HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
1<br />
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena linjära differentialekvationer<br />
<strong>HOMOGENA</strong> <strong>LINJÄRA</strong> <strong>DIFFERENTIALEKVATIONER</strong><br />
<strong>MED</strong> <strong>KONSTANTA</strong> <strong>KOEFFICIENTER</strong><br />
Linjär differentialekvation (DE) med konstanta koefficienter är en ekvation av följande typ<br />
( n)<br />
( n−1)<br />
y + a 1y<br />
... a2<br />
y′<br />
′ a1<br />
y′<br />
n−<br />
+ + + + a0<br />
y = f ( x)<br />
(1)<br />
där koefficienter an− 1 ,..., a2,<br />
a1,<br />
a0<br />
är konstanter.<br />
Om f ( x)<br />
= 0 kallas ekvationen homogen, annars icke-homogen (eller inhomogen).<br />
Den allmänna lösningen till ekvation (1) är<br />
y(x) = yH(x) +yp(x)<br />
( = den allmänna lösningen till den homogena ekv (2)+ en partikulärlösning till (1) ).<br />
1. En homogen linjär differentialekvation med konstanta koefficienter är en ekvation av<br />
följande typ<br />
( n)<br />
( n−1)<br />
y + a 1 ... ′<br />
′<br />
n−<br />
y + + a2<br />
y + a1<br />
y + a0<br />
y = 0<br />
(2)<br />
där koefficienter an− 1 ,..., a2,<br />
a1,<br />
a0<br />
är konstanter.<br />
Den allmänna lösningen till en homogen DE är linjär kombination av n<br />
oberoende partikulärlösningar (som vi kallar baslösningar)<br />
y = c y + c y + ... + c y .<br />
H<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
n<br />
n<br />
Vi söker linjärt oberoende partikulärlösningar på formen<br />
rx<br />
y = e .<br />
rx<br />
Substitutionen i (2 ) och förkortning med e ger<br />
n<br />
n−1<br />
2<br />
r + an−1<br />
r + ... + a2r<br />
+ a1r<br />
+ a0<br />
= 0 . (3)<br />
Ekvationen (3 ) kallas den karakteristiska ekvationen.<br />
1
2<br />
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena linjära differentialekvationer<br />
1. 1 <strong>HOMOGENA</strong> <strong>LINJÄRA</strong> <strong>DIFFERENTIALEKVATIONER</strong><br />
AV ANDRA ORDNINGEN<br />
<strong>MED</strong> <strong>KONSTANTA</strong> <strong>KOEFFICIENTER</strong><br />
linjära DE med konstanta koefficienter av andra ordningen<br />
Differentialekvationen<br />
y ′ + a ′ 1 y + a0<br />
y = 0 (4)<br />
har den karakteristiska ekvationen<br />
2<br />
r + a r + a = 0 (5)<br />
1<br />
0<br />
(Vi antar nedan, för enkelhets skull, att koefficienter 1, a0<br />
a) Om r 1 och r 2 är enkla reella rötter (dvs 1 r2<br />
y<br />
e<br />
r1<br />
x<br />
1 = och<br />
y<br />
2 =<br />
e<br />
r x<br />
2<br />
r ≠ ) då är<br />
två baslösningar till ekvationen (4).<br />
Den allmänna lösningen är<br />
r1<br />
x r2<br />
x<br />
yH<br />
= c1<br />
y1<br />
+ c2<br />
y2<br />
= c1e<br />
+ c2e<br />
.<br />
b) Om r 1 är en dubbel rot (dvs 1 r2<br />
y<br />
y<br />
e<br />
r1<br />
x<br />
1 = och<br />
H<br />
y<br />
xe<br />
r = ) då är<br />
2<br />
a är reella tal)<br />
2<br />
r1<br />
x<br />
= två baslösningar till ekvationen (4)<br />
c2<br />
y2<br />
