Statistica - notite de curs - Universitatea de Vest din Timisoara

Cuprins
Statisticǎ - notit¸e de curs
S¸tefan Balint, Loredana Tǎnasie
1 Ce este statistica? 3
2 Not¸iuni de bazǎ 5
3 Colectarea datelor 7
4 Determinarea frecvent¸ei ¸si gruparea datelor 11
5 Prezentarea datelor 14
6 Parametrii ¸si statistici ai tendint¸ei centrale 19
7 Parametrii ¸si statistici ai dispersiei 22
8 Parametrii ¸si statistici factoriali ai variant¸ei 25
9 Parametrii ¸si statistici ale pozit¸iei 26
10 Seria de distribut¸ie a statisticilor
de e¸santioane 28
11 Teorema limitǎ centralǎ 32
12 O aplicat¸ie a teoremei limitǎ centralǎ 35
13 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul de încredere 36
14 Generalitǎt¸i privind ipotezele statistice ¸si problema verificǎrii ipotezelor
statistice 38
1

15 Verificarea ipotezelor statistice: variantǎ clasicǎ 41
16 Verificarea ipotezelor statistice: varianta probabilistǎ 48
17 Inferent¸ǎ statisticǎ privind media populat¸iei dacǎ nu se cunoa¸ste
abaterea standard a populat¸iei 52
18 Inferent¸ǎ relativǎ la variant¸ǎ ¸si estimarea variant¸ei 59
19 Generalitǎt¸i despre corelat¸ie. Corelat¸ie liniarǎ 65
20 Analizǎ de corelat¸ie liniarǎ 73
21 Inferent¸ǎ privind coeficientul de corelat¸ie liniarǎ 76
22 Regresie liniarǎ 80
23 Analiza de regresie liniarǎ 83
24 Inferent¸ǎ referitoare la panta unei drepte de regresie liniarǎ 87
2

1 Ce este statistica?
Definit¸ia 1.1. Statistica este ¸stiint¸a colectǎrii, clasificǎrii, prezentǎrii, interpretǎrii
datelor numerice ¸si a folosirii acestora pentru a formula concluzii ¸si a lua decizii.
Definit¸ia 1.2. Statistica descriptivǎ se ocupǎ cu colectarea, clasificarea ¸si prezentarea
datelor numerice.
Definit¸ia 1.3. Statistica inferent¸ialǎ (inferential statistics) se ocupǎ cu interpretarea
datelor oferite de statistica descriptivǎ ¸si cu folosirea acestora pentru a formula concluzii
¸si lua decizii.
Problema 1.1. Universitatea de Vest din Timi¸soara dore¸ste sǎ facǎ un plan de dezvoltare
a facilitǎt¸ilor de cazare. Pentru a trece la act¸iune consiliul de administrat¸ie hotǎrǎ¸ste cǎ
este necesar sǎ se rǎspundǎ la urmǎtoarea întrebare: Cât¸i student¸i vor trebui cazat¸i în
urmǎtorii zece ani?
Pentru a rǎspunde la aceastǎ întrebare trebuie sǎ cunoa¸stem rǎspunsul la cel put¸in
urmǎtoarele douǎ întrebǎri: Cât¸i absolvent¸i de liceu vor fi? Cât¸i vor sǎ vinǎ la
universitate? (S¸i altele poate).
Pentru a rǎspunde la aceste douǎ întrebǎri e nevoie de date referitoare la numǎrul de
absolvent¸i de liceu în urmǎtorii zece ani ¸si de date care indicǎ procentul acelor absolvent¸i
de liceu care doresc sǎ devinǎ student¸i la U.V.T. în urmǎtorii zece ani.
O cale de a obt¸ine date refritoare la numǎrul de absolvent¸i de liceu în urmǎtorii zece ani
este de a vedea care a fost acest numǎr în ultimii zece ani ¸si a extrapola acest numǎr.
Trebuie remarcat cǎ aceastǎ idee presupune cǎ existǎ o legǎturǎ dintre trecut ¸si viitor.
Acest lucru nu este întotdeauna adevǎrat. O întrebare suplimentarǎ care se pune în acest
context este dacǎ va trebui sǎ numǎrǎm tot¸i absolvent¸ii de liceu din toate ¸scolile din
ultimii zece ani sau ne putem limita sǎ numǎrǎm doar la anumite ¸scoli? Altfel spus, dacǎ
putem considera doar e¸santioane?
O cale de a obt¸ine date referitoare la procentul acelor absolvent¸i care doresc sǎ devinǎ
student¸i la U.V.T. este aceea de a vedea aceste procente în ultimii zece ani ¸si de a
extrapola.
Alte întrebǎri care se pun sunt: Cum interpretǎm aceste date? Cum formulǎm o concluzie
pe baza acestor date? Cum se ia o decizie pe baza acestor date?
Nu am terminat cu enumerarea întrebǎrilor care pot fi relevante. La acest moment ceea
ce este important este sǎ începem sǎ ne gândim la asemenea probleme ¸si la întrebǎrile
care trebuiesc lǎmurite pentru a obt¸ine un rǎspuns.
Remarca 1.1. Relat¸ia dintre statisticǎ ¸si probabilitǎt¸i
Statistica ¸si probabilitǎt¸ile sunt douǎ domenii strâns legate, dar distincte ale matematicii.
Se spune cǎ ”probabilitǎt¸ile sunt vehiculul statisticii”. Aceasta este adevǎrat în sensul
cǎ dacǎ nu ar fi legile probabiliste teoria statisticǎ nu ar fi posibilǎ. Pentru a ilustra
însǎ diferent¸a dintre probabilitǎt¸i ¸si statisticǎ sǎ considerǎm douǎ urne: una probabilistǎ
¸si una statisticǎ. În cazul urnei probabiliste se ¸stie cǎ urna cont¸ine 5 bile albe, 5 bile
negre ¸si 5 bile ro¸sii; problema de probabilitate este dacǎ scoatem o bilǎ, care este ¸sansa
ca aceasta sǎ fie albǎ?
În cazul unei urne statistice nu cunoa¸stem care este combinat¸ia
de bile din urnǎ. Extragem un e¸santion ¸si din acest e¸santion conjecturǎm ce credem cǎ
se gǎse¸ste în urnǎ. Trebuie ret¸inutǎ deosebirea: probabilitatea pune întrebarea ¸sansei
ca ceva (un eveniment) sǎ se întâmple atunci când se cunosc posibilitǎt¸ile (se cunoa¸ste
3

