FORMELBLAD ( Linjär Algebra)
FORMELBLAD ( Linjär Algebra)
FORMELBLAD ( Linjär Algebra)
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>FORMELBLAD</strong> ( <strong>Linjär</strong> <strong>Algebra</strong>)<br />
Kurser: HF1008, Hf1006. TEN1 ( <strong>Linjär</strong> <strong>Algebra</strong>) Program: Elektroteknik, Datateknik<br />
TRIGONOMETRISKA FORMLER<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
π 1<br />
sin 30°<br />
= sin =<br />
6 2<br />
16.<br />
2<br />
2<br />
sin α + cos α = 1<br />
π<br />
sin 45°<br />
= sin =<br />
4<br />
1<br />
2<br />
17. sin( α)<br />
tan( α ) = ,<br />
cos( α)<br />
cos( α)<br />
cot( α ) =<br />
sin( α)<br />
π<br />
sin 60°<br />
= sin =<br />
3<br />
3<br />
2<br />
18. cos( α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ<br />
4.<br />
π<br />
cos 30°<br />
= cos =<br />
6<br />
3<br />
2<br />
19. cos( α − β) = cosα cosβ + sinα sinβ<br />
5.<br />
π<br />
cos 45°<br />
= cos =<br />
4<br />
1<br />
2<br />
20. sin( α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ<br />
6.<br />
π 1<br />
cos 60°<br />
= cos =<br />
3 2<br />
21. sin( α − β) = sinα cosβ − cosα sinβ<br />
7.<br />
π<br />
tan 30°<br />
= tan =<br />
6<br />
1<br />
3<br />
22.<br />
tanα + tanβ<br />
tan( α+ β)<br />
=<br />
1−tanα⋅tanβ<br />
8. π<br />
tan 45°<br />
= tan = 1<br />
4<br />
23.<br />
tanα − tanβ<br />
tan( α− β)<br />
=<br />
1+<br />
tanα⋅tanβ 9.<br />
10.<br />
π<br />
tan 60°<br />
= tan =<br />
3<br />
cos( − θ) = cosθ<br />
3<br />
24.<br />
25.<br />
sin2θ= 2sinθ⋅cosθ<br />
2<br />
2<br />
cos2θ<br />
= cos θ − sin θ =<br />
2<br />
1−<br />
2sin<br />
θ =<br />
2<br />
2cos<br />
θ −1<br />
11.<br />
12.<br />
sin( − θ) = −sinθ<br />
tan( − θ) = −tanθ<br />
26.<br />
27.<br />
2tanθ<br />
tan2θ<br />
= 2<br />
1−<br />
tan θ<br />
cos θ = x ⇔ θ = ± arccos x + n ⋅ 2π<br />
13. cot( − ) = −cot<br />
sinθ = x ⇔ θ1<br />
= arcsin x + n ⋅ 2π<br />
; θ 2 = π − arcsin x + n ⋅ 2<br />
14. π<br />
cos( θ) sinθ<br />
2 − = 29. tan θ = x ⇔ θ = arctan x + n ⋅ π<br />
15. π<br />
sin( θ) cosθ<br />
2 − = 30 cotθ<br />
= x ⇔ θ = arc cot x + n ⋅π<br />
KOMPLEXA TAL<br />
Låt z x + yi<br />
θ θ 28. π<br />
= vara ett komplext tal .<br />
z = x + yi = r(cos<br />
θ + i sinθ<br />
) = re<br />
31. Absolutbelopp:<br />
32. z1 ⋅ z2<br />
= z1<br />
⋅ z2<br />
33.<br />
34.<br />
z<br />
=<br />
z<br />
1<br />
2<br />
n<br />
z =<br />
35. z 1 ± z2<br />
≤ z1<br />
+ z2<br />
z<br />
z<br />
z<br />
1<br />
2<br />
n<br />
iθ<br />
2 2<br />
= r = x y 39.<br />
z +<br />
36. arg( z 1⋅<br />
z2<br />
) = arg(<br />
z1<br />
) + arg(<br />
z2<br />
)<br />