r1<br />
x<br />
= c1e<br />
r1<br />
x<br />
+ c2xe<br />
= c y +<br />
.<br />
1<br />
1<br />
c) Om r 1 och 2<br />
r är två komplexa rötter, r1 = a + bi,<br />
r2<br />
= a − bi då är<br />
ax ax<br />
y1<br />
= e cosbx<br />
och y2<br />
= e sinbx<br />
två baslösningar till ekvationen (4).<br />
Den allmänna lösningen är<br />
ax<br />
ax<br />
yH<br />
= c1<br />
y1<br />
+ c2<br />
y2<br />
= c1e<br />
cosbx + c2e<br />
sinbx<br />
.<br />
Exempel 1.<br />
Lös följande DE med avseende på y (x)<br />
y ′ − 5 y′<br />
+ 6y<br />
= 0 .<br />
Lösning:<br />
Den karakteristiska ekvationen<br />
2<br />
r − 5r<br />
+ 6 = 0<br />
har två reella olika rötter 1 2 = r och 2 3 = r .<br />
2x<br />
Därför är y1<br />
e = 3x<br />
och y2<br />
e = två baslösningar och<br />
2x<br />
3x<br />
yH<br />
= c1<br />
y1<br />
+ c2<br />
y2<br />
= c1e<br />
+ c2e<br />
den allmänna lösningen till ekvationen.<br />
Svar:<br />
y<br />
H<br />
=<br />
c<br />
1<br />
e<br />
2x<br />
+ c<br />
2<br />
e<br />
3x
3<br />
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena linjära differentialekvationer<br />
Uppgift 1.<br />
Lös följande DE med avseende på y (x)<br />
.<br />
a) y ′ − 10 y′<br />
+ 16y<br />
= 0 b) y ′ − y′<br />
−12<br />
y = 0<br />
c) y ′ + 6 y′<br />
+ 5y<br />
= 0 d) y ′ + y′<br />
− 6 y = 0<br />
e) y ′ + 3 y′<br />
= 0 f) y ′ − 6 y′<br />
= 0<br />
g) 2 y ′ + 3y′<br />
= 0 h) 3 y ′ − 6y′<br />
= 0<br />
i) y ′ − 4 y = 0<br />
j) y ′ − 5 y = 0<br />
Svar:<br />
a)<br />
c)<br />
e)<br />
g)<br />
i)<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
H<br />
H<br />
H<br />
H<br />
H<br />
2x<br />
= c1<br />
e<br />
8x<br />
+ c2e<br />
b)<br />
− x<br />
= c1e<br />
−5x<br />
+ c2e<br />
d)<br />
−3x<br />
= c1<br />
+ c2e<br />
f)<br />
−3<br />
x<br />
2 = c1<br />
+ c2e<br />
h)<br />
= c<br />
1<br />
e<br />
−2x<br />
+ c<br />
2<br />
e<br />
2x<br />
Exempel 2.<br />
Bestäm den lösning till differential ekvationen<br />
y ′ − 7 y′<br />
+ 12y<br />
= 0<br />
som uppfyller begynnelsevillkoren<br />
y ( 0)<br />
= 0 och y ′ ( 0)<br />
= 1 .<br />
j)<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
H<br />
H<br />
H<br />
H<br />
H<br />
3<br />
= c<br />
1<br />
= c<br />
= c<br />
1<br />
= c<br />
= c<br />
e<br />
e<br />
1 +<br />
+ c2e<br />
3x<br />
+ c2e<br />
6x<br />
c e<br />
4x<br />
−<br />
1 +<br />
1<br />
e<br />
−<br />
c<br />
2<br />
2<br />
5x<br />
e<br />
2x<br />
+ c<br />
Lösning:<br />
Den karakteristiska ekvationen blir<br />
2<br />
r − 7r<br />
+ 12 = 0 .<br />
Den har två reella, olika rötter 1 3 = r och 2 4 = r .<br />
3x<br />
4x<br />
Därför är y1<br />
= e och y2<br />
= e två baslösningar och<br />
3x<br />
4x<br />
yH<br />
= c1<br />
e + c2e<br />
den allmänna lösningen till ekvationen.<br />
Om vi utnyttjar villkoret y( 0)<br />
= 0 får vi<br />
C 1 + C2<br />
= 0 (*)<br />
För att använda villkoret y′ ( 0)<br />
= 1 måste vi först derivera lösningen<br />
3x<br />
4x<br />
yH<br />