populat¸ia). Statistica ne cere sǎ facem un e¸santion, sǎ analizǎm e¸santionul ¸si pe urmǎ sǎ
facem predict¸ie asupra populat¸iei pe baza informat¸iei gǎsite în e¸santion.
Remarca 1.2. Folosirea corectǎ ¸si folosirea gre¸sitǎ a statisticii
Utilizarea statisticii este nelimitatǎ. Este greu de gǎsit un domeniu în care statistica nu
se folose¸ste. Iatǎ câteva exemple, unde ¸si cum este folositǎ statistica:
• în educat¸ie; statistica descriptivǎ este adesea folositǎ pentru a prezenta rezultatele;
• în ¸stiint¸ǎ; rezultatele experimentale trebuiesc colectate ¸si analizate;
• guvernele; adunǎ diferite date statistice tot timpul.
Mult¸i oameni sunt indiferent¸i fat¸ǎ de descrierea statisticǎ, alt¸ii cred cǎ statisticile sunt
minciuni. Majoritatea minciunilor statistice sunt inocente ¸si rezultǎ din folosirea unei
statistici neadecvate sau date obt¸inute dintr-un e¸santion nepotrivit. Toate acestea conduc
la o înt¸elegere gre¸sitǎ a informat¸iei din partea consumatorului. Folosirea gre¸sitǎ a
statisticii duce uneori la încurcǎturi.
Remarca 1.3. Statistica ¸si calculatorul
În ultimul deceniu calculatorul a avut un rol important în aproape toate aspectele viet¸ii.
Domeniul statististicii nu face except¸ie. Statistica folose¸ste multe tehnici care au o
naturǎ repetitivǎ; formule pentru a calcula statistici descriptive, proceduri de urmat
pentru a formula predict¸ii. Calculatorul este foarte bun pentru a face asemenea operat¸ii
repetitive. Dacǎ calculatorul are un soft standard statistic este mult mai u¸soarǎ analiza
unor date statistice. Cele mai cunoscute softuri statistice sunt: Minitab, Biomed (program
biomedical), SAS (Sistem de analizǎ statisticǎ), IBM Scientific Subroutine Packages ¸si
SPSS (pachet statistic pentru ¸stiint¸e sociale).
4

2 Not¸iuni de bazǎ
Definit¸ia 2.1. Populat¸ia este o colect¸ie (mult¸ime) de indivizi, obiecte sau date numerice
obt¸inute prin mǎsurǎtori ale cǎrei proprietǎt¸i trebuiesc analizate.
Remarca 2.1. Populat¸ia este colect¸ia completǎ de indivizi, obiecte sau date numerice
obt¸inute prin mǎsurǎtori care prezintǎ interes (pentru cel care colecteazǎ e¸santionul).
Conceptul de populat¸ie este fundamental în statisticǎ. Populat¸ia trebuie definitǎ cu grijǎ
¸si se considerǎ complet definitǎ dacǎ lista membrilor este specificatǎ. Mult¸imea student¸ilor
Facultǎt¸ii de Matematicǎ ¸si Informaticǎ este o populat¸ie bine definitǎ.
Dacǎ auzim cuvântul populat¸ie de obicei ne gândim la o mult¸ime de oameni.
În statisticǎ
populat¸ia poate fi o mult¸ime de animale, de obiecte fabricate sau de date numerice
obt¸inute prin mǎsurǎtori. De exemplu mult¸imea ”înǎlt¸imilor” student¸ilor facultǎt¸ii de
Matematicǎ ¸si Informaticǎ este o populat¸ie.
Definit¸ia 2.2. E¸santionul este o submult¸ime a unei populat¸ii.
Remarca 2.2. Un e¸santion constǎ din indivizi, obiecte sau date mǎsurate selectate din
populat¸ie (de cǎtre colectorul de e¸santion).
Definit¸ia 2.3. O variabilǎ de rǎspuns (simplu variabilǎ) este o caracteristicǎ (de
obicei numericǎ) care prezintǎ interes în cazul fiecǎrui element (individ) al unei populat¸ii.
Remarca 2.3. Vârsta studentului, media lui, culoarea pǎrului, înǎlt¸imea, greutatea
¸s.a.m.d. sunt variabile de rǎspuns în cazul populat¸iei: student¸ii de la Facultatea de
Matematicǎ ¸si Informaticǎ.
Definit¸ia 2.4. O datǎ (la singular) este ”valoarea” unei variabile de rǎspuns în cazul
unui element al populat¸iei sau e¸santionului.
Exemplul 2.1. Popescu Nicolae are vîrsta de ”19 ani”, media 8.50, pǎrul lui este
”castaniu”, înǎlt¸imea lui este ”1 m ¸si 75 cm”, iar greutatea lui este ”65 kg”. Aceste cinci
”valori” ale celor cinci variabile de rǎspuns (Remarca 2.3) în cazul lui Popescu Nicolae
sunt ”cinci” date.
Definit¸ia 2.5. ”Valorile” unei variabile de rǎspuns în cazul unei populat¸ii sau a unui
e¸santion constituie un set de date . Într-un set de date aceea¸si datǎ apare de atâtea ori
de câte ori variabila are aceastǎ ”valoare”.
Exemplul 2.2. Cele 25 de înǎlt¸imi în cazul unui e¸santion de 25 de student¸i este un set
de 25 de date nu neapǎrat diferite.
Definit¸ia 2.6. O activitate planificatǎ în urma cǎreia se obt¸ine un set de date se nume¸ste
experiment sau sondaj.
Definit¸ia 2.7. Parametru este o caracteristicǎ numericǎ a unei populat¸ii.
Exemplul 2.3. Procentul de student¸i de la Facultatea de Matematicǎ ¸si Informaticǎ care
au promovat toate examenele la sesiunea din iarnǎ este un exemplu de parametru în cazul
populat¸iei: student¸ii de la Facultatea de Matematicǎ ¸si Informaticǎ.
Remarca 2.4. Parametrul este o valoare numericǎ care se referǎ la întreaga populat¸ie.
În statisticǎ se obi¸snuie¸ste ca parametrul sǎ fie notat cu literǎ greceascǎ.
5

Definit¸ia 2.8. O statisticǎ este o caracteristicǎ numericǎ a unui e¸santion
Exemplul 2.4. Înǎlt¸imea medie gǎsitǎ folosind cele 25 de înǎlt¸imi în cazul unui e¸santion
de 25 de student¸i este un exemplu de statisticǎ (de e¸santion).
Remarca 2.5. O statisticǎ este o valoare numericǎ care se referǎ la un e¸santion.
Statisticile (de e¸santion) se noteazǎ cu literele alfabetului latin.
6

3 Colectarea datelor
Prima problemǎ a statisticianului este colectarea unui set de date. Aceasta presupune
definirea prealabilǎ a obiectivelor sondajului (experimentului) a populat¸iei ¸si a variabilei.
Exemple de obiective:
a) Compararea eficacitǎt¸ii unui medicament nou cu eficacitatea unui medicament
standard;
b) Estimarea venitului mediu al unei familii din judet¸.
Exemple de populat¸ii ¸si variabile corespunzǎtoare:
a) pacient¸ii care suferǎ de o boalǎ care se trateazǎ cu medicamentul considerat
reprezintǎ populat¸ia, iar timpul de recuperare reprezintǎ variabila;
b) familiile din judet¸ reprezintǎ populat¸ia, iar venitul total al unei familii din judet¸
reprezintǎ variabila.
Tot înainte de colectarea setului de date trebuie hotǎrât dacǎ setul de date se constituie
pentru întreaga populat¸ie sau doar pentru un e¸santion. Dacǎ setul de date se constituie
pentru întreaga populat¸ie atunci se face un recensǎmânt.
Definit¸ia 3.1. Un recensǎmânt este o enumerare sau o listare a fiecǎrui element al
populat¸iei împreunǎ cu data (valoarea variabilei) corespunzǎtoare elementului.
În cazul unei populat¸ii mari, constituirea unui set de date la nivelul populat¸iei este dificil
¸si costisitor. De aceea, în cazul în care nu este posibilǎ realizarea unui recensǎmânt,
setul de date se constituie doar pentru o parte a populat¸iei, pentru un e¸santion. Select¸ia
elementelor pentru e¸santion se face dintr-un cadru de e¸santionare.
Definit¸ia 3.2. Cadrul de e¸santionare este o listǎ de elemente care apart¸in populat¸iei,
din care va fi extras e¸santionul.
Remarca 3.1. Deoarece numai elementele din cadrul e¸santionului au ¸sansa sǎ fie selectate
pentru e¸santion, din perspectiva variabilei de rǎspuns cadrul de e¸santion trebuie sǎ fie
reprezentativ pentru populat¸ie.
Remarca 3.2. În cazul unei populat¸ii de indivizi listele de alegǎtori sau cǎrt¸ile de telefon
sunt folosite adesea drept cadru de e¸santion. În funct¸ie de variabila de rǎspuns acestea
pot fi cadre de e¸santion potrivite sau nepotrivite.
Remarca 3.3. Dupǎ definirea cadrului e¸santionului se trece la stabilirea modului de
alegere a elementelor e¸santionului. Acest proces se nume¸ste proiectarea e¸santionului.
Definit¸ia 3.3. Proiectarea e¸santionului înseamnǎ stabilirea procedurii de alegere a
elementelor e¸santionului din cadrul e¸santionului.
Existǎ mai multe procedee de alegere a elementelor e¸santionului. În mare aceste procedee
împreunǎ cu e¸santioanele corespunzǎtoare se împart în douǎ categorii: procedee bazate
pe reprezentativitate ¸si procedee probabiliste.
7