37. ⎛ z1<br />
⎞<br />
arg⎜ ⎟ = arg(<br />
z ) − arg(<br />
z )<br />
⎜ z ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
1<br />
z n z<br />
n<br />
arg =<br />
⋅ arg<br />
38. ( ) ( )<br />
2<br />
z=x+yi<br />
Formelblad (<strong>Linjär</strong> algebra, TEN1 HF1006,HF1008. Program: Elektroteknik, Datateknik)<br />
Ver. okt. 2010<br />
yi<br />
⎧ y<br />
⎪<br />
arctan då x > 0<br />
x<br />
⎪ y<br />
⎪π<br />
+ arctan då x < 0<br />
⎪ x<br />
⎪<br />
arg( z)<br />
= θ = ⎨π<br />
då x = 0 , y > 0<br />
⎪ 2<br />
⎪ π<br />
⎪−<br />
då x = 0 , y < 0<br />
⎪ 2<br />
⎪⎩<br />
ej definierat då både x = 0 och y = 0<br />
r<br />
θ<br />
x
VEKTORER I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT SYSTEM<br />
Låt A = ( a1,<br />
a2<br />
, a3)<br />
och B = ( b1,<br />
b2<br />
, b3<br />
)<br />
vara två punkter i rummet.<br />
→<br />
Då gäller AB = b − a , b − a , b − a )<br />
( 1 1 2 2 3 3<br />
Låt u r och v r r<br />
vara två vektorer och θ vinkeln mellan dem. Vidare gäller att u = x , y , z )<br />
(1.) Längden (beloppet) av en vektor:<br />
r<br />
u = x + y + z<br />
r r<br />
r r<br />
(2.) Skalärprodukt: u ⋅ v = x x + y y + z z = u v cosθ<br />
(3.) Vektorprodukt (kryssprodukt):<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
r r<br />
u × v =<br />
1<br />
x<br />
x<br />
2<br />
1<br />
2<br />
r<br />
i<br />
1<br />
2<br />
r<br />
j<br />
y<br />
y<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
r<br />
k<br />
z<br />
z<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
{ eller<br />
r<br />
projr<br />
(F )<br />
u = a<br />
Formelblad (<strong>Linjär</strong> algebra, TEN1 HF1006,HF1008. Program: Elektroteknik, Datateknik)<br />
Ver. okt. 2010<br />
a r<br />
( 1 1 1<br />
u × v =<br />
r r<br />
F r<br />
e<br />
x<br />
x<br />
x<br />
1<br />
2<br />
r<br />
och v = x , y , z ) .<br />
e<br />
y<br />
y<br />
y<br />
1<br />
2<br />
e<br />
z<br />
z<br />
r<br />
z<br />
1<br />
2<br />
( 2 2 2<br />
(4.) Vektorprodukten är en vektor som är vinkelrät mot u r och v r och riktad enligt skruvregeln. Dess absolutbelopp är:<br />
r r r r<br />
u × v = u v sinθ<br />
(5.) Den parallellogram som bestäms (späns upp)<br />
av vektorerna u r och v r har arean<br />
A =<br />
r r<br />
u × v<br />
(6.)Vektorprojektioner:<br />
r r r r<br />
r ( F ) = F ⋅ a a<br />
proj a<br />
( 0 ) 0<br />
där 0 ar betecknar enhetsvektorn<br />
r<br />
a<br />
r<br />
| a<br />
r<br />
r<br />
r<br />
⎛ F ⋅ a ⎞ r<br />
[ Ekvivalent formel: proj r<br />
a ( F ) =<br />
⎜ r r a<br />
a a ⎟ ]<br />
⎝ ⋅ ⎠<br />
|<br />
r r<br />
Vektorn u = projr<br />
a (F ) är den ortogonala projektionen av F r på a r .<br />