= c1<br />
e + c2e<br />
.<br />
Vi får<br />
3x<br />
4x<br />
y′<br />
H = 3 c1e<br />
+ 4c2e<br />
.<br />
2<br />
−3x<br />
2x<br />
e<br />
5x
4<br />
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena linjära differentialekvationer<br />
Villkoret y ′ ( 0)<br />
= 1 ger nu<br />
1 2 4 3 1 c + c = (**)<br />
Från (*) får vi C1 = −C2<br />
som vi substituerar i (**) och får<br />
1 = −3c<br />
1 = c<br />
.<br />
2<br />
+ 4c<br />
2<br />
⇒<br />
2<br />
Eftersom C1 = −C2<br />
får vi C 1 = −1<br />
Den sökta lösningen blir därmed<br />
3 x 4x<br />
y = −e<br />
+ e .<br />
3 x 4x<br />
Svar: y = −e<br />
+ e<br />
Uppgift 2a. Lös följande begynnelsevärdesproblem.<br />
a) y ′ − 8 y′<br />
+ 12y<br />
= 0 , y ( 0)<br />
= 3 och y ′ ( 0)<br />
= 14<br />
b) y ′ − 4 y = 0 , y ( 0)<br />
= 4 och y ′ ( 0)<br />
= 0<br />
Svar: a)<br />
y<br />
2x<br />
6x<br />
= e + 2e<br />
b)<br />
y = 2e<br />
Uppgift 2b. Lös följande randvärdesproblem.<br />
2x<br />
2<br />
a) y ′ − 5 y′<br />
+ 6y<br />
= 0 , y ( 0)<br />
= 2 och y ( 1)<br />
= e + e<br />
6<br />
a) y ′ − 3 y′<br />
= 0 , y ( 0)<br />
= 3 och y ( 2)<br />
= 2 + e<br />
Svar: a)<br />
y<br />
2 x 3x<br />
= e + e b)<br />
Exempel 3.<br />
Lös DE med avseende på y (x)<br />
y ′ − 4 y′<br />
+ 4y<br />
= 0 .<br />
y = 2 + e<br />
4<br />
+ 2e<br />
3x<br />
3<br />
−2x<br />
Lösning:<br />
Den karakteristiska ekvationen<br />
2<br />
r − 4r<br />
+ 4 = 0<br />
har två reella lika rötter r 2 och r 2 ( r 2 är en dubbel rot) .<br />
1 =<br />
2 =<br />
1 =
5<br />
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena linjära differentialekvationer<br />
Härav får vi två baslösningar 1<br />
2x<br />
= och<br />
yH<br />
= c1<br />
y1<br />
+ c2<br />
y2<br />
2x<br />
= c1e<br />
+ c2<br />
den allmänna lösningen till ekvationen.<br />
Svar:<br />
y<br />
H<br />
= c<br />
1<br />
e<br />
2x<br />
+ c<br />
2<br />
y<br />
xe<br />
2x<br />
Uppgift 3a.<br />
Lös följande DE med avseende på y (x)<br />
e<br />
y<br />
xe<br />
a) y ′ − 2 y′<br />
+ y = 0 b) y ′ + 2 y′<br />
+ y = 0<br />
c) y ′ + 4 y′<br />
+ 4y<br />
= 0 d) y ′ −10<br />
y′<br />
+ 25y<br />
= 0<br />
e) 4 y ′ − 4y′<br />
+ y = 0 f) 9 y ′ + 6y′<br />
+ y = 0<br />
Svar:<br />
a) yH x x<br />
c1<br />
e c2xe<br />
+ = b)<br />
c) yH<br />
− 2x<br />
= c1e<br />
−2<br />
x<br />
+ c2xe<br />
d)<br />
e) yH<br />
1<br />
x<br />
2 = c1<br />
e<br />
1<br />
x<br />
2 + c2xe<br />
f)<br />
Uppgift 3b. Lös följande begynnelsevärdesproblem<br />
y ′ − 6 y′<br />
+ 9y<br />
= 0 , y ( 0)<br />
= 2 och y ′ ( 0)<br />
= 7 .<br />
Svar:<br />
y =<br />
3x<br />
2 e +<br />
xe<br />
3x<br />
Exempel 4.<br />
Lös DE med avseende på y (x)<br />
y ′ − y′<br />
+ y = 0 .<br />
Lösning:<br />
Den karakteristiska ekvationen<br />
2<br />
r − r + 1 = 0<br />
1 3<br />
har två komplexa rötter r 1 = ± i .<br />
2 2<br />
Härav får vi två baslösningar<br />
y<br />
1<br />
y<br />
y<br />
y<br />
2x<br />
2 = och därför är<br />
2x<br />
H<br />