Definit¸ia 3.4. E¸santioane bazate pe reprezentativitate sunt acelea pentru care
elementele se aleg astfel încât din perspectiva variabilei de rǎspuns, elementul ales sǎ fie
reprezentativ pentru populat¸ie.
Exemplul 3.1. Din perspectiva variabilei de rǎspuns: ”cursul A este util sau nu în
formarea dumneavoastrǎ profesionalǎ?”, student¸ii din cadrul unui e¸santion care nu au
frecventat cursul nu sunt reprezentativi. Deci nu sunt ale¸si în e¸santion.
Definit¸ia 3.5. Un e¸santion pentru care elementele sunt selectate pe bazǎ probabilistǎ;
oricare element din cadrul e¸santionului are o anumitǎ ¸sansǎ nenulǎ sǎ fie selectat; se
nume¸ste e¸santion probabilist.
Remarca 3.4. Inferent¸e statistice cer ca e¸santionul sǎ fie probabilist. E¸santioanele
probabiliste aleatoare sunt cele mai familiare e¸santioane probabiliste.
Definit¸ia 3.6. Un e¸santion de mǎrimea n este e¸santion probabilist aleator dacǎ orice
e¸santion de mǎrimea n ales din acela¸si cadru are aceea¸si probabilitate sǎ fie ales.
Remarca 3.5. Cea mai rǎspânditǎ metodǎ de a colecta date folose¸ste e¸santion aleator
simplu.
Definit¸ia 3.7. Un e¸santion probabilist aleator pentru care elementele sunt selectate dintrun
cadru în care elementele au aceea¸si probabilitate sǎ fie alese se nume¸ste e¸santion
aleator simplu.
Remarca 3.6. Atunci când se construie¸ste un e¸santion probabilist aleator simplu trebuie
avutǎ grijǎ ca fiecare element din cadrul e¸santionului sǎ aibe aceea¸si probabilitate sǎ fie
selectat. Adesea se fac gre¸seli pentru cǎ termenul ”aleator” este confundat cu ”ales
la întâmplare”. Un procedeu corect de selectare a unui e¸santion probabilist aleator
simplu este acela care folose¸ste un generator de numere aleatoare sau o tabelǎ de numere
aleatoare. Prima oarǎ se numeroteazǎ elementele din cadrul de e¸santionare. Dupǎ aceasta
în tabelul cu numere aleatoare se aleg atâtea numere câte sunt necesare pentru e¸santion.
Fiecare element din cadrul de e¸santionare, al cǎrui numǎr coincide cu un numǎr selectat
din tabelul de numere aleatoare va fi ales pentru e¸santion.
Exemplul 3.2. Dacǎ cadrul e¸santionului este o listǎ de 4265 de student¸i atunci ei sunt
numerotat¸i de la 0001; 0002; ...; 4265. Pentru un e¸santion de 50 de student¸i se aleg 50 de
numere aleatoare cu patru cifre ¸si se identificǎ student¸ii din cadrul e¸santionului.
Definit¸ia 3.8. E¸santionul sistematic se construie¸ste alegând fiecare al k-lea element
din cadrul e¸santionului.
Remarca 3.7. În aceastǎ select¸ie se folose¸ste tabela de numere aleatoare o singurǎ datǎ,
pentru a determina punctul de plecare.
Exemplul 3.3. Dacǎ se considerǎ un cadru de e¸santion de 245 de student¸i ai Facultǎt¸ii
de Matematicǎ ¸si Informaticǎ ¸si se dore¸ste un e¸santion sistematic format din 15 student¸i
atunci:
1) asociem fiecǎrui student un numǎr de la 1 la 245;
8

2) se calculeazǎ k (pasul de numǎrare) folosind urmǎtoarea relat¸ie:
� � � �
numǎrul de elemente din cadrul e¸santionului 245
k =
= = 16
numǎrul de elemente din e¸santion
15
3) se alege punctul de plecare între 1 ¸si numǎrul k cu ajutorul unui tabel de numere
aleatoare.
Dacǎ acest numǎr este 10, atunci obt¸inem e¸santionul:
10, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 234.
Deoarece k = 245
= 16, 33, nu este un numǎr întreg, pasul de numǎrare poate fi ¸si 17. În
15
acest caz e¸santionul sistematic obt¸inut este de numai 14 elemente.
Remarca 3.8. Este o procedurǎ bunǎ pentru a e¸santiona un procentaj în cazul
populat¸iilor mari. Pentru a selecta un e¸santion sistematic de x% dintr-o populat¸ie, un
element din 100/x va fi selectat (dacǎ 100/x nu este întreg se ia partea întreagǎ).
Remarca 3.9. Folosirea e¸santionului sistematic nu este potrivitǎ dacǎ populat¸ia este
repetitivǎ sau ciclicǎ în naturǎ.(din perspectiva variabilei de rǎspuns)
Exemplul 3.4. Dacǎ se dore¸ste estimarea numǎrului student¸ilor admi¸si la Facultatea de
Matematicǎ ¸si Informaticǎ care au depǎ¸sit vârsta de 20 de ani ¸si se folose¸ste e¸santionarea
sistematicǎ extrǎgând din lista candidat¸ilor admi¸si numai pe cei de pe pozit¸iile care sunt
multiplu de 5, existǎ posibilitatea ca tot¸i candidat¸ii admi¸si pe pozit¸iile respective sǎ aibǎ
sub 20 de ani. Un asemenea e¸santion spune ca nu au fost admi¸si candidat¸i peste 20 de
ani, ceea ce nu poate fi sust¸inut.
Când se e¸santioneazǎ populat¸ii foarte mari, atunci când este posibil se împarte populat¸ia
în douǎ subpopulat¸ii pe baza unor caracteristici. Aceste subpopulat¸ii se numesc straturi,
iar straturile sunt e¸santionate separat.
Definit¸ia 3.9. Un e¸santion obt¸inut în urma stratificǎrii cadrului e¸santionului ¸si prin
selectarea unui numǎr dat de elemente din fiecare strat se nume¸ste e¸santion stratificat.
Remarca 3.10. Când se proiecteazǎ un e¸santion stratificat, cadrul se împarte în douǎ sau
mai multe straturi ¸si în fiecare strat se proiecteazǎ un sube¸santion. Aceste sube¸santioane
pot fi aleatoare, sistematice sau de alt gen. Dupǎ aceea sube¸santioanele sunt asamblate
într-un singur e¸santion pentru a colecta un set de date.
Exemplul 3.5. Pentru studierea unei caracteristici a populat¸iei student¸ilor din Facultatea
de Matematicǎ ¸si Informaticǎ, aceastǎ populat¸ie poate fi împǎrt¸itǎ:
- pe domenii: informaticǎ, matematicǎ
- pe ani de studiu.
Definit¸ia 3.10. E¸santion cotǎ (sau e¸santion proport¸ional) este un
e¸santion stratificat care se construie¸ste prin selectarea unui numǎr de elemente din fiecare
strat dupǎ o anumitǎ cotǎ sau proport¸ional cu mǎrimea stratului.
9