Längden av u r r<br />
r<br />
r<br />
| F ⋅ a |<br />
ges av | proj r<br />
a ( F ) | = r .<br />
| a |<br />
r<br />
r<br />
r<br />
(7.) Skalär trippelprodukt: Låt u = ( x1,<br />
y1,<br />
z1)<br />
och v = ( x2,<br />
y2<br />
, z2<br />
) w = ( x3,<br />
y3<br />
, z3<br />
) vara tre<br />
vektorer. Skalär trippelprodukt definieras som talet r r r<br />
( u × v)<br />
⋅ w =<br />
x1<br />
x2<br />
y1<br />
y2<br />
z1<br />
z2<br />
.<br />
x y z<br />
A<br />
B<br />
θ<br />
3<br />
3<br />
3<br />
}
(8.) Den parallellepiped som bestäms (späns upp)<br />
r r r<br />
av u,<br />
v och w har volymen<br />
r r r<br />
V = | ( u × v)<br />
o w | = |<br />
x1<br />
x<br />
y1<br />
y<br />
z1<br />
z |<br />
x<br />
2<br />
3<br />
y<br />
2<br />
3<br />
z<br />
2<br />
3<br />
(9.) Räta linjer:<br />
Låt L vara den räta linjen genom<br />
r<br />
r<br />
punkten P = ( x1,<br />
y1,<br />
z1)<br />
som är parallell med vektorn v = ( v1,<br />
v2<br />
, v3)<br />
≠ 0<br />
Räta linjens ekvation på vektorform:<br />
( x , y,<br />
z)<br />
= ( x1,<br />
y1,<br />
z1)<br />
+ t(<br />
v1,<br />
v2,<br />
v3)<br />
Räta linjens ekvationer på parameterform:<br />
⎧x<br />
= x1<br />
+ t ⋅ v1<br />
⎪<br />
⎨y<br />
= y1<br />
+ t ⋅ v2<br />
⎪<br />
⎩z<br />
= z1<br />
+ t ⋅ v3<br />
(10.) Plan:<br />
N<br />
P<br />
r<br />
r<br />
r<br />
Låt π vara planet genom punkten P = ( x1,<br />
y1,<br />
z1)<br />
som har normalvektorn N = ( A,<br />
B,<br />
C)<br />
≠ 0 .<br />
Planets ekvation på koordinat form (punkt-normalvektor form) :<br />
A ( x − x1<br />
) + B(<br />
y − y1)<br />
+ C(<br />
z − z1)<br />
= 0<br />
Planets ekvation på allmän form:<br />
Ax + By + Cz + D = 0<br />
(11.) Avståndet mellan två punkter<br />
Avståndet d mellan A = x , y , z ) och B = x , y , z ) är<br />
( 1 1 1 ( 2 2 2<br />
= | AB | =<br />
2<br />
2<br />
( x2<br />
− x1)<br />
+ ( y2<br />
− y1)<br />
+ ( z2<br />
2<br />
z1)<br />
→<br />
.<br />
d −<br />
(12.) Avståndet d från punkten A = ( x1,<br />
y1,<br />
z1)<br />
till planet Ax + By + Cz + D = 0 är<br />
Ax1<br />
+ By1<br />
+ Cz1<br />
+ D<br />
d = |<br />
| .<br />
A<br />
2 2 2<br />
A + B + C<br />
(13.) Avståndet d från punkten A = ( x1,<br />
y1,<br />
z1)<br />
till den linje som går genom P<br />
och har riktningsvektorn v r är<br />
r →<br />
| v × PA |<br />
d = r .<br />
| v |<br />
Formelblad (<strong>Linjär</strong> algebra, TEN1 HF1006,HF1008. Program: Elektroteknik, Datateknik)<br />
Ver. okt. 2010<br />
O<br />
w r<br />
v r<br />
P<br />
C<br />
B<br />
u r<br />
v<br />
π<br />
A<br />
d<br />
A<br />
P<br />
v r