H<br />
H<br />
5<br />
xe<br />
1<br />
1<br />
x 3<br />
x 3<br />
2<br />
2<br />
= e cos( x)<br />
och y2<br />
= e sin( x)<br />
2<br />
2<br />
och därför är<br />
− x<br />
= c1<br />
e + c2<br />
5x<br />
= c1<br />
e + c2<br />
−1<br />
x<br />
3 c1e<br />
+ c2<br />
=<br />
xe<br />
xe<br />
xe<br />
− x<br />
5x<br />
−1<br />
x<br />
3
6<br />
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena linjära differentialekvationer<br />
y<br />
H<br />
= c<br />
1<br />
y<br />
1<br />
+ c<br />
2<br />
y<br />
2<br />
= c e<br />
1<br />
1<br />
x<br />
2<br />
cos(<br />
den allmänna lösningen till ekvationen.<br />
Svar:<br />
y<br />
H<br />
= c e<br />
1<br />
1<br />
x<br />
2<br />
cos(<br />
3<br />
2<br />
x)<br />
+ c e<br />
Uppgift 4a)<br />
Lös följande DE med avseende på y (x)<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
x<br />
2<br />
x)<br />
+ c e<br />
sin(<br />
a) y ′ − 2 y′<br />
+ 10y<br />
= 0 b) y ′ + 2 y′<br />
+ 5y<br />
= 0<br />
c) y ′ − 4 y′<br />
+ 13y<br />
= 0 d) y ′ + 4 y′<br />
+ 5y<br />
= 0<br />
e) y ′ + 4 y = 0<br />
f) 2 y ′ + 10y<br />
= 0<br />
g) 2 y ′ + 5y<br />
= 0 h) 4 y ′ + y = 0<br />
Svar:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
f)<br />
g)<br />
h)<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
H<br />
H<br />
H<br />
H<br />
y H<br />
y H<br />
y H<br />
y H<br />
= c e<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
x<br />
cos( 3x)<br />
+ c2e<br />
sin( 3x)<br />
x<br />
−x<br />
cos( 2x)<br />
+ c2e<br />
sin( 2x)<br />
2x<br />
cos( 3x)<br />
+ c2e<br />
sin( 3x)<br />
x<br />
−2x<br />
cos( x)<br />
+ c2e<br />
sin( x)<br />
2x)<br />
+ c sin( 2x)<br />
x<br />
1<br />
−<br />
c1e<br />
2x<br />
c1e<br />
−2<br />
c1e<br />
c1<br />
cos( 2<br />
c1<br />
cos( 5x)<br />
+ c2<br />
sin(<br />
5x)<br />
= c1<br />
cos(<br />
5<br />
x)<br />
+ c2<br />
sin(<br />
2<br />
5<br />
x)<br />
2<br />
1 1<br />
= c1<br />
cos( x)<br />
+ c2<br />
sin( x)<br />
2 2<br />
6<br />
2<br />
3<br />
2<br />
Uppgift 4b) Lös följande begynnelsevärdesproblem<br />
y ′ + 9 y = 0 , y ( 0)<br />
= 1 och y ′ ( 0)<br />
= 6 .<br />
Svar: y = 2 sin 3x<br />
+ cos3x<br />
Uppgift 3c) Lös följande randvärdesproblem<br />
π<br />
y ′ + 4 y = 0 , y ( 0)<br />
= 1 och y ( ) = 1.<br />
4<br />
Svar: y =<br />
sin 2x<br />
+ cos 2x<br />
1<br />
x<br />
2<br />
x)<br />
sin(<br />
3<br />
2<br />
x)
7<br />
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena linjära differentialekvationer<br />
1. 2 <strong>HOMOGENA</strong> <strong>LINJÄRA</strong> <strong>DIFFERENTIALEKVATIONER</strong><br />
AV FÖRSTA ORDNINGEN<br />
<strong>MED</strong> <strong>KONSTANTA</strong> <strong>KOEFFICIENTER</strong><br />
Exempel 5.<br />
Lös DE med avseende på y (x)<br />
y ′ + 6 y = 0 .<br />
Lösning:<br />
Den karakteristiska ekvationen<br />
r + 6 = 0<br />
har en rot r 1 = −6<br />
.<br />
−6x<br />
Detta ger en baslösning y1<br />
= e .<br />
Härav<br />
−6x<br />
yH<br />
= c1<br />
y1<br />
