Konfidensintervall

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Konfidensintervall
KONFIDENSINTERVALL
Konfidensintervall för aritmetiska medelvärdet vid normalfördelning
−1
Om är känt bestämmer vi λα / 2 = Φ ( α / 2)
från tabellen för standardiserade
normalfördelningen.
1.
σ
( x λα / 2 , x + λα
/ 2
n
σ
)
n
− σ känt
Längden av konfidensintervallet är
d
= 2 ⋅ λα / 2
σ
n
=======================================================
Om är okänt bestämmer vi tα / 2(
n −1)
från t-fördelningens tabell,
där vi väljer rad 1. 2.
( x
*
σ
( n −1)
,
n
*
σ
( n −1)
)
n
− tα
/ 2
x + tα
/ 2
σ okänt
=======================================================
Två stickprov:
Konfidensintervall för μ1 − μ2
med konfidensgrad 1 − α :
σ känt:
⎡
1 1
1 1 ⎤
⎢x
− y − λα / 2 ⋅σ
⋅ + , x − y + λα
/ 2 ⋅σ
⋅ + ⎥
⎣
n1
n2
n1
n2
⎦
σ okänt
⎡
*
⎢x
− y − tα
/ 2(
n1
+ n2
− 2)
⋅σ
⋅
⎣
1 1
+ ,
n1
n2
*
x − y + tα
/ 2(
n1
+ n2
− 2)
⋅σ
⋅
*
där σ =
2
2
( n1 − 1)
σ x + ( n2
−1)
σ y
n − 1 + n − 1
1
2
1 av 6
1 1
+
n n
================================================
1
2
⎤
⎥
⎦

Armin Haalilovic:
EXTRRA
ÖVNINGA AR
Uppgiftt
1.
En forskkare
gjorde 8 mätninga ar av syrekooncentration
nen och fick k följande reesultat
(enhe et:
mg/l):
0.6, 0.4, 1.66,
1.8, 1.2, 2.4,
1.7, 1.3
Normalfördelningeen
N(
μ,
σ ) kan antas ddär
standard davvikelse är ä känt, σ=11.
a) Bestääm
ett 95 % konfidensi intervall förr
μ .
b) Hur mmånga
mätnningar
behö övs för att fåå
ett konfide ensintervall som har 988
%
konfidensgrad
och som är hälf ften så brettt?
Lösningg:
a)
x =1.3775
= λ
( λα / 2 =
Konfideensintervalll:
(x − λαα / 2
σ
, x + λα / 2
n
σ
) = ( 1.38 − 1.
96
n
( 1.375−
0.
693,
≈ (0.6822,
2.068)
1.375+ 0.
. 693)
Svar a) (0.682, 2. .068)
b) Intervvallets
länggd=
d/2= 0.6 693
λ = 2,326)
( α / 2 =
0 . 025
= 1.
96)
Från forrmeln
för koonfidensinte
ervall ( medd
konfidensgrad
98%) får vi
2λα / 2
σ
= 0.6993
⇒ 2⋅
2.
326 ⋅
n
1
= 0, 693 ⇒
n
2⋅ 2.
32
n = ⇒
0.6 693
⎛ 2 2⋅
2.
326 ⎞
n = ⎜ ⎟
⎝ 0.693 ⎠
n ≈ 455
2
⇒
2 av 6
1
, 1.38
+ 1.
96
8
1
) ≈
8
Konfiden nsintervall

