Коллектив авторов. Кривые линии. Поверхности (2022)

ISBN
ББК
Коллектив авторов. Кривые линии. Поверхности. 40 стр, 2022 г.,
DTfM pub.
Начертательная геометрия, ранее называемая черчением, сочетая в себе графическое
изображение предметов и расчетно-геометрические построения элементарных
фигур, - их взаимосвязей и простанственных изображений, является осовной аналитической
и инженерной наукой, на основе которой, используя математические расчеты,
сроятся и изображаются все элементы инженерного проекта.
Наряду с изучением основных законов и методов построения пространственных
изображений точек, прямых и плоскостей, необходимо особой внимание уделить всем
разновидностям кривых и поверхностей, являющихся основой проектирования любых
внешних поверхностей любого изделия или постройки с однородными или несущими
плоскостями.

КРИВЫЕ ЛИНИИ
ПОВЕРХНОСТИ

I.
КРИВЫЕ ЛИНИИ

I. КРИВЫЕ ЛИНИИ. Основные понятия, определения
Основные понятия, определения
Кривая линия представляется как траектория с движущейся по ней точки на
плоскости или в пространстве.
Кривая линия может быть получена в результте взимного пересечения поверхностей
(2 циллиндрические) или пересечения поверхности плоскостью.
В ряде случаев кривая линия представляет собой геометрическое место точек,
отвечающим определенны условиям (окружность, эллипс, парабола).
Кривая линия определяется множеством составляющих ее точек с их координатами.
Различают плоские и пространственные линии. Кривая линия называется плоской,
если все точки линии лежат в одной плоскости, и пространственной, если
ее точки не лежат в одной плоскости. Плоскими линиями являются, например, окружность,
эллипс, овал. Примером пространственной линии может служить винтовая линия.
Способы задания кривых линий
Линия считается закономерной, если в своем образовании она подчинена
какому-либо геометрическому закону. Закономерные линии подразделяют на алгебраические
(эллипс, кривая 2-го порядка) и трансцендентные. В первом случае линию
можно описать алгебраическим уравнением, а во втором – трансцендентным
(например,тригонометрическим). Порядок алгебраической кривой равен степени ее
уравнения или максимальному числу точек ее возможного пересечения с плоскостью
или прямой.
В начертательной геометрии кривая часто строится как линия, последовательно
проходящая через задающие ее точки. Упорядоченное множество точек, определяющих
линию, составляет ее точечный каркас. Точки каркаса подразделяют на опорные
и промежуточные. Промежуточные точки должны обеспечить необходимую и достаточную
плотность каркаса, то есть обеспечивают количественную характеристику кривой.
Наиболее важны опорные точки, которые отражают качественную характеристику
кривой.
Искривленнось кривой линии может быть неизменной на пределенном участке
или на протяжении всей длины или изменяться в разных точках кривой.
Кривизна линии – числовая величина, характеризующая искривленность кривой в
окрестностях данной ее точки, или на бесконечно малой дуге,
Проецирование кривых линий
На комплексном чертеже кривая линия задается своими проекциями, которые
строят по проекциям точек, принадлежащих этой линии. Если плоскость плоской кривой
занимает проецирующее положение (Рис 1, а), то одна проекция этой кривой имеет
форму прямой. У пространственной кривой все проекции – кривые линии (Рис. 1, б).
7

Чтобы определить по чертежу, какая задана кривая (плоская или пространственная),
необходимо выяснить, принадлежат ли все точки кривой одной плоскости.
Заданная на рис. 1, б кривая является пространственной, так как прямые АD и ВF не
пересекаются, а скрещиваются (то есть не лежат в одной плоскости).
Экстремальные точки – это точки, которые удалены от плокостей проекций на
максимальное или минимальное расстояние (верхняяи нижняя, крайние правая
и левая точки).
Точки видимости. Если кривую рассматривать как линию на какой-то непрозрачной
поверхности, то те точки, в которых меняется видимость кривой, называют
точками видимости (обычно они расположены на контурных линиях поверхности).
К опорным относят и точки, в которых кривая пересекает свою ось или плоскость симметрии
(если таковые имеются).
I. КРИВЫЕ ЛИНИИ. Плоскиекривые линии
РИС 1
Плоские кривые линии
N
T S1
K1
K1
K
S2
T1
A
B
T2
C
N
K
T
РИС 2 РИС 3 РИС 4
8

I. КРИВЫЕ ЛИНИИ. Плоскиекривые линии
Вращая секущую KS1, (рис. 2) вокруг оси K так, чтобы точка K1, стремилась к точке
K, получим предельное положение KT — положение касательной к кривой в ее точке K.
Касательная передает направление движения точки, образующей кривую;
направление касательной в некоторой точке кривой называют направлением кривой
в этой точке.
Проведя в точке K прямую KN, перпендикулярную KT, получаем нормаль к кривой
в ее точке K. Нормаль к окружности совпадает с направлением ее радиуса.
Кривая в точке K на рис. 2 плавная: у нее в точке K одна касательная. Если кривая
составлена только из таких точек, то это плавная кривая линия. Но на кривой
могут быть точки, в которых имеются две касательные с углом между ними,
не равным 180° (Рис. 3). Такую точку называют точкой излома, угловой или выходящей,
и кривая в такой точке не является плавной. Здесь как бы две пересекающиеся
между собой под углом кривые АВ и ВС. Если угол окажется равным 180°,
то кривые АВ и ВС соприкоснутся и каждая из них в точке В окажется плавной.
Соприкасающиеся кривые имеют одну и ту же касательную в общей их точке, а нормали
к кривым в этой точке располагаются на одной прямой. На рис. 4 в точке К кривой
проведены касательная КТ и нормаль КМ.
Если во всех точках кривой повторяется такое же расположение относительно
касательной и нормали в рассматриваемой окрестности, то кривая является
выпуклой и ее точки — обыкновенными (или правильными). Примером служит
эллипс.
N
A
T
N
N
T B C T
D
E
РИС 5 РИС 6
На рис. 5 по казаны точки: А – точка перегиба, в которой кривая пересекает касательную,
В и С – точки возврата, в которых кривая имеет острие («клюв») и касательная
является общей для обеих ветвей кривой (из них точку В называют точкой возврата
первого рода, а точку С – точкой возврата второго рода). Здесь мы коснулись
так называемых особых точек кривой линии, например таких, в которых направление
движения точки, описывающей кривую, изменяется на обратное (точка возврата) или
скачком (см. на рис. 3 точку В).
Можно указать еще двойную точку (иначе узловую или самопересечения),
в которой кривая пересекает самое себя и имеет две касательные (рис. 6, точка D)
и точку самоприкосновения, в которой кривая также встречает самое себя, но обе
касательные совпадают (там же, точка Е).
Все такие случаи могут встречаться на проекциях плоских кривых, причем для плоской
кривой достаточно иметь одну проекцию (если, конечно, эта проекция является
9