= c1e<br />
är den allmänna lösningen till ekvationen.<br />
y<br />
= c<br />
e<br />
−6x<br />
Svar: H 1<br />
Uppgift 5.<br />
Lös följande DE med avseende på y (x)<br />
a) y ′ + 8 y = 0<br />
b) y ′ − 5 y = 0<br />
c) 2 y ′ + 5y<br />
= 0 d) 3 y ′ − 5y<br />
= 0<br />
e) y′ = 3y<br />
f) y′ = −4y<br />
Svar:<br />
a)<br />
c)<br />
e)<br />
y<br />
y<br />
−8x<br />
H = c1e<br />
b)<br />
H<br />
−5<br />
x<br />
2 = c1e<br />
d)<br />
3x<br />
H = c1e<br />
f)<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
H<br />
H<br />
H<br />
= c e<br />
1<br />
= c1e<br />
=<br />
c e<br />
1<br />
5x<br />
5<br />
x<br />
3<br />
−4x<br />
7
8<br />
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena linjära differentialekvationer<br />
1. 3 <strong>HOMOGENA</strong> <strong>LINJÄRA</strong> <strong>DIFFERENTIALEKVATIONER</strong><br />
AV HÖGRE ORDNINGEN<br />
<strong>MED</strong> <strong>KONSTANTA</strong> <strong>KOEFFICIENTER</strong><br />
( n)<br />
( n−1)<br />
y + a 1 ... ′<br />
′<br />
n−<br />
y + + a2<br />
y + a1<br />
y + a0<br />
y = 0<br />
(2)<br />
Den allmänna lösningen till en homogen DE är linjär kombination av n<br />
oberoende partikulärlösningar (som vi kan kalla baslösningar)<br />
y = c y + c y + ... + c y .<br />
H<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
n<br />
n<br />
Vi söker linjärt oberoende partikulärlösningar på formen<br />
rx<br />
y = e .<br />
rx<br />
Substitutionen i (2 ) och förkortning med e ger<br />
n<br />
n−1<br />
2<br />
r + an−1<br />
r + ... + a2r<br />
+ a1r<br />
+ a0<br />
= 0 . (3)<br />
Ekvationen (3 ) kallas den karakteristiska ekvationen.<br />
För enkelhets skull betraktar vi ekvationer med reella koefficienter a k .<br />
Om r k är en reell rot till ekvation (3) med multiplicitet v k då är<br />
y = e<br />
rk x<br />
1 ,<br />
rk x<br />
y 2 = xe<br />
tillhörande baslösningar.<br />
,…,<br />
y<br />
v<br />
k<br />
=<br />
Om ekvationen (3) har två komplexa rötter a ± bi , med multiplicitet v , då är<br />
ax ax<br />
y1<br />
= e cosbx<br />
, y xe cosbx<br />
och<br />
x<br />
v<br />
k<br />
−1<br />
e<br />
r x<br />
v−1<br />
ax<br />
2 = , …, yv<br />
= x e cosbx<br />
ax<br />
ax<br />
y + e sinbx<br />
, y xe sinbx<br />
v<br />
1 =<br />
tillhörande baslösningar.<br />
v<br />
2 =<br />
Exempel 6.<br />
Lös DE med avseende på y (x)<br />
( 5)<br />
( 4)<br />
y − 3y<br />
= 0 .<br />
Lösning:<br />
Den karakteristiska ekvationen<br />
3 0<br />
4 5<br />
r − r =<br />
kan faktoriseras:<br />
4<br />
r ( r − 3)<br />
= 0 ⇒<br />
r ⋅ r ⋅ r ⋅ r ⋅ ( r − 3)<br />
= 0 ⇒<br />
r 1 , 2,<br />
3,<br />
4 = 0,<br />
r 5 = 3.<br />
Roten r = 0 har multiplicitet 4.<br />
Tillhörande baslösningar är<br />
y<br />
⋅x<br />
= e<br />
0<br />
1 ,<br />
y<br />
2<br />
= xe<br />
0⋅x<br />
k<br />
v−1<br />
ax<br />
+ ,…, y = x e sinbx<br />
,<br />
y<br />
3<br />
= x<br />
2<br />
e<br />
0⋅x<br />
,<br />
y<br />
4<br />
= x<br />
8<br />
3<br />
2v<br />
e<br />
0⋅x<br />
.
9<br />
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena linjära differentialekvationer<br />
0<br />
Eftersom e = 1,<br />
detta ger<br />
y 1 = 1 , y 2 = x<br />
,<br />
2<br />
y 3 = x ,<br />
Från r 5 = 3 får vi en till baslösning<br />
y<br />
e<br />
3x<br />
5 = .<br />
Den allmänna lösningen är<br />
yH = c1<br />
y1<br />
+ c2<br />
y2<br />
+ ... + c5<br />
y5<br />
= c<br />
1 2<br />
3 3x<br />
+ c x + c x + + c x + c e .<br />
1<br />
Svar:<br />
y<br />
2<br />
H<br />
3<br />
= c + c x<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
+ c<br />
3<br />
x<br />
2<br />
5<br />
+ + c<br />
y = x<br />
4<br />
4<br />
x<br />
3<br />
3<br />
+ c e<br />
Uppgift 6.<br />
Lös följande DE med avseende på y (x)<br />
3x<br />
5<br />
( 4)<br />
a) y + 5y′<br />
′<br />
= 0 b) y ′ − 2 y′<br />
′ + y′<br />
= 0<br />
( 4)<br />
( 4)<br />
c) y − 5y′<br />
′<br />
+ 6y′<br />
′ = 0 d) y − 4y′<br />
′<br />
+ 13y′<br />
′ = 0<br />
Svar:<br />
a) y<br />
c)<br />
y<br />
1 2 −5x<br />
H = c1<br />
+ c2x<br />
+ c3x<br />
+ c4e<br />
b) yH x<br />
x<br />
= c1<br />
+ c2e<br />
+ c3xe<br />
1 2 x<br />
H = c1<br />
+ c2x<br />
+ c3e<br />
3x<br />
+ c4e<br />
d) yH<br />
1 2x<br />
2x<br />
= c1<br />
+ c2x<br />
+ c3e<br />
sin 3x<br />
+ c4e<br />
cos3x<br />
====================================<br />
WRONSKIS DETERMINANT<br />
Som sagt ovan, den allmänna lösningen till en homogen DE<br />
( n)<br />
( n−1)<br />
y + a 1 ... ′<br />
′<br />
n−<br />
y + + a2<br />
y + a1<br />
y + a0<br />
y = 0<br />
(2)<br />
är linjär kombination av n oberoende partikulärlösningar (som vi kallar baslösningar)<br />
y = c y + c y + ... + c y .<br />
H<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
n<br />
n<br />
Ett sätt att kontrollera om lösningar till (2) y 1,<br />
y2<br />
,..., yn<br />
är oberoende är att beräkna Wronskis<br />
determinant:<br />
W<br />
=<br />
y<br />
y1<br />
y′<br />
1<br />
( n−1)<br />
1<br />
y<br />
Lösningar till (2) y 1,<br />
y2<br />
,..., yn<br />
är oberoende om och endast om Wronskis determinant är<br />
skild från 0:<br />
y<br />
y<br />
( n−1)<br />
2<br />
9<br />
2<br />
2<br />
L<br />
L<br />
L<br />
y<br />
y<br />
y<br />
n<br />
n<br />
( n−1)<br />
n
10<br />
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Homogena linjära differentialekvationer<br />
Uppgift 7.<br />
2x<br />
3x<br />
Visa att lösningarna y1<br />
= e och y2<br />
= e till 0 6 5 = + ′ − ′′ y y y är oberoende.<br />
Lösning:<br />
2x<br />
3x<br />
e e 5x<br />
Wronskis determinant W = = e ≠ 0 ⇒<br />
2x<br />
3x<br />
1<br />
2e<br />
3e<br />
y , y 2 är oberoende.<br />
Uppgift 8.<br />
Visa att lösningarna y1 = sin x och y2 = cosx<br />
till 0 = + ′ y ′ y är oberoende.<br />
Lösning:<br />
sin x cosx<br />
Wronskis determinant W = = −1<br />
≠ 0 ⇒ 1<br />
cosx<br />
− sin x<br />
y , y 2 är oberoende<br />
Uppgift 9.<br />
2x<br />
Bestäm om lösningarna y1<br />
e 5<br />
2x<br />
= och y2<br />
= 3e<br />
till y ′ − 5 y′<br />
+ 6y<br />
= 0 är beroende eller<br />
oberoende.<br />
Lösning:<br />
2x<br />
2x<br />
5e<br />
3e<br />
Wronskis determinant W = = 0 ⇒<br />
2x<br />
2x<br />
1<br />
10e<br />
6e<br />
y , y 2 är beroende.<br />
Uppgift 10.<br />
2x<br />
Bestäm om lösningarna y1<br />
= e och y2<br />
eller oberoende.<br />
5x Svar: Oberoende eftersom W = e ≠ 0 .<br />
3x<br />
= e och 3 = 1<br />
10<br />
y till y ′ − 5 y′<br />
′ + 6y′<br />
= 0 är beroende