ljuskälla.
intensitet
våglängd

10(13)
Att den är monokromatisk innebär att den tämligen väldefinierat har en enda våglängd, en
enda färg. I verkligheten har ingen ljuskälla en enda väldefinierad frekvens utan en viss
frekvensbreddning är oundviklig - se figuren nedan.
intensitet
I
max
I max
2
∆λ
våglängd
För att få ett mått på hur väl en ljusstråle är monokromatisk används kvoterna
∆ λ ∆ f
resp , där ∆ λ resp ∆ f är den s.k. halvvärdesbredden för våglängden resp
λ f
frekvensen. I figuren ovan ses halvvärdesbredden för våglängden markerad. Den definieras
helt enkel som bredden på intensitetskurvan då intensiteten är hälften av den maximala.
(Om man vet λ ∆
kan
λ
∆ f
bestämmas genom att v= fλd.v.s
f
v
f λ
Differentiera bägge sidor ∆ f =− ∆ λ ∆ f =− ∆ λ
2
2
λ
λ
v
f = .
λ
∆f ∆λ
=− )
f λ
Låt oss nu göra tankeexperimentet att ersätta intensitetskurvan med två lodräta linjer på
avståndet ∆ λ från varandra och med centrum vid den våglängd där den ursprungliga haft sitt
intensitetsmaximum.
intensitet
I
max
I max
2
∆λ
våglängd

Vilket enklare ses i figuren nedan.
I
max
I max
2
intensitet
∆λ
λ 1 λ 2
11(13)
våglängd
Vi kan alltså se det hela som två ideala monokromatiska ljuskällor med våglängderna λ 1 resp
λ1+ λ2
λ 2 för vilka det gäller att ∆ λ = λ2 − λ1
och att λ =
2
Vi kan nu analysera förhållandena som om det rör sig om två vågor som interfererar.
De enskilda vågorna har samma amplitud varför summan ges av
y = Asin ( k1x− ω1t) + Asin( k2x− ω2t)
Vi studerar hur den sammansatta vågen blir vid tiden t = 0 .
y = Asin k x + Asin k x
( ) ( )
1 2
A
k x
1
kx
k x
2
k x - k x
2 1
Ur figuren kan vi med hjälp av cosinussatsen finna att
2 2 2
B = A + A −2A⋅Acos π − k x− k x
( ( 2 1 ) )
( )
( 2 1 )
2 2
B = 2A 1+ cos k x− k x
A
Intensiteten ges av elongationen i kvadrat och är alltså enligt ovan beroende av läget för x.
Minima finns i punkterna x n enligt
kx 2 n − kx 1 n = ( 2n+ 1)
π
2π
Eftersom k =
λ
( 2n+ 1) π ( 2n+ 1) 1 ( 2n+ 1)
λ1λ2 har vi xn
= = =
2π 2π 2 λ2 − λ1 −
2 λ2 − λ1
λ λ λλ
2 1 1 2

12(13)
Skillnaden mellan två lägen med minima blir
λλ
2
λ
λ − λ ∆ λ
∆ x = 1 2 ≈
2 1
Detta avstånd kallas för koherenslängden och beror på ljuskällan. Ju mindre ∆ λ desto större
koherenslängd. Koherenslängden är ett mått på hur långa "kedjor" vågpaketen bildar. Att
koherenslängden är stor är gynnsamt då man arbetar med holografi eller interferometrar (se
nästa laboration).
För vanligt vitt ljus blir koherenslängden väldigt kort. Interferens med vitt ljus kräver därför
att ljuset gått mycket kort sträcka innan det interfererar. Att det ändå trots allt kan förekomma
ser du som interferens i tunna skikt, vilket orsakar färgskimret i såpbubblor och oljeskikt.
8. Koherensen hos laserljuset
A Divergera ljusstrålen med +2 cm-linsen. Låt ljuset träffa ett vitt papper några meter
från linsen. Beskriv vad du ser? Detta kallas specklemönster. Varför blir det ett sådant
mönster?
Specklemönstret kan användas för att bestämma arten av ögats synfel. Hur?
B Enligt tillverkaren har lasern våglängden 632,8 nm och frekvensbredden 1085 MHz.
Bestäm graden av monokromatism genom att beräkna kvoten
∆ λ
.
λ
Beräkna laserljusets koherenslängd ∆ x .

9. Böjning (diffraktion) i enkelspalt
13(13)
A Böjning i allmänhet
Placera den varierbara spalten så att den träffas av laserstrålen. Placera skärmen på ca
2 m avstånd. Undersök kvalitativt vad som händer då spaltbredden ändras.
I vårt försök är våglängden fast.
Vad skulle hända om spaltbredden var fast men våglängden ändras?
B Enkelspalt
För en spalt gäller bsinθ = mλ,
där b är spaltbredden, λ våglängden och θ
böjningsvinkeln i förhållande till centralpunkten.
Enligt teorin inträffar minima då m är ett heltal.
Ställ in en lämplig spaltbredd. Mät noggrant upp böjningsmönstret och beräkna
spaltbredden. Jämför med spaltens verkliga bredd genom att mäta denna med ett
bladmått.
C Babinets princip
Enligt Babinets princip är böjningsmönster från komplementära områden likadana.
Vad är ett komplementärt område till en spalt. Undersök om Babinets princip
stämmer.
10. Böjning (diffraktion) i cirkulärt hål
För cirkulära hål gäller Dsinθ = 1,22λ
där D är hålets diameter och θ är vinkeln
mellan första sidominimum och centralmaximum.
Du har en diabild med cirkulärt hål.
Bestäm genom mätningar av böjningsmönstret noggrant hålens diametrar.
OBS! Hålet är relativt stort varför avståndet till första sidominimum blir ganska litet.
11. Gitter
För gitter gäller dsinθ = mλdär
d är gitterkonstanten, λ våglängden och θ
böjningsvinkeln i förhållande till centralpunkten.
Ta bort linsen och belys gittret direkt med laserstrålen. Flytta skärmen närmare gittret.
Lämpligt avstånd är nog ca en halv meter - du avgör själv.
Bestäm gitterkonstanten för ett gitter.
Efter avslutade mätningar kan du kontrollera med laborationshandledaren för att få de
gitterkonstanter tillverkaren uppgivit.