прямой линией), чтобы судить о характере точек, так как любая особенность этой проекции
выражает такую же особенность самой плоской кривой.
Итак, кривизной кривой в некоторой ее точке А (Рис. 7) называется предельное
значение отношения угла ф‚ к дуге А1А2. Кривизна обозначается буквой k.
Очевидно, угол ф может быть представлен и как угол между нормалями к кривой
в точках А1 и А2.
Если представить себе окружность, проходящую
через точку А1, и две соседние с
T1
ией точки на кривой, стремящиеся к точке А1,
A1 A2
то окружность придет к своему предельному
положению, когда точка пересечения
нормалей С1 займет свое пре-
T2
дельное положение и опре.делится
некоторый радиус С1А1. При этом окружность
соприкоснется с кривой в точке А1,
C1
у них получится общая касательная и общая
нормаль, на которой лежит центр соприкасающейся
окружности. Применяются терми-
РИС 7
ны: круг кривизны кривой в данной точке,
центр кривизны (или центр круга кривизны), радиус кривизны (или радиус круга кривизиы).
Кривизна кривой в какой-либо точке равна обратной величине радиуса кривизны
Очевидно, для окружности в любой ее точке соприкасающаяся окружность
имеет радиус, равный радиусу данной окружности. Отсюда кривизна окружности
во всех ее точках равна обратной величин радиуса этой окружности:
Чем больше В, тем менше К.
У эллипса (Рис. 8) центры кривизны в вершинах A1 и A2 находятся на
его большей оси, а в вершинах B1 и B2 на его малой оси. Для определения
положения центров кривизны воспользуемся формулами для радиуса
кривизны в вершинах эллипса: в вершинах A1 и A2 – формула ,
I. КРИВЫЕ ЛИНИИ. Плоскиекривые линии
A1
РИС 8
C1
C4
B1
o
B2
C3
C2
A2
и в вершинах B1 и B2 – формула,
где a – болшая полуось
эллипса, b – малая полуось
эллипса.
На Рис. 9 показано приближенное
построение центра кривизны
в иекоторой точке К кривой
линии.
Взяв на кривой вблизи
точки К несколько точек
А1, А2,... проводим в них
и в точке К касательные. Отклады-
10

I. КРИВЫЕ ЛИНИИ. Пространственныекривые линии
ваем на касательных произвольные, ио равные между собой отрезки А1А5, А2А6, КК1,
а через точки А5, А6, К1, проводим кривую линию. В пересечении нормалейв точках К
и К1, получается точка С – искомый центр кривизны, и радиус кривизны r = СК.
Отсюда определяется кривизна в точке К, равная .
A5
A6
K1
A7
B
A8
A2 K
K A3 A4
A1
РИС 9
A
Пространственные кривые линии
Многое из рассмотренного по отношению к плоским кривым может быть
отнесено и к пространственным. Например, касательная прямая к пространственной
кривой линии также получается из секущей KS1, (Рис. 2) при слиянии точек
К и К1. Также на пространственной кривой могут быть точки различного рода: обыкновенные
(правильные), точки перегиба и др. Но если для плоской кривой можно
было провести в точке К (Рис. 2) только один перпендикуляр КМ (нормаль) к касательной
КТ, то для пространственной кривой таких перпендикуляровв точке касания
бесчисленное множество, что приводит к понятию о нормальной плоскости. Далее,
для плоской кривой достаточно одной проекции, чтобы судить о характере ее точек,
а для пространственной кривой судить о характере ее точек можно лишь при наличии
двух проекций кривой. Так же, как и для плоской кривой, касательная
к кривой в пространстве проецируется в касательную к проекции этой кривой. Проецирующая
и плоскость, проведенная через касательную к проекции кривой,
касается кривой в пространстве.
Плоская кривая всеми своими точками лежит в одной плоскости. Для пространственной
же кривой можно говорить лишь о плоскости, наиболее близко подходящей
к кривой в рассматриваемой се точке. Такая плоскость носит название соприкасающейся.
Положим, что на Рис. 2 изображен участок не плоской кривой, а пространственной.
Три точки К, К1 и К2,этой кривой определяют некоторую плоскость. Предельное положение
этой плоскости, когда секушая KS2 станет касательной в точке К и третья точка
11