Armin Haalilovic:
EXTRRA
ÖVNINGA AR
Svar b) : Det behövvs
45 mätnin ngar
Uppgifft
2.
En student
gjorde 5 mätningar r för en normmalfördelad
de stokastisk k variabel ξξ
∈ N(
μ,
σ ) och
fick följjande
resulttat
(σ okän nt):
51, 552,
50.55,
49, 48
Bestäm ett 95 % koonfidensinte
ervall för mmedelvärdet
μ .
Lösningg:
x = 50. 1, σ =1.66
(tα / 2 = t0. 025 = 2.77764
Konfideensintervalll:
( x − tα
/ 2
σ
, x + tα
/ 2
n
σ
1.
6
) =
( 50.
1−
22.7764
,
n
5
1.
5
50.
1+
2.7764 )
5
=(48.1, , 52.1)
Svar: ( (48.1, 52.11)
Uppgifft
3.
Tio vuxxna
män i ålldrarna
35 ti ill 50 år delttog
i en stud die för att se
hur
motion och kostvannor
påverka ade kolesterrolvärdena
i blodet. Kolesterolhalteen
mättes hhos
var och en innan de e började mmed
motion och o kost me ed lite fett,
samt tree
månader eefter
att prog grammet staartat.
Följan nde resultat erhölls:
Person nnr
1 2 3 4 5 6 7 8
Före 265 2240
258 29 95 251 2455
287 314
Efter 229 2231
227 24 40 238 241
234 256
3 av 6
9 10
260 279
247 239
Konfiden nsintervall
(3p)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Konfidensintervall
Kan man med 95% sannolikhet påstå att motion och begränsat fettintag i maten ger lägre
kolesterolhalt i blodet?
Lösning:
”Stickprov i par” ger:
zi = xi
− yi
: 36, 9, 31, 55, 13, 4, 53, 58, 13, 40
ς är t-fördelad.
z = 31,
2
*
s obs = 20,
43,
t ( 9)
= 2,
2622 ,
0 , 025
⎡
20,
43
20,
43⎤
KI: ⎢31
, 2 − 2,
2622 ⋅ , 31,
2 + 2,
2622 ⋅ ⎥ = [ 16,
58;
45,
82]
⎣
10
10 ⎦
Svar: Eftersom intervallet ej innehåller noll så kan man med 95% säkerhet
påstå att kolesterolhalten blir lägre.
Uppgift 4.
Man vill jämföra två maskiner A och B med avseende på en viss kvalitetsvariabel hos de
tillverkade enheterna. För båda maskinerna kan denna variabel antas vara normalfördelade
med okänd standardavvikelse. Man har 5 dagar i rad tillverkat ett antal enheter med maskinen
A varvid man fått följande observationer.
A 21 25 24 22 23
Man har 6 dagar i rad tillverkat enheter med maskinen B varvid man fått följande
observationer.
B 20 24 21 22 23 22
Ange ett 95% konfidensintervall för m A − mB
där m A och m B är medelvärdena för
kvalitetsvariabeln hos de båda maskinerna.
Kan man med 95% sannolikhet påstå att en maskinen B är bättre än A?
Lösning: m 1 = 23 s 1=1.58
m 2 =22 s 2 =1.414
2
2
* ( n1
− 1)
s1
+ ( n2
−1)
s2
σ =
=1.49
n − 1 + n − 1
1
α / 2 = 2.
5%
r = antal frihets grader= n − + n −1
=9
1
2
1 2
Konfidensintervall:
⎡
*
⎢m1
− m2
− tα
/ 2(
n1
+ n2
− 2)
⋅σ
⎣
1 1
+ ,
n1
n2
*
m1
− m2
+ tα
/ 2(
n1
+ n2
− 2)
⋅σ
4 av 6
1 1
+
n n
1
2
⎤
⎥
⎦

Armin Haalilovic:
EXTRRA
ÖVNINGA AR
Eftersomm
n 1 =5 , n 2 =6
m1 − m2
= 1
α / 2 = 2 . 5%
1 − α / 2 = 0.
99
Närmasst
i tabellen är 0.975
och tα
/ 2 ( 9)
≈ 2,26622
* 1 1
får vi tαα
/ 2 ( 9)
⋅σ + =2.04 4.
5 6
Härav ffår
vi för ξξ
– η följa ande konfideensintervall
l: [−−1.04, 3.04]
Svar. KKonfidensinntervall:
[−1 1.04, 3.04] . Eftersom intervallet innehåller i 0 kan man
INTE påstå
att masskinen
B är bättre än AA.
Uppgiftt
5.
En student
gjorde 8 mätningar r av en lösniings
fryspun nkt och fick k följande reesultat:
0.5, 0.4, 1.66,
1.8, 2.2, 2.4,
2.5, 0.8
Normalfördelningeen
kan antas s och standaardavvikelse
e är känt, σ=2. σ
a) Bestääm
ett 95 % konfidensi intervall (ett tt tvåsidigt konfint. av typen [a,b] ) för
fryspunnkten.
b) Hur mmånga
mätnningar
behö övs för att fåå
ett konfide ensintervall (av typen [ [a,b] ) som m har
98 % koonfidensgraad
och som är ä hälften såå
brett
c) Bestääm
en ensiddigt
konfiden nsintervall fför
fryspunk kten av type en ( −∞ , c)
med
konfidensgraden
900
%
Lösningg:
a)
5 av 6
Konfiden nsintervall

Armin Haalilovic:
EXTRRA
ÖVNINGA AR
x =1.5225
= λ
( λα / 2 =
=(0.1399,
2.91)
Svar a) (0.139, 2.991)
b) Intervvallets
läng
Hälften = 1.39
2 =
gd=d=2.77
d
.
= λ = 2.
3263 )
( λα / 2 =
Från forrmeln
för koonfidensinte
ervall får vii
σ
2
2λα / 2 = 1.
399
⇒ 2⋅
2.
32 263 ⋅ = 1. 39 ⇒
n
n
2
⎛ 2 2⋅
2.
3263⋅
2 ⎞
n = ⎜
⎟ ⇒
⎝ 1.
39 ⎠
n ≈ 455
Svar b) : Det behövvs
45 mätnin ngar ( 8 +377).
c)
( = λλ
λ α
Svar c)
0 . 025
= 1 . 96)
Konfideensintervall:
σ
(x − λαα / 2 , x +
n
0 . 01
0 . 10
= 1.
28816
Konfideensintervall:
σ
( −∞,
x + λα ) =
n
(−∞,
2.
433
)
λα / 2
(−∞,
σ
) = ( 1.525 − −1.
96
n
1.525 + 1.
22816
6 av 6
2
, 1.525 + 1.
96 9
8
2
)
8
2⋅ 2.
3263⋅
2
n =
⇒
1.
39
= (−∞,
2.
43 4 )
2
)
8
Konfiden nsintervall