Exemplul 3.6. Dacǎ se dore¸ste construirea unui e¸santion de 150 de student¸i din populat¸ia
student¸ilor Facultǎt¸ii de Matematicǎ ¸si Informaticǎ putem face stratificarea dupǎ anii de
studiu. În acest caz, numǎrul de student¸i ce va fi selectat din fiecare an ce va fi selectat
va fi proport¸ional cu numǎrul total de student¸i din anul respectiv:
Anul de studiu Numǎr student¸i Cota Nr. student¸i
selectat în e¸santion:
Anul I 431 36.49% 54
Anul II 303 25.65% 40
Anul III 206 17.44% 26
Anul IV 240 20.40% 30
E¸santionul va fi format din 54 de student¸i din anul I, 40 de student¸i din anul II, 26 de
student¸i din anul III ¸si 30 de student¸i din anul IV.
O altǎ metodǎ de e¸santionare care pleacǎ de la stratificarea populat¸iei este e¸santionul
ciorchine.
Definit¸ia 3.11. E¸santionul ciorchine este un e¸santion stratificat care se construie¸ste
prin selectarea de e¸santioane din anumite straturi (nu din toate).
Exemplul 3.7. Dacǎ se dore¸ste realizarea unui e¸santion ciorchine format din student¸ii
Universitǎt¸ii de Vest din Timi¸soara, aceastǎ populat¸ie poate fi startificatǎ în funct¸ie
de specializarea pe care au ales-o student¸ii select¸ionând e¸santioane doar de la câteva
specializǎri (nu de la toate).
Remarca 3.11. E¸santionul ciorchine se obt¸ine folosind numere aleatoare sau o metodǎ
sistematicǎ pentru identificarea straturilor (ciorchine) care trebuiesc e¸santionate, dupǎ
care fiecare din aceste straturi este e¸santionat. Sube¸santioanele asamblate formeazǎ un
e¸santion ciorchine.
Într-un caz concret procedeul de e¸santionare care se folose¸ste depinde de populat¸ie de
variabilǎ de dificultatea e¸santionǎrii ¸si de cost. Dupǎ determinarea e¸santionului se poate
trece la colectarea setului de date.
10

4 Determinarea frecvent¸ei ¸si gruparea datelor
Dupǎ colectarea unui set de date urmeazǎ prelucrarea primarǎ a datelor. Determinarea
frecvent¸ei ¸si gruparea datelor este un procedeu de prelucrae primarǎ a datelor ¸si este
utilizat atunci când numǎrul datelor este mare.
Pentru a prezenta conceptul de frecvent¸ǎ sǎ considerǎm urmǎtorul set de date:
3 2 2 3 2
4 4 1 2 2
4 3 2 0 2
2 1 3 3 1
Valoarea 0 apare în acest set o singurǎ datǎ prin urmare frecvent¸a pentru 0 este unu.
Valoarea 1 apare în acest set de trei ori prin urmare frecvent¸a pentru 1 este trei.
Valoarea 2 apare în acest set de opt ori prin urmare frecvent¸a pentru 2 este opt.
Valoarea 3 apare în acest set cinci ori prin urmare frecvent¸a pentru 3 este cinci.
Valoarea 4 apare în acest set de douǎ ori prin urmare frecvent¸a pentru 4 este doi.
Frecvent¸a datelor 0,1,2,3,4 care apar în setul de date este redatǎ în tabelul urmǎtor:
x f
0 1
1 3
2 8
3 5
4 3
Definit¸ia 4.1. Frecvent¸a f (din coloana a doua) aratǎ de câte ori apare valoarea variabilei
x în setul de date.
Atunci când într-un set de date multe sunt distincte (în loc de câteva ca în cazul precedent)
se grupeazǎ datele în clase ¸si apoi se construiesc frecvent¸e pentru clase.
Pentru a ilustra acest procedeu considerǎm urmǎtorul set de date:
82 74 88 66 58
62 68 72 92 86
74 78 84 96 76
76 52 76 82 78
Vom pune în aceea¸si clasǎ toate datele la care prima cifrǎ este aceea¸si ¸si obt¸inem
urmǎtoarele cinci clase:
50 − 59; 60 − 69; 70 − 79; 80 − 89; 90 − 99
(50 − 59 este clasa formatǎ cu toate datele la care prima cifrǎ este 5, ¸s.a.m.d.).
Aceste clase nu se intersecteazǎ (nu existǎ date care sǎ apart¸inǎ la douǎ clase) ¸si oricare
din date apart¸ine unei clase.
Limitele inferioare ale claselor sunt 50, 60, 70, 80, 90, iar limitele superioare sunt 59, 69, 79, 89, 99.
Datele care apart¸in unei clase sunt mai mari decât limita inferioarǎ a clasei ¸si mai mici
decât limita superioarǎ a clasei.
11

Definit¸ia 4.2. Lǎt¸imea unei clase definitǎ ca diferent¸a dintre limita inferioarǎ a clasei
urmǎtoare ¸si limita inferioarǎ a clasei (este egalǎ cu 10 ¸si este aceea¸si pentru toate clasele
în exemplul de mai sus) lǎt¸imea clasei nu este egalǎ cu diferent¸a dintre limita superioarǎ
¸si limita inferioarǎ a clasei.
Definit¸ia 4.3. Frontierele unei clase definite ca media aritmeticǎ dintre limita superioarǎ
a clasei ¸si limita inferioarǎ a clasei urmǎtoare sunt:
49, 5; 59, 5; 69, 5; 79, 5; 89, 5; 99, 5.
Definit¸ia 4.4. Marca unei clase definitǎ ca media aritmeticǎ dintre limita superioarǎ ¸si
limita inferioarǎ a clasei, în acest caz este:
54.5 =
64.5 =
74.5 =
84.5 =
50 + 59
2
60 + 69
2
70 + 79
2
80 + 89
2
în cazul clasei 50 − 59
în cazul clasei 60 − 69
în cazul clasei 70 − 79
în cazul clasei 80 − 89
90 + 99
94.5 =
2
în cazul clasei 90 − 99
Frecvent¸a în acest caz este numǎrul de date dintr-o clasǎ. Frecvent¸a datelor pe clase este:
în cazul clasei 50 − 59 2 date
în cazul clasei 60 − 69 3 date
în cazul clasei 70 − 79 8 date
în cazul clasei 80 − 89 5 date
în cazul clasei 90 − 99 2 date
În general, în cazul grupǎrii datelor pe clase ¸si a determinǎrii frecvent¸ei trebuiesc
respectate urmǎtoarele reguli:
1) Clasele nu trebuie sǎ se intersecteze ¸si fiecare datǎ din setul de date trebuie sǎ
apart¸inǎ la o clasǎ;
2) Fiecare clasǎ trebuie sǎ aibe aceea¸si lǎt¸ime.
Procedeul concret de grupare este urmǎtorul:
12