предельно приблизится к точке каcания, определяет соприкасающуюся плоскость в
точке К пространственной кривой. Вблизи точки К кривую можно рассматривать как
бы лежащей в соприкасающейся плоскости.
Соприкасающаяся и нормальная плоскости взаимно перпендикулярны;
это вытекает из того, что соприкасающаяся плоскость содержит касательиую к кривой.
При взаимном пересечении нормальной и соприкасающейся плоскостей получается
одна из нормалей – главная нормаль. Нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся
плоскости, называется бинормалью.
К соприкасающейся и нормальной плоскостям добавляется еще третья плоскость,
к ним перпендикуляриая. Она проходит через касательную и бинормаль.
Ее называют спрямляющей плоскостью.`
Этими тремя плоскостями, образующими трехгранник, пользуются как
координатными при рассмотрении кривой в данной ее точке. Положение трехгранника
зависит от положения точки на кривой.
По аналогии с центром кривизны для плоской кривой как предельным положением
точки пересечения двух нормалей (Рис. 7) получаем ось кривизны пространственной
кривой как предельное положение прямой пересечения соседних нормальных
плоскостей. В этом предельном положении ось кривизны параллельна
бинормали: пересекаясь с главной нормалью, ось кривизны дает центр кривизны,
откуда получаем радиус кривизны как расстояние от этого центра до рассматриваемой
точки кривой. Так же, как для плоской кривой, кривизна пространственной равна
обратной величине радиуса кривизны. Если представить себе предельное сближение
трех соседних точек пространственной кривой и предельное положение проведенной
через них окружности, то получаем круг кривизны в соприкасающейся плоскость,
причем его центр является центром кривизны, а радиус – радиусом кривизны.
Это первая кривизна пространственной кривой.
Если вместо угла между касательными, как это имело место для плоских кривых,
и отношения между этим углом и длиной дуги между точками касания взять
угол между соприкасающимися плоскостями (он равен углу между бинормалями)
и разделить этот угол надлину между рассматриваемыми точками пространственной
кривой, то в предельном значении этого отношения получается так называемая кривизна
кручения или вторая кривизна пространственной кривой. Вспомним, что пространственные
кривые иначе называются кривыми двоякой кривизны.
Если касательные к пространственной кривой линии во всех ее точках одинаково
наклонены в какой-либо плоскости, то такие линии называются линиями одинакового
уклона.
Кривые второго порядка
Уравнениям второй степени соответствуют кривые второго порядка. К ним
относятся эллипс, гипербола и парабола. Окружность является частным случаем
эллипса; точка, две пересекающиеся, параллельные и две совпавшие прямые есть вырожденные
случаи кривых второго порядка. Все эти линии (кроме двух параллельных
I. КРИВЫЕ ЛИНИИ. Пространственныекривые линии
12

I. КРИВЫЕ ЛИНИИ. Цилиндрическаявинтовая
прямых) можно встретить на конической поверхности вращения, поэтому часто их
называют кониками.
Цилиндрическая винтовая линия
13
12
11
10
9
8
7
6
Ph
5
4
P
3
2
10
11 9
12
8
13=1
7
2
6
РИС 10
3
4
5
13

Цилиндрическая винтовая линия (гелиса) – это пространственная кривая, представляющая
собой траекторию движения точки, равномерно вращающейся вокруг оси
и одновременно перемещающейся вдоль этой оси.
Высота, на которую поднимается точка по прямой за полный оборот, называется шагом
винтовой линии. Если ось винтовой линии перпендикулярна плоскости проекций, то
горизонтальная проекция винтовой линии есть окружность, а фронтальная – синусоида.
На одной поверхности цилиндра может быть несколько винтовых линий с одинаковым
шагом. Каждую линию в таком случае называют заходом, а шагом считают расстояние
вдоль оси между соседними линиями. Число заходов обозначают n.
В однозаходной винтовой линии ход равен шагу и между ними различий не делают.
В многозаходной винтовой линии ход Ph связан с шагом и числом заходов выражением
Ph=Р x n (Рис. 10).
Винтовую линию называют правой, если поднимаясь вверх, точка вращается по
часовой стрелке, и левой, если точка вращается против часовой стрелки.
I. КРИВЫЕ ЛИНИИ. Цилиндрическаявинтовая
14

II.
ПОВЕРХНОСТИ
15

II. ПОВЕРХНОСТИ. Основные понятия и опредления
17
Многое, что окружает нас в жизни, если смотреть с позиции геометрии, – это линии
и поверхности простых и сложных форм. Поверхности широко используются в различных
областях науки и техники при создании очертаний различных технических форм
или как объекты инженерных исследований.
Основные понятия и определения
Поверхность как объект инженерного исследования может быть задана следующими
основными способами:
• Уравнением;
• Каркасом;
• Определителем;
• Очерком.
В общем случае способы задания поверхностей делятся на:
Кинематический – поверхности рассматриваются как множество последовательных
положений движущейся линии;
Аналитический, то есть, поверхность описана математическим выражением;
Каркасный способ, который используется при задании сложных поверхностей.
Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия;
она рассматривает поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению вида F(х,у, z) =0.
В начертательной геометрии поверхность на чертеже задается каркасом, определителем,
очерком.
При каркасном способе поверхность задается совокупностью некоторого количества
линий, принадлежащих поверхности. В качестве линий, образующих каркас,
как правило, берут семейство линий, получающихся при пересечении поверхности рядом
параллельных плоскостей. Этот способ используется при проектировании кузовов
автомобилей, в самолето- и судостроении, в топографии и т. п.
Способ образования поверхности движущейся в пространстве линией называют
кинематическим.
Линию, образующую при своем движении в пространстве данную поверхность
называют образующей (производящей).
Образующая при своем движении может изменять свою форму или оставаться
неизменной. Закон перемещения образующей можно, в частности, задать неподвижными
линиями, на которые при своем движении опирается образующая. Эти линии
называются направляющими.
На чертеже при задании поверхности ее определителем строятся проекции
направляющих линий, указывается, как находятся проекции образующей линии.
Построив ряд положений образующей линии, получим каркас поверхности. Пример
образования поверхности кинематическим способом показан на Рис 11.
В качестве образующей а этой поверхности взята плоская кривая. Закон перемещения
образующей задан двумя направляющими t и n и плоскостью b. Образующая а
скользит по направляющим, все время оставаясь параллельной плоскости b.

a2 a3 ai
t
an
n
II. ПОВЕРХНОСТИ. Основные понятия и опредления
РИС 11
Поверхность, образованная движущейся в пространстве линией, на чертеже
может быть задана определителем поверхности.
Определителем поверхности называется совокупность геометрических фигур
и связей между ними, позволяющих однозначно образовать поверхность в пространтве
и задать ее на чертеже.
Определитель поверхности состоит из двух частей:
• Геометрической части, включающей постоянные геометрические элементы
(точки, линии), которые участвуют в образовании поверхности;
• Алгоритмической части, задающей закон движения образующей, характер
изменения ее формы.
Определитель имеет следующую форму записи Ф( Г ) [ А ], где Ф – обозначение
поверхности; ( Г ) – геометрическая часть определителя, в ней перечисляются
все геометрические фигуры, участвующие в образовании поверхности и задании ее
на чертеже; 1А] – алгоритмическая часть определителя – в ней записывается алгоритм
формирования поверхности.
Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности
или ее основных свойств. В общем случае одна и та же поверхность может
быть образована несколькими способами, поэтому может иметь несколько определителей.
Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший.
Например, боковая поверхность прямого кругового цилиндра может быть образована
четырьмя способами (Рис. 12):
• Как след, оставляемый в пространстве прямой а при ее вращении вокруг оси
т (Рис. 12, а).
Определитель поверхности – Ф(а,т) [A1];
• Как след, оставляемый в пространстве кривой линией b при ее вращении
вокруг оси т (Рис. 12, б).
18

II. ПОВЕРХНОСТИ. Основные понятия и опредления
Определитель поверхности – Ф(b,т) [A2];
• Как след, оставляемый в пространстве окружностью с при поступательном
перемещении ее центра О вдоль оси т, при этом плоскость окружности все время
остается перпендикулярной к этой оси (Рис. 12,в).
Определитель поверхности – Ф(c,т) [A3];
• Как огибающую всех положений сферической поверхности р постоянного радиуса,
центр которой перемещается по оси т (Рис. 12, г).
Определитель поверхности – Ф(p,т) [A4].
Наиболее простым из рассматриваемых будет определитель Ф(а,т)[А1].
Задание поверхности на чертеже каркасом или определителем не всегда обеспечивает
наглядность ее изображения. В некоторых случаях поверхность целесообразнее
задавать ее очерком.
Очерком поверхности называется проекция проецирующей цилиндрической
поверхности, огибающей заданную поверхность.
По известному уравнению поверхности или ее определителю, или очерку всегда
можно построить каркас поверхности.
Многообразие поверхностей требует их систематизации. Для поверхностей,
образованных кинематическим способом в основу систематизации положен их определитель.
В зависимости от вида образующей поверхности разделяются на два класса:
Класс 1 - поверхности нелинейчатые (образующая - кривая линия);
Класс 2 - поверхности линейчатые (образующая - прямая линия).
m
m
a
b
c
Ф(а,т) [A1] (a) Ф(b,т) [A2] (б) Ф(c,т) [A3] (в) Ф(p,т) [A4] (г)
РИС 12
19

Нелинейчатые поверхности
Поверхности нелинейчатые подразделяют на поверхности с образующей переменного
вида (изменяющей свою форму в процессе движения) и на поверхности
с образующей постоянного вида.
Нелинейчатые поверхности
с образующей переменного вида
К нелинейчатым поверхностям с образующей перемениого вида относятся:
1. Поверхность общего вида. Такая поверхность образуется перемещением
образующей перемениого вида а по криволинейной направляющей тм (Рис. 13).
an
II. ПОВЕРХНОСТИ. Нелинейчатые поверхности с образующей еременного вида
m
a1
a2
a3
РИС 13
2. Каналовая поверхность. Эта поверхность образуется движением плоской
замкнутой линии, плоскость которой определенным образом ориентирована
в пространстве (Рис 14).
Площадь, ограниченная образующей, монотонно изменяется в процессе ее движения
по направляющей. Например, каналовую поверхность имеет переходный участок,
соединяющий два трубопровода разной формы.
В инженерной практике наиболшее распространение получили два способа ориентирования
плоскостей образующих:
• Параллельно какой-либо плокости – каналовые плоскости с пов нрхностью
парралелизма;
• Перпендикулярно к направляюще линии – нормальные (прямые) каналовые
поверхности.
• Циклическая поверхность – частный случай каналовой поверхности, когда
образующая – окружность, радиус которой монотонно изменяется (Рис. 15).
20

II. ПОВЕРХНОСТИ. Нелинейчатые поверхности с образующей еременного вида
РИС 14
m
a1
a2
a3
an
m
a1
РИС 15
a2
a3
an
Примерам циклической поверхности может быть корпус духового музыкального
инструмента.
21

Нелинейчатые поверхности
с образующей постоянного вида
К нелинейчатым поверхностям с образующей постоянного вида относятся:
a. Поверхность общего вида. Такая поверхность млжетбыть образована движением
произвольной кривой линии a по направляющей m (Рис. 16).
m
a1
РИС 16
a2
б. Трубчатая поверхность. Образующей трубчатой поверхности является окружность
постоянного радиуса. Плоскость окружности при ее движении остается перпендикулярной
к направляющей (Рис. 17).
Примерам трубчатой поверхности может быть поверхность проволоки круглого
сечения.
a3
an
II. ПОВЕРХНОСТИ. Нелинейчатые поверхности Поверхности нелинейчатые
m
a1
a2
a3
РИС 17
an
22

II. ПОВЕРХНОСТИ. Поверхности нелинейчатые второго порядка
Поверхности нелинейчатые
второго порядка
К нелинейчатым поверхностям второго порядка относят эллипсоид, эллиптический
параболоид и двуполостный гиперболоинд.
• Эллипсоид. Эллипсоид может быть получен в результатё движения деформирующегося
эллипса АСВD (Рис. 18) , плоскость которого остается параллельной
плоскости XOY и концы осей которого скользят по эллипсам АЕВЕ и СЕDF. Если
в этом эллипсоиде диаметры АВ, CD и EF все три не равны между собой,
то эллипсоид называется трехосным; если два из них равны между собой, но
не равны третьему, то получается сжатый или вытянутый эллипсоид вращения,
если же АВ = CD = EF, то получается сфера. При пересечении эллипсоида
любой плоскостью получается эллипс, в частных случаях – окружность.
n
A’’
x
A’
E’’
C’’=D’’
F’’
E’ C’=D’
F’
B’’
B’
z
A’‘’
F’’’
0
y
E’‘’
C’’’=D’’’
B’’’
A’’
x
A’
C’’=D’’
O’’
D’
O’
C’
z
B’’ D’‘’
0
B’
y
O’‘’
C’‘’
A’’’=B’‘’
РИС 18 РИС 19
• Эллиптический параболоид. Эллиптический параболоид может быть
получен в результате перемещения деформирующегося эллипса АВСD
(Рис. 18), плоскость которого остается параллельной плоскости XOY и концы осей
которого скользят по параболам АОВ и СОD. При пересечении эллиптического параболоида
двумя различными плоскостями могут получаться только эллипсы (в
некоторых случаях – окружости). и параболы, причем последние получаются при
секущих плоскостях, параллельных оси эллиптического параболоида. Если эллипс
АВСD заменить деформирующейся окружностью, то обе параболы АОВ и DОС будут
одинаковыми. В этом случае поверхность называется круговым пароболоидом
или параболоидом вращения.
• Двуполостный. гиперболоид. Двуполостный гиперболоид (Рис. 20) состоит
из двух частей («полостей»), простирающихся в бесконечность. Каждая из
полостей может быть получена в результате движения деформирующегося эллипса
(A1B1C1D1 и A2B2C2D2), плоскость которого остается перпендикуляр-
23

x
A1
A2
D1
O1
O2
D2
O
O
z
C1
0
C2
B1
B2
y
ной к оси поверхности О1О2 и
концы осей которого скользят по
двум гиперболам. Если эллипс
заменить деформирующейся
окружностью, то обе гиперболы
А1О1В1 и С1О1D1 будут одинаковыми.
В этом случае поверхность
называется двуполостным гиперболоидом
вращения.
II. ПОВЕРХНОСТИ. Циклические нелинейчатые поверхности
РИС 20
Циклические нелинейчатые поверхности
Циклическая поверхность образуется окружиостью переменного радиуса, центр
которой перемещается по какой-либо кривой, Отметим тот случай образования циклической
поверхности, когда плоскость образующей окружности остается перпендикулярной
к заданной, направляющей кривой, по которой движется центр окружности.
Для такой поверхности встречается название каналовая. Каналовую поверхность можно
представить также как огибающую семейство сфер переменного диаметра, центры
которых находятся на некоторой направляющей кривой. Радиус образующей. окружности
или образующей сферы может быть постоянным. Поверхность, возиикающая
при движении такой окружности по некоторой направляющей кривой или при огибании
всех последовательных положений образующей сферы при таком: же движении
ее центра, называется трубчатой. Примером применения в технике могут служить
компенсаторы в трубопроводах.
Направляющей кривой линией для трубчатой поверхности может быть цилиндрическая
винтовая линия; в этом случае мы имеем трубчатую винтовую поверхность.
Трубчатой винтовой поверхностью является также поверхность цилиндрической пружины
с круглым сечением витков.
Циклические поверхности разного вида имеют, например, применение в газопроводах,
в гидротурбииах, в центробежных иасосах. Каналовая поверхность в слу-чае,
если направляющей линией взять: прямую, а не кривую, превращается в по-верхность
вращения в частности в коническую, а трубчатая поверхность при прямой направляющей
превращается в поверхность цилиндра вращения.
24

II. ПОВЕРХНОСТИ. Линейчатые поверхности. Линейчатые поверхности вращения
Линейчатые поверхности
Линейчатые поверхности вращения
Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую вращением
какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямои – оси вращения поверхности.
Плоскости, перпендикулярные оси вращения, пересекают поверхность по окружностям
– параллелям. Наименьшую параллель называют горлом, наибольшую –
экватором.
На Рис 20(а) показана поверхность
вращения. Здесь
A’’
образующей является плоская
кривая ABCD, ось вращения
i расположена в одной
плоскости с этой кривой.
B’’
Линии, по которым плоскости,
проходящие через
ось вращения, пересекают
поверхность называют меридианами.
Каждый меридиан
D’’
разделяется на две симметричные
относительно оси x
вращения линии, называемые
полумеридианами.
Меридиан, расположенный
D’
в плоскости, параллельной
фронтальной плоскости проекций,
называют главным
C’ A’ B’ i’
меридианом.
Основные свойства поверхности
вращения:
• Отрезок меридиана
между двумя точками
РИС 20 (а)
поверхности есть кратчайшее
расстояние между этими точками.
• Все меридианы равны между собой.
• Каждая из параллелей поверхности вращения пересекает меридианы под
прямым углом.
• Любая из нормалей к поверхности вращения пересекает ось вращения поверхности.
25

Поверхности вращения на чертеже удобно задавать очерками, проекциями ее
характерных линий и точек. Фронтальным очерком поверхности вращения является
фронтальная проекция главного меридиана, а горизонтальным - горизонтальная проекция
экватора.
Рассмотрим основные виды поверхностей вращения:
• Цилиндр вращения. Эта поверхность может быть получена вращением прямой,
параллельной оси вращения i.
• Конус вращения. Поверхность конуса вращения может быть получена вращением
прямой, пересекающей ось вращения i (Рис. 21).
• Сфера. Образующая сферы – окружность, центр которой О находится на оси
вращения i.
• Тор. Образующая тора – окружность или ее дуга. Ось вращения i лежит в плоскости
этой окружности, но не проходит через ее центр (Рис. 22).
B”
S”
C”
D’’
E’’
N1’’
M’’
II. ПОВЕРХНОСТИ. Линейчатые поверхности. Линейчатые поверхности вращения
x 1”
1’
E’
i’’
1’’
2’’
S’
C’
D’
N1’’
i’
1’
M’
2’
РИС 21 РИС 22
Различают открытый тор (круговое кольцо), закрытый, самопересекающийся. Образующей
для открытого и закрытого тора служит окружность, для самопересекающегося
– дуга окружности.
• Параболоид вращения. Такая поверхность образуется при вращении параболы
вокруг ее оси. Поверхность параболоида используется в параболических антеннах
и зеркалах рефлекторов.
• Гиперболоид вращения. Эrа поверхность образуется при вращении гиперболы
вокруг оси. Различают двуполостный и однополостный гиперболоид
вращения. Для двуполосrnого гиперболоида вращения осью вращения служит
действительная ось гиперболы (Рис. 23), для однополостного гиперболоида –
ее мнимая ось. Однополостный гиперболоид вращения также может быть обра-
26

II. ПОВЕРХНОСТИ. Линейчатые поверхности. Винтовые линейчатые поверхности
зован вращением прямой линии в случае,
если образующая и ось вращения
– скрещивающиеся прямые.
Положение точки на поверхности вращения
определяется с помощью окружности,
которая проходит на поверхности вращения
через эту точку. В случае линейчатых
поверхностей вращения (цилиндр, конус)
возможно использование для этой цели
прямолинейных образующих.
x
РИС 23
Винтовые линейчатые поверхности
i’’
Винтовым называют движение,
при котором каждая точка А образующей
(Рис. 24) вращаетсявокруг неподвижной
оси i и одновременно перемещается
поступательно вдоль этой оси.
Рассмотрим движение точки А за
один оборот, во время которого она
переместится вдоль оси на величину Р.
Прямая линия i называется осью
винтоой линии, или поверхности. Расстояние
от точки А до оси называют
радиусом r винтовой линии. Представим
себе, что точка А движется по цилиндру
радиуса r и высотой Р. Разделим
на виде сверху один оборот на 12
равных частей и отметим в этих частях
положение точки цифрами, начиная
с нуля. Высоту Р подъема также разделим
на 12 равных частей.
При повороте точки в положение 11
на горизонтальной проекции ее фронi’’
Винтовой называют поверхность, образованную винтовым движением образующей.
h
РИС 24
121’’ i
111’’
101’’
91’’
11’’
21’’
A2’’=O2’’ 101’
111’
A1’=O1’
r
121’
11’
21’
31’’
91’
81’’
71’’
41’’ 51’’ 61’’
i1’=C1’
31’
81’
41’
71’
51’
61’
27

тальная проекция переместится в положение 11’’ и так для каждого положения. Соединив
плавной кривой все фиксированные положения точки А, получим фронтальную
проекцию ее траектории, а горизонтальной проекцией будет окружность.
Траектория движения точки А называется винтовой линией. Винтовая линия постоянного
радиуса r называется гелисой, или цилиндрической винтовой линией.
Величина Р подъема винтовой линии за один оборот называется шагом.
Если взять винтовую линию и ось i за направляющие, а горизонтальную плоскость
проекций за направляющую плоскость (или плоскость параллелизма), то при движении
прямолинейной образующей получается винтовая поверхность, которая азывается
прямым винтовым коноидом, или геликоидом.
Если образующая прямая линия (АС) пересекает ось i винтовой поверхности под
прямым углом, геликоид называют прямым.
Если образующая пересекается с осью винтовой поверхности, геликоид называется
закрытым, а если скрещивается с осью, геликоид называется открытым.
Закрытый наклонный геликоид называют архимедовым.
Сечения винтовой поверхности соосными цилиндрами образуют винтовые
параллели. Каркас поверхности составляется семейством образующих и семейством
винтовых параллелей. Все винтовые параллели имеют одинаковый шаг.
Сечения поверхности плоскостями, проходящими через ось, называют меридианами,
а сечения, перпендикулярные оси i, называют нормальными сечениями.
В нормальном сечении архимедова геликоида получается спираль Архимеда.
Цилиндрическую винтовую линию можно развернуть на плоскость. Длину πd
окружности основания цилиндра разделим на 12 равных частей. Каждой части
соответствует 1/12 Р подъема винтовой линии. Ее разверткой является гипотенуза
треугольника, катеты которого равны к d и Р (на Рис. 24 изображение развертки дано
с разрывом).
Угол λ называется углом подъема винтовой линии.
Этот угол имеет большое значение в техническом использовании винтовых
поверхностей. Несмотря на простоту развертки винтовой параллели, винтовая поверхность
не является развертывающейся.
На практике широко используют комбинацию винтовых поверхностей, образованных
сложными линиями, например, такими как треугольник, трапеция, прямоугольник,
дуги окружности. Тело, ограниченное винтовыми поверхностями, изготовленными
на поверхности вращения, называют винтом.
Винтовые линии и поверхности обладают свойством сдвигаемости, то есть конгруэнтные
винтовые линии могут, вращаясь, скользить друг по другу. Это свойствонашло
очень широкое применение в науке и технике.
Линейчатые поверхности с тремя
направляющими
К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся:
• a. Поверхность косого цилиндра. Такая поверхность может быть образована
II. ПОВЕРХНОСТИ. Линейчатые поверхности. Винтовые линейчатые поверхности
28

II. ПОВЕРХНОСТИ. Линейчатые поверхности. Линейчатые поверхности с тремя направляющими
движением прямолинейной образующей по трем криволинейным направляющим
(Рис. 25).
m
РИС 25
n
l
an
a3
a2
a1
• Поверхность дважды косого цилиндроида.
Эта поверхность образуется
в том случае, когда две направляющие
кривые, а третья – прямая линия
(Рис. 25).
• Поверхность два:жды косого коноида
получается в rом случае, когда
одна из направляющих- кривая,а две
других – прямые линии (Рис. 26).
• Поверхность однополостного гиперболоида
образуется в том случае,
когда направляющие – три скрещивающиеся
прямые, не параллельные одной плоскости.
Линейчатые поверхности
с двумя направляющими и плоскостью
параллелизма (поверхности Каталана)
m
m
n
n
РИС 26
l
l
an
an
a3
a2
a1
a2
a1
29
К линейчатым поверхностями с двумя направляющими и плоскостью параллелизма
относятся:
• Поверхность прямого цилиндроида. Такая поверхность может быть образована
движением прямолинейной образующей по двум направляющим m и n в том
случае, когда они – гладкие кривые линии, причем одна из них - плоская кривая,
плоскость которой β перпендикулярна плоскости параллелизма α (n пресекается
с β, β перепендикулярна α) (Рис. 27).
• Поверхность прямого коноида. Эта поверхность получается в том случае,
когда одна направляющая – кривая линия, а вторая – прямая, причем она перпен-

дикулярна плоскости параллелизма α (n перепендикулярна α) (Рис. 28). Поверхность
прямого коноида используется в гидротехническом строительстве для формирования
поверхности устоев мостовых опор.
• Поверхность гиперболического параболоида (косой плоскости). Такая поверхность
образуется в том случае, когда две направляющие – скрещивающие
прямые (Рис. 29). Поверхность косой плоскости применяется в инженерно – строительной
практике для формирования поверхностей откосов, насыпей, железнодорожных
и автомобильных дорог, набережных, гидротехнических сооружений в
местах имеющих различные углы наклона.
m’’
n’’
x x x
m’
Линейчатые поверхности с тремя
направляющими
m’’
РИС 27 РИС 28 РИС 29
n’’
n’
n’
m’’
m’
n’’
II. ПОВЕРХНОСТИ. Линейчатые поверхности.Линейчатые поверхности с тремя направляющими
Зададим определитель линейчатой поверхности тремя собственными направляющими
линиями: α (a, с, d). Рассмотрим случай, когда направляющими служат
кривые линии (Рис. 30).
На направляющей d возьмем точку А (А1, А2). Через нее нужно провести прямую
линию g, пересекающую прямые b и с. Для этого построим ряд образующих
конической поверхности с вершиной в точке А и направляющей с (с1, с2). Через линию
b проведем цилиндрическую фронтально проецирующую поверхность β (b2 = β2)
и построим линию t (t2 –> t1) ее пересечения с конусом.
Точка B = пересечению t, b (t1 пересекаясь с b1 B1 –> B2) лежит на поверхности
конуса, и образующая g (A1B1C1 –> A1B1C1) пересекает все три направляющие,
то есть она принадлежит заданной поверхности. Затем на направляющей b выбирается
новая точка, строится новый конус, определяется его пересечение с направляющей Ь и
строится новая образующая. Так строится весь каркас поверхности.
Таким образом, мы показали, что три направляющие однозначно определяют
положение образующих линейчатой поверхности, о чем было сказано в начале раздела.
Определитель линейчатой поверхности является общим, а другие группы поверхностей
рассматривают как частные случаи.
30

II. ПОВЕРХНОСТИ. Линейчатые поверхности.Линейчатые поверхности с тремя направляющими
d2’’
A2’’
A1’
d1’
m1’
b1’
B1’
B2’’
12’’
11’
22’’
C2’’
21’
C1’
c2’’
c1’
d2’’
A2’’
РИС 30 РИС 31
Линейчатые поверхности с криволинейными направляющими называют поверхностями
общего вида. Если одной из направляющих является прямая линия,
поверхность называют дважды косым цилиндроидом. Если две направляющие
прямые, то поверхность называют дважды косым коноидом. Если направляющими
являются три скрещивающиеся прямые (Рис. 31), образ уется
поверхность однополостного гиперболоида. Здесь точка А (A1, A2) и прямая
c (с1,с2) образуют плоскость А (∆А -1-2). Плоскость-посредник β(β2) пересекает ее
по прямой 3-4 (3242 –> 3141), а b1 перемекающаяся (31-41) = E1 –> Е2 – точка пересечения
плоскости с направляющей b. Прямая линия (AEF) является образующей
g (g1g2). Эту же линию можно построить как линию пересечения плоскостей γ (А, с)
vи δ (А, b). Меняя положение точки А на линии d, строят семейство образующих линий.
Циллиндрические, конические
линейчатые поверхности
d1’
A1’
E2’’
32’’
31’
42’’
F2’’
F1’
41’
E1’
22’’
21’
12’’
11’
c2’’
Цилиндрическая поверхность образуется прямой линий, сохраняющей во всех
своих положениях параллельность некоторой заданной прямой линии и проходящей
последовательно через все точки некоторой кривой направляющей линии
Коническая поверхность образуется прямой линией, проходящей через некоторую
неподвижную точку и последовательно через все точки некоторой кривой направляющей
линии (Рис. 32). Неподвижная точка 5 называется вершиной конической
поверхности.
Если точку S удалить в бесконечность, то коническая поверхность превращается в
цилиндрическую.
Цилиндрические и конические поверхности могут пересекать плоскость проекций;
получается линия, называемая следом поверхности на данной плоскости
проекций. На Рис. 33 изображены цилиндрическая поверхность, заданная направ-
31

ляющей кривой А1В1С1 и направлением SТ для образующей, и (справа) коническая
поверхность, заданная направляющей кривой К1М1N1 и вершиной S. В обоих
случаях построены следы поверхностей на пл. π1, т. е. линии, проходящие через
горизонтальные следы образующих данной поверхности,— кривые А’’В’’С’’, А’В’С’
и К’’М”N’’, К’М’М’.
x
S’’
A1’
T’
РИС 32 РИС 33
A’’
A’
T’’
A1’’
B’’
B’
Цилиндрическая поверхность может быть задана ее следом на пл. π1, и направлением
образующей, коническая поверхность – следом на пл. π1 и вершиной.
Задаваясь точкой на следе, мы можем построить соответствующую образующую
поверхности.
Чтобы построить очерк цилиндрической или конической поверхности, следует
на каждой плоскости проекций отметить «граничные образующие», заключающие
между собой область, внутри которой находится проекция поверхности. Так, например,
на слева отмечены на следе цилиндрической поверхности те. точки, через
которые проходят проекции граничных образующих: А”, А’ и В”, В’ для фронтальной,
С”, С’и D’’, О’ для горизонтальной проекции. Этими границами, а также, линиями
обрыва определяются контуры проекций и производится разграничение по
видимой и невидимой частей поверхности на проекциях (см. сплошные и штриховые
линии на Рис. 33).
Аналогичное построение на Рис. 33 справа выполиено для конической поверхности.
Здесь обе проекции образующей SВ оказались граничными – одна для фронтальной,
другая для горизонтальной проекции конуса.
Согласно общим указаниям точки на цилиндрической и конической поверхностях
могут быть построены при помощи проходящих через них образующих. В некоторых
случаях при формулировке задания необходимо указывать, считается ли искомый элемент
видимым или невидимым).
На Рис. 34 показано построение горизонтальной проекции точки E, принадлежащей
цилиндрической поверхности и заданной проекцией E”; по условию точка Е
невидима на пл. π2. Дан также пример построения фронтальной проекции точки Е,
принадлежащей конической поверхности и заданной проекцией F’, при условии,
что эта точка видима на пл. π1. В обоих случаях построение выполнено при помощи
соответствующей образующей; ход построения указан стрелками.
B1’’
C’’
C’
B1’
C1’’
C1’
x
K’’
K’
S’’
K1’’
M1’’
N1’’
M’’ N’’
N’ C’
M’
N1’
M1’
K1’ S’
II. ПОВЕРХНОСТИ. Линейчатые поверхности.Циллиндрические, конические
32

II. ПОВЕРХНОСТИ. Линейчатые поверхности.Циллиндрические, конические
33
РИС 34
E’’
A’’ C’’ B’’
D’
A’
E’ B’
A’
C’
Если направляющая кривая линия (расположенная в пространстве или представляющая
собой след поверхности на плоскости проекций) заменяется вписанной
в нее ломаной линией, то цилиндрическая поверхность заменяется призматической,
а коническая – пирамидальной (гранями многогранного угла). Такая связь между этими
поверхностями будет использоваться в дальнейших построениях.
Цилиндрические поверхности различают по виду нормального сечения,
т.е. кривой линии, получаемой при пересечении этой поверхности плоскостью,
перпендикулярной к ее образующим.
Выделим случаи, когда нормальное сечение цилиндрической поверхности
представляет собой кривую второго порядка. Такая цилиндрическая поверхность
относится к числу поверхностей второго порядка. Точки любой поверхности второго
порядка удовлетворяют в декартовых пространственных координатах уравнению второго
порядка. Любая плоскость пересекает такую поверхность по кривой второго порядка.
Прямая линия пересекает поверхность второго порядка всегда в двух точках.
По виду нормального сечения цилиндр второго порядка может быть эллиптическим
(в частном случае круговым), параболическим, гиперболическим. У известного из стереометрий
прямого кругового цилиндра боковая поверхность является поверхностью второго
порядка. Из перечисленных только в круговой цилиндр можно вписать сферу.
Если же нормальным сечением является неопределенная геометрическая линия,
то это цилиндр общего вида.
Коническая поверхность может быть поверхностью второго порядк (конус второго
порядка), тогда она пересекается плоскостью по кривой второго порядка.
В стереометрии рассматривается прямой круговой конус. Через его вершину проходит
множество плоскостей симметрии этого конуса. Они пересекаются по прямой,
являющейся осью конуса. В такой конус можно вписать сферу. Боковая по`верхность
прямого кругового конуса есть ‘поверхность второго порядка.
A’’
C’
C’’
F’
D’’
D’
F’’
B’’
B’
S’’
S’

Конечно, ось кругового конуса может занимать по отношению к плоскостям проекций
любое положение, которое можно привести к простейшему (например, перпендикулярному
к пл. π1).
S’’
S’’
II. ПОВЕРХНОСТИ. Линейчатые поверхности.Циллиндрические, конические
РИС 35
На Рис. 35 слева изображен конус, имеющий систему подобных и подобно
расположенных эллипсом. Такой конус называют эллиптическим. Конечно,
у него, как у всякого конуса второго порядка, сечения плоскостями, не проходящими
через вершину, являются окружностями, эллипсами, параболами,
гиперболами, и каждая из этих линий может быть принята за направляющую. Поэтому
название «эллиптический» не следует понимать как указание на преимущественный
выбор эллипса в качестве направляющей линии.
Эллиптический конус можно представить как прямой круговой конус, преобразованный
путем его равномерного сжатия в плоскости осёвого сечения.
У конуса, изображенного на рис. 315 справа, основанием является круг, как
и у прямого кругового конуса, но проекция вершины на плоскости основания не совпадает
с центром круга. Такой конус называют наклонным круговым. Пересекая его
боковую поверхность плоскостями, параллельными плоскости основания, получаем
окружности, центры которых расположены на прямой, проходящей через вершину
и центр основания конуса.
34

II. ПОВЕРХНОСТИ. Линейчатые поверхности.Поверхности, задаваемые каркасом
Поверхности, задаваемые каркасом
Поверхностью, задаваемой каркасом, называют поверхность, которая задается некоторым
числом линий, принадлежащих такой поверхности. В частном случае ожно
представить одну группу некоторых плоских кривых линий, расположенных каждая
в плоскостях, параллельных между собой, и другую группу линий, пересекающих линии
первой группы; в пересечении образуется каркас поверхности.
Поверхность, задаваемую каркасом, нельзя считать вполне определеиной:
могут быть поверхности с одним и тем же каркасом, но несколько отличающиеся одна
от другой.
Примером каркасных поверхностей могут служить поверхности корпусов
судов, самолетов, автомобилей, баллонов кинескопов.
Поверхности графические
(топографические поверхности)
Каждая поверхность может быть задана графически. Но для одних поверхностей
образующие и направляющие линии геометрически определены и образование поверхности
подчинено определенному закону, для других же поверхностей этих условий
нет. В последнем случае поверхности задаются только графически, при помощи
некоторого числа линий, которые должны (по замыслу при проектировании)принадлежать
такой поверхности или выявляются на существующей поверхности.
Для таких поверхностей встречается название графические поверхности.
К их разряду относится и поверхность, называемая топографической),
т.е. земная поверхность с точки зрения ее изображений. Рельеф земной поверхности
передается линиями – горизонталями, получаемыми при пересечении этой поверхности
горизонтальными плоскостями.
35

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
• Буркова С.П. Инженерня графика.Учебное пособие. 2010 г.
• Гордон В.О., Семенцов-Огневский М.А. - Курс начертательной геометрии.
2000 г.
• Герасимов В.А. Начертательная геометрия. 2008 г.
• Королев Ю.И. Начертательная геометрия. 2010 г.
36

СОДЕРЖАНИЕ
I. Кривые линии..............................................................................................................5
Основные понятия, определения...................................................................................7
Способы задания кривых линий....................................................................................7
Проецирование кривых линий.......................................................................................7
Плоские кривые линии...................................................................................................8
Пространственные кривые линии................................................................................11
Кривые второго порядка..............................................................................................12
Цилиндрическая винтовая линия................................................................................13
II. Поверхность..............................................................................................................15
Основные понятия и определения..............................................................................17
Нелинейчатые поверхности.........................................................................................20
Нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида................................20
Нелинейчатые поверхности с образующей постоянного вида.................................22
Поверхности нелинейчатые второго порядка.......................................................23
Циклические нелинейчатые поверхности...................................................................24
Линейчатые поверхности.............................................................................................25
Линейчатые поверхности вращения............................................................................27
Винтовые линейчатые поверхности............................................................................27
Линейчатые поверхности с тремя направляющими..................................................28
Линейчатые поверхности с двумя направляющими
и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)...............................................29
Линейчатые поверхности с тремя направляющими..................................................30
Циллиндрические, конические линейчатые поверхности........................................31
Поверхности, задаваемые каркасом...........................................................................35
Поверхности графические (топографические поверхности)......................................35
Использованная литература.........................................................................................36
Содержание...................................................................................................................37
37

38

39
Коллектив авторов.
Кривые линии. Поверхности.
Сост. Ильин Р.
Компьютерная верстка Иьин Р.
Тираж 3 экз.
40 стр.
DTFM pub.