i) Se identificǎ cea mai mare datǎ H ¸si cea mai micǎ datǎ L ¸si se determinǎ plaja:
R = H − L.
ii) Se alege numǎrul de clase m ¸si lǎt¸imea clasei c (dacǎ se poate numǎr impar) astfel
ca produsul m · c sǎ fie put¸in mai mare ca plaja R.
iii) Se alege un punct de plecare I care este put¸in mai mic decât cea mai micǎ datǎ L.
Adǎugǎm la I multiplii lui c (c este lǎt¸imea clasei) ¸si obt¸inem numerele:
I, I + c, I + 2c, I + 3c, ..., I + (m − 1)c
Aceste numere sunt limitele inferioare ale claselor.
iv) Limitele superioare se stabilesc astfel încât sǎ fie respectate condit¸iile 1) ¸si 2).
v) Se determinǎ frecvent¸a fiecǎrei clase numǎrând elementele din fiecare clasǎ.
13

5 Prezentarea datelor
Prezentarea unui set de date poate fi fǎcutǎ sub diferite forme ¸si face parte din prelucrarea
primarǎ a datelor.
Prezentarea datelor sub formǎ de serii
Definit¸ia 5.1. Seria de distribut¸ie este un ansamblu de douǎ ¸siruri finite dintre care
primul este ¸sirul elementelor distincte din setul de date statistice sau ¸sirul claselor obt¸inute
prin gruparea elementelor din setul de date statistice, iar cel de-al doilea este ¸sirul de
frecvent¸e corespunzǎtoare.
Exemplul 5.1.
seria de distribut¸ie este:
În cazul setului de date statistice:
X
3 2 2 3 2
4 4 1 2 2
4 3 2 0 2
2 1 3 3 1
� 0 1 2 3 4
1 3 8 5 3
Exemplul 5.2. În cazul claselor 50 − 59; 60 − 69; 70 − 79; 80 − 89; 90 − 99 obt¸inute prin
gruparea datelor din setul de date:
82 74 88 66 58 74 78 84 96 76
62 68 72 92 86 76 52 76 82 78
seria de distribut¸ie este:
�
50 − 59
X
2
60 − 69
3
70 − 79
8
80 − 89
5
�
90 − 99
2
În general, o serie de distribut¸ie aratǎ în felul urmǎtor:
�
x1
X
x2 x3 · · · xn
�
�
f1 f2 f3 · · · fn
¸si oricare ar fi nivelul de grupare al datelor, xi având frecvent¸a fi, se nume¸ste termenul
seriei de distribut¸ie.
Remarca 5.1. Adesea în prezentarea seriilor de distribut¸ie în locul frecvent¸ei fi se
folose¸ste frecvent¸a relativǎ:
sau sub formǎ procentualǎ:
f ′ i = fi
n�
j=1
fj
f ′′
i = f ′ i · 100
14

Definit¸ia 5.2. Valoarea datei care apare cu cea mai mare frecvent¸ǎ într-o serie de
distribut¸ie de date statistice se nume¸ste mod.
Definit¸ia 5.3. Clasa cu cea mai mare frecvent¸ǎ într-o serie de distribut¸ie de date grupate
se nume¸ste clasǎ modalǎ.
Definit¸ia 5.4. Serie bimodalǎ este o serie de distribut¸ie de date grupate în care apar
douǎ clase modale, separate de clase cu frecvent¸ǎ mai joasǎ.
Definit¸ia 5.5. Frecvent¸a cumulatǎ a unei clase este suma frecvent¸elor tutror claselor
cu valori mai mici (marca mai micǎ).
Definit¸ia 5.6. Seria dinamicǎ (temporalǎ, cronologicǎ) este un ¸sir dublu dintre
care primul este ¸sirul de valori ale variabilei de rǎspuns, iar cel de-al doilea ¸sir este ¸sirul
de momente de timp la care variabila are aceste valori.
(temporalǎ) se noteazǎ astfel:
În general, o serie dinamicǎ
�
x1
X
x2 x3 · · · xn
�
t1 t2 t3 · · · tn
Prezentarea datelor sub formǎ de tabele statistice
Tabelele statistice sunt foarte variate ¸si se folosesc pentru ordonarea datelor statistice
dintr-un set de date în vederea aplicǎrii metodelor de calcul ¸si de interpretare statisticǎ.
În funct¸ie de numǎrul de caracteristici prezentate în tabel existǎ tabele simple, tabele cu
dublǎ intrare, tabele pe grupe, etc.
Prezentarea datelor sub formǎ graficǎ
Existǎ mai multe metode de prezentare graficǎ a unui set de date statistice. Metoda
de prezentare graficǎ este determinatǎ de tipul de date ¸si de ideea de prezentare. De
la început trebuie sǎ fie clar cǎ existǎ mai multe cǎi de a dispune grafic anumite date
statistice. Judecata analistului ¸si circumstant¸ele din jurul problemei joacǎ un rol major
în alegerea modului de dispunere graficǎ a datelor statistice.
Definit¸ia 5.7. Graficele de reprezentare a seriilor statistice fǎrǎ grupare se numesc
diagrame.
Definit¸ia 5.8. Diagrama cerc a seriei de distribut¸ie (fǎrǎ grupare)
�
x1
X
x2 x3 · · · xn
�
f1 f2 f3 · · · fn
este un cerc împǎrt¸it în n sectoare de cerc S1, S2, ..., Sn astfel încât aria sectorului Si este
egalǎ cu
procente din aria cercului.
f ′′
i = fi
n�
j=1
15
fj
· 100

Exemplul 5.3. În cazul seriei de distribut¸ie din exemplul 5.1
�
0
X
1
1
3
2
8
3
5
�
4
3
cercul se împarte în cinci sectoare având ariile egale cu 5%, , 15%, 40%, 25%, 15% din
aria cercului
Definit¸ia 5.9. Diagrama coloanǎ a seriei de distribut¸ie (fǎrǎ grupare):
�
x1
X
x2 x3 · · · xn
�
f1 f2 f3 · · · fn
este un set de n dreptunghiuri. Bazele acestor dreptunghiuri sunt egale ¸si sunt a¸sezate pe
axa Ox, iar înǎlt¸imile lor sunt f1, f2, ..., fn
Exemplul 5.4.
diagrama coloanǎ este:
În cazul seriei de distribut¸ie din exemplul 5.1:
�
0
X
1
1
3
2
8
3
5
�
4
3
16

Definit¸ia 5.10. Diagrama linie (ramurǎ-frunzǎ) a seriei de distribut¸ie (fǎrǎ grupare)
�
x1
X
x2 x3 · · · xn
�
f1 f2 f3 · · · fn
este un set de n dreptunghiuri. Bazele acestor dreptunghiuri sunt egale ¸si sunt a¸sezate pe
axa Oy, iar lungimile lor sunt f1, f2, ..., fn.
Exemplul 5.5.
diagrama linie este:
În cazul seriei de distribut¸ie din exemplul 5.1:
�
0
X
1
1
3
2
8
3
5
�
4
3
Definit¸ia 5.11. Histograma seriei de distribut¸ie cu grupare
�
x1
X
x2 x3 · · · xn
�
f1 f2 f3 · · · fn
este un set de n dreptunghiuri care reprezintǎ clasele. Bazele acestor dreptunghiuri
sunt egale (clasele au aceea¸si lǎt¸ime) ¸si sunt a¸sezate pe axa Ox, iar înǎlt¸imile lor sunt
f1, f2, ..., fn.
Exemplul 5.6. În cazul seriei de distribut¸ie din exemplul 5.2:
�
50 − 59
X
2
60 − 69
3
70 − 79
8
80 − 89
5
�
90 − 99
2
histograma este:
17

Remarca 5.2. În cazul histogramei o coloanǎ reprezintǎ un numǎr de date diferite spre
deosebire de diagrama coloanǎ.
Remarca 5.3. O histogramǎ are urmǎtoarele componente:
i) Un titlu care identificǎ populat¸ia la care se referǎ;
ii) O scarǎ orizontalǎ pe care se identificǎ variabila X, valorile limitelor claselor,
frontierele claselor, mǎrcile claselor.
iii) O scarǎ verticalǎ pe care se identificǎ frecvent¸ele pentru fiecare clasǎ.
Definit¸ia 5.12. O histogramǎ de frecvent¸e relative este o histogramǎ obt¸inutǎ dintro
histogramǎ înlocuind frecvent¸ele cu frecvent¸e relative.
Frecvent¸a relativǎ (este o mǎsurǎ proport¸ionalǎ cu frecvent¸a în cauzǎ) se obt¸ine prin
împǎrt¸irea frecvent¸ei clasei la numǎrul total de elemente din setul de date.
Definit¸ia 5.13. Ogiva unei serii de distribut¸ie de clase cu frecvent¸e relative cumulate
este un set de dreptunghiuri. Bazele dreptunghiurilor sunt egale ¸si a¸sezate pe axa Ox, iar
înǎt¸imile lor sunt frecvent¸ele relative cumulate.
Ogiva are urmǎtoarele componente:
1. Un titlu care identificǎ populat¸ia.
2. O scarǎ orizontalǎ pe care sunt marcate frontierele superioare ale claselor.
3. O scarǎ verticalǎ pe care sunt marcate frecvent¸ele relative cumulate pentru fiecare
clasǎ.
18

6 Parametrii ¸si statistici ai tendint¸ei centrale
O categorie de caracteristici numerici asociat¸i unui set de date statistice sunt: parametrii
tendint¸ei centrale în cazul populat¸iilor ¸si statistici ale tendint¸ei centrale în cazul
e¸santioanelor. Întrucât ace¸stia au definit¸ii analoage vom prezenta doar statistici ale
tendint¸ei centrale.
Definit¸ia 6.1. Statistici ale tendint¸ei centrale sunt valori numerice asociate unui set
de date statistice care localizeazǎ într-un anumit sens mijlocul mult¸imii de date statistice.
Definit¸ia 6.2. Media aritmeticǎ a setului de date statistice {x1, x2, ..., xn} este prin
definit¸ie suma acestor date împǎrt¸itǎ la numǎrul datelor
x =
n�
i=1
Remarca 6.1. Atunci când datele sunt prezentate sub forma unei serii de distribut¸ie
(fǎrǎ grupare în clase), media aritmeticǎ se gǎse¸ste cu formula:
x =
m�
j=1
n
xi
xj · fj
m�
j=1
Remarca 6.2. În cazul unei serii de distribut¸ie (cu grupare în clase) formula de calcul a
mediei este:
x =
�
x · fx
fj
� fx
în care x reprezintǎ marca clasei ¸si fx frecvent¸a corespunzǎtoare, iar suma se extinde pe
ansamblul claselor.
Definit¸ia 6.3. Media pǎtraticǎ a setului de date statistice {x1, x2, ..., xn} este prin
definit¸ie numǎrul:
�
� n� �
� x
�
i=1
xp =
2 i
n
Remarca 6.3. Dacǎ datele sunt prezentate sub forma unei serii de distribut¸ie (fǎrǎ
grupare în clase), media pǎtraticǎ se gǎse¸ste cu formula:
�
� m� �
� x
�
� j=1
xp = �
�
�
2 j · fj
m�
19
j=1
fj

Remarca 6.4. În cazul unei serii de distribut¸ie cu grupare în clase media pǎtraticǎ este
prin definit¸ie:
�
��
� 2
� x · fx
xp = �
� fx
în care x reprezintǎ marca clasei ¸si fx frecvent¸a corespunzǎtoare, iar suma se extinde pe
ansamblul claselor.
Definit¸ia 6.4. Media armonicǎ a setului de date statistice {x1, x2, ..., xn} este prin
definit¸ie numǎrul:
xh = n
n� 1
Remarca 6.5. Dacǎ datele sunt prezentate sub forma unei serii de distribut¸ie (fǎrǎ
grupare în clase), media armonicǎ se gǎse¸ste cu formula:
xh =
m�
i=1
m�
j=1
1
xj
j=1
Remarca 6.6. În cazul unei serii de distribut¸ie cu grupare în clase media armonicǎ este
prin definit¸ie:
n�
xh =
i=1
n�
i=1
xi
fj
fx
· fj
1
· fx
x
în care x reprezintǎ marca clasei ¸si fx frecvent¸a corespunzǎtoare, iar suma se extinde pe
ansamblul claselor.
Definit¸ia 6.5. Media geometicǎ a setului de date statistice {x1, x2, ..., xn} este prin
definit¸ie numǎrul:
xp = n
�
�
�
� n �
Remarca 6.7. Dacǎ datele sunt prezentate sub forma unei serii de distribut¸ie (fǎrǎ
grupare în clase), media geometricǎ se gǎse¸ste cu formula:
Remarca 6.8. În cazul unei serii de distribut¸ie cu grupare în clase media geometricǎ este
prin definit¸ie: în care x reprezintǎ marca clasei ¸si fx frecvent¸a corespunzǎtoare, iar suma
se extinde pe ansamblul claselor.
20
i=1
xi

Definit¸ia 6.6. Mediana me a unui set de date statistice distincte ordonate dupǎ mǎrime
x1 < x2 < ... < xn este numǎrul care împarte setul de date în douǎ grupe egale ca numǎr:
- dacǎ n = 2 · k + 1, atunci me este valoarea de rangul k + 1: me = xk+1;
- dacǎ n = 2 · k, atunci orice numǎr între valorile xk ¸si xk+1 satisface condit¸ia din
definit¸ia lui me. În acest caz se convine ca me sǎ fie media aritmeticǎ a valorilor
xk ¸si xk+1: me = xk + xk+1
.
2
Exemplul 6.1.
În cazul setului de date statistice:
mediana este me = 26.
În cazul setului de date statistice:
mediana este me =
12 + 26
2
= 19.
4 7 12 26 32 38 59
4 7 12 26 32 38
Remarca 6.9. Mediana me în acest caz are proprietatea cǎ suma frecvent¸elor valorilor
mai mari decât me este egalǎ cu suma frecvent¸elor valorilor mai mici decât me.
Remarca 6.10. Dacǎ datele pot fi egale, atunci proprietatea din Remarca 6.9 a medianei
poate sǎ nu fie adevǎratǎ. În cazul setului de date statistice:
Seria de distribut¸ie corespunzǎtoare este:
1 1 1 2 3 3 4
1 2 3 4
3 1 2 1
Conform definit¸iei lui me în acest caz me = 2, 5. Aceastǎ valoare a lui me nu rǎspunde
cerint¸ei cǎ me este o valoare cu proprietatea cǎ valorile mai mari sau mai mici decât ea
apar cu frecvent¸e cumulate egale; frecvent¸a celor mai mici este 4, iar frecvenǎ celor mai
mari este 3.
Remarca 6.11. Când datele sunt prezentate sub forma unei serii de distribut¸ie cu sau fǎrǎ
grupare me se calculeazǎ prin procedeul interpolǎrii liniare, bazate pe ipoteza repartit¸iei
uniforme a frecvent¸elor în intervalul median.
Definit¸ia 6.7. Mijlocul plajei este prin definit¸ie numǎrul:
Mr =
L + H
2
unde L este cea mai micǎ valoare, iar H este cea mai mare valoare a variabilei X
21

7 Parametrii ¸si statistici ai dispersiei
Dupǎ ce ”mijlocul” unui set de date a fost stabilit urmǎtoarea întrebare naturalǎ este:
care sunt parametrii ¸si statisticile care caracterizeazǎ dispersia (împrǎ¸stierea) datelor.
Parametrii ¸si statisticile dispersiei sunt: plaja, deviat¸ia medie absolutǎ, variant¸a, deviat¸ia
standard ¸si coeficientul de variat¸ie. Aceste valori numerice descriu mǎrimea împrǎ¸stierii
ori a variabilitǎt¸ilor datelor. Datele strâns grupate vor avea împrǎ¸stiere micǎ, iar cele
care nu sunt grupate (sunt împrǎ¸stiate) vor avea o dispersie mai mare.
Definit¸ia 7.1. Plaja P este diferent¸a dintre cea mai mare (H) ¸si cea mai micǎ (L) valoare
a valorilor xi dintr-un set de date:
P = H − L
Deviat¸ia medie absolutǎ, variant¸a ¸si deviat¸ia standard mǎsoarǎ dispersia fat¸ǎ de media
aritmeticǎ.
Definit¸ia 7.2. Deviat¸ia fat¸ǎ de media aritmeticǎ x a valorii xi a variabilei X este
di = xi − x.
Deviat¸ia este zero dacǎ ¸si numai dacǎ xi = x.
Deviat¸ia este pozitivǎ dacǎ ¸si numai dacǎ xi > x.
Deviat¸ia este negativǎ dacǎ ¸si numai dacǎ xi < x.
n�
S-ar putea crede cǎ suma deviat¸ilor (xi − x) poate servi ca mǎsurǎ a dispersiei fat¸ǎ de
media aritmeticǎ. Dar aceastǎ sumǎ este zero întotdeauna:
n�
(xi − x) =
i=1
i=1
n�
xi − n · x = n · x − n · x = 0
i=1
Reducerea deviat¸iilor poate fi eliminatǎ prin folosirea valorii absolute a deviat¸iilor: xi −x.
Definit¸ia 7.3. Deviat¸ia medie absolutǎ a setului de date statistice distincte {x1, x2, ..., xn}
este prin definit¸ie:
n�
|xi − x|
d =
i=1
Remarca 7.1. Deviat¸ia medie absolutǎ, în cazul în care datele sunt prezentate sub forma
unei serii de distribut¸ie fǎrǎ grupare de date se calculeazǎ cu formula:
d =
n
m�
|xj − x| · fj
j=1
m�
j=1
22
fj

Remarca 7.2. Deviat¸ia medie absolutǎ, în cazul în care datele sunt prezentate sub forma
unei serii de distribut¸ie cu grupare de date se calculeazǎ cu formula:
�
|x − x| · fx
d =
� fx
în care x reprezintǎ marca clasei ¸si fx frecvent¸a corespunzǎtoare, iar suma se extinde pe
ansamblul claselor.
Cu toate cǎ acest parametru al împrǎ¸stierii nu se folose¸ste frecvent, el este o mǎsurǎ a
împrǎ¸stierii ¸si aratǎ distant¸a medie la care se aflǎ o valoare a variabilei X fat¸ǎ de media
aritmeticǎ.
Mai existǎ o cale de eliminare a reducerii deviat¸iilor. Ridicând la pǎtrat deviat¸iile
individuale acestea devin pozitive (sau zero). Când aceste pǎtrate sunt adunate rezultatul
n�
este pozitiv. Suma pǎtratelor deviat¸iilor fat¸ǎ de media aritmeticǎ (xi−x) 2 este folositǎ
în definirea variant¸ei.
Definit¸ia 7.4. Variant¸a s2 a setului de date statistice distincte {x1, x2, ..., xn} este prin
definit¸ie:
n�
(xi − x) 2
i=1
s 2 =
n
Remarca 7.3. Dacǎ setul de date este prezentat sub forma unei serii de distribut¸ie fǎrǎ
grupare de date variant¸a s2 se calculeazǎ cu formula:
m�
(xj − x) 2 · fj
s 2 =
j=1
m�
j=1
Remarca 7.4. Dacǎ setul de date este prezentat sub forma unei serii de distribut¸ie cu
grupare de date variant¸a s2 se calculeazǎ cu formula:
s 2 �
2
(x − x) · fx
=
fj
� fx
în care x reprezintǎ marca clasei ¸si fx frecvent¸a corespunzǎtoare, iar suma se extinde pe
ansamblul claselor.
Definit¸ia 7.5. Deviat¸ia standard (abaterea standard) s a setului de date statistice
distincte {x1, x2, ..., xn} este prin definit¸ie:
⎡
⎢
s = ⎢
⎣
n�
(xi − x) 2
⎤
1
2
⎥
n ⎥
⎦
i=1
23
i=1

Remarca 7.5. Dacǎ setul de date este prezentat sub forma unei serii de distribut¸ie fǎrǎ
grupare de date deviat¸ia standard s se calculeazǎ cu formula:
⎡ m�
⎢ (xj − x)
⎢ j=1
s = ⎢
⎣
2 1
⎤
2
· fj ⎥
m� ⎥
⎦
j=1
Remarca 7.6. Dacǎ setul de date este prezentat sub forma unei serii de distribut¸ie cu
grupare de date deviat¸ia standard s se calculeazǎ cu formula:
fj
⎡�
⎤
1
2
(x − x) · fx 2
s = ⎣
⎦
� fx
în care x reprezintǎ marca clasei ¸si fx frecvent¸a corespunzǎtoare, iar suma se extinde pe
ansamblul claselor.
Remarca 7.7. Deviat¸ia standard a fost definitǎ cu o formulǎ. Se poate pune întrebarea
ce reprezintǎ ea în realitate? Un rǎspuns la aceastǎ întrebare poate fi dat cu inegalitatea
lui Cebî¸sev din care rezultǎ cǎ pentru orice serie de distribut¸ie fract¸iunea de date situatǎ
la cel mult k unitǎt¸i de deviat¸ie standard fat¸ǎ de medie este cel put¸in 1 − 1
k2 , unde k este
un numǎr pozitiv oarecare mai mare ca 1. Rezultǎ în particular cǎ pentru orice serie de
distribut¸ie fract¸iunea de date situatǎ la cel mult k = 2 unitǎt¸i de deviat¸ie standard fat¸ǎ de
medie este de cel put¸in 75% din totalul de date. Dacǎ k = 3 atunci este 89% din totalul
de date.
Conform regulii empirice dacǎ o serie de repartit¸ie este normalǎ atunci fract¸iunea de date
situate la cel mult o unitate de deviat¸ie standard σ fat¸a de medie este aproximativ 68%,
iar fract¸iunea de date situate la cel mult douǎ unitǎt¸i de deviat¸ie standard σ fat¸ǎ de medie
este aproximativ 95%.
Definit¸ia 7.6. Coeficientul de variat¸ie V este prin definit¸ie:
V = s
· 100
x
Remarca 7.8. Coeficientul de variat¸ie este o statisticǎ relativǎ a dispersiei ¸si se folose¸ste
la compararea dispersiei diferitelor variabile (caracteristici).
Remarca 7.9. V poate lua valori între 0 ¸si 100%. Dacǎ V este aproape de zero
(V < 35%), atunci populat¸ia studiatǎ statistic este omogenǎ ¸si media x este reprezentativǎ
pentru aceastǎ populat¸ie. Dacǎ V este aproape de 100% (V > 75%), atunci populat¸ia
studiatǎ statistic este eterogenǎ ¸si media x nu este reprezentativǎ. De cele mai multe
ori în asemenea cazuri este necesarǎ separarea populat¸iei statistice în mai multe grupe
omogene, care se studiazǎ separat.
24

8 Parametrii ¸si statistici factoriali ai variant¸ei
În analiza variant¸ei unui set de date statistice se folosesc urmǎtorii parametrii factoriali
ai variant¸ei:
- variant¸a de grupǎ (part¸ialǎ) s 2 j
- media variant¸elor de grupǎ s 2
- variant¸a mediilor de grupǎ fat¸ǎ de media generalǎ δ 2
- variant¸a totalǎ (generalǎ) s 2 .
Definit¸ia 8.1. Pentru o grupǎ de m date x1, x2, ..., xm, variant¸a de grupǎ este definitǎ
cu formula:
m�
s 2 j =
i=1
(xi − xj) 2 · nij
m�
i=1
în care j este indicele grupei, xj este media grupei, xi sunt datele din grupa j având
frecvent¸ele nij
Remarca 8.1. Variant¸ele de grupǎ sunt mai mici decât variant¸a ¸si au valori mai mari
sau mai mici în funct¸ie de eterogenitatea grupei.
Definit¸ia 8.2. Prin definit¸ie media variant¸elor de grupǎ este:
în care k este numǎrul de grupe, nj =
s 2 =
k�
j=1
nij
s 2 j · nj
k�
j=1
nj
m�
nij este numǎrul de date din grupǎ.
i=1
Definit¸ia 8.3. Variant¸a mediilor de grupǎ fat¸ǎ de media generalǎ este prin
definit¸ie:
k�
δ 2 =
j=1
(xj − x) 2 · nj
k�
j=1
25
nj

9 Parametrii ¸si statistici ale pozit¸iei
Parametrii ¸si statistici ai pozit¸iei se folosesc pentru a descrie locat¸ia unei date în raport
cu celelalte date.
Definit¸ia 9.1. Quantilele sunt valori numerice care împart setul de date în q grupe
egale. Constanta q se nume¸ste ordinul quantilei.
Mediana este quantila de ordinul doi.
Quantilele de ordinul patru împart setul de date în patru grupe egale ¸si se numesc
quartile. Quartilele sunt în numǎr de trei, notate de obicei cu Q1, Q2, Q3.
Quartila Q1 este un numǎr cu proprietatea cǎ o pǎtrime din date au valori mai mici decât
Q1 ¸si trei pǎtrimi din date au valori mai mari decât Q1.
Quartila Q2 este un numǎr cu proprietatea cǎ jumǎtate din date au valori mai mici decât
Q2 ¸si jumǎtate din date au valori mai mari decât Q2. Quartila Q2 este chiar mediana.
Quartila Q3 este un numǎr cu proprietatea cǎ trei pǎtrimi din date au valori mai mici
decât Q3 ¸si o pǎtrime din date au valori mai mari decât Q3.
Alte categorii de quantile folosite sunt:
- decilele care împart setul de date în 10 grupe egale.
- centilele care împart setul de date în 100 grupe egale.
- promilele care împart setul de date în 1000 grupe egale.
Orice set de date are 99 de centile Pk, k = 1..99. Centila Pk este o valoare numericǎ cu
proprietatea cǎ k% din date are valori mai mici decât Pk, iar (100 − k)% din date au
valori mai mari decât Pk.
Remarca 9.1. Q1 = P25; Q3 = P75; me = Q2 = P50
Remarca 9.2. Procedeul de determinare a centilei Pk este urmǎtorul:
1) datele se ordoneazǎ crescǎtor;
2) trebuie gǎsitǎ pozit¸ia i a centilei k. Prima oarǎ se determinǎ numǎrul
n este numǎrul de date. Dacǎ
n · k
întreg urmǎtor (
n · k
este
100
i = 23.5).
100
+ 0.5 (n · k
100
n · k
100
n · k
= 17.2 → i = 18). Dacǎ
100
= 23 →
n · k
, unde
100
nu este un numǎr întreg, atunci i este numǎrul
este un numǎr întreg, atunci i
3) localizarea valorii Pk: se numǎrǎ de la valoarea L (cea mai micǎ valoare a datelor) i
valori dacǎ i este întreg. Dacǎ i nu este întreg atunci este un întreg plus o jumǎtate.
n · k n · k
În acest caz valoarea Pk este semisuma datelor de pe locurile ¸si + 1
100 100
O statisticǎ adit¸ionalǎ a pozit¸iei este scorul standard sau z-scor.
26

Definit¸ia 9.2. Scorul standard sau z-scorul este pozit¸ia valorii x fat¸ǎ de mediana x
în unitǎt¸i de deviat¸ie standard:
x − x
z =
s
27

10 Seria de distribut¸ie a statisticilor
de e¸santioane
Pentru a face inferent¸ǎ (predict¸ie) asupra parametrilor populat¸iei, este necesar sǎ analizǎm
statisticile de e¸santioane. Media x în cazul unui e¸santion nu este neaparat egalǎ cu media µ
a populat¸iei. Suntem însǎ mult¸umit¸i dacǎ media x este apropiatǎ de µ. Dacǎ se considerǎ
media x′ în cazul unui al doilea e¸santion aceasta poate sǎ fie diferitǎ de x ¸si de µ. Ceea ce
putem spera este ca aceasta sǎ fie apropiatǎ de valoarea µ ¸si de x. Valabilitatea acestui
tip de comportament intereseazǎ pentru orice populat¸ie ¸si orice statisticǎ.
Întrebarea care se na¸ste în mod natural este ce înseamnǎ aproape? Cum se mǎsoarǎ ¸si se
determinǎ aceastǎ apropiere? Care este seria de distribut¸ie a statisticilor de e¸santioane?
Definit¸ia 10.1. Seria de distribut¸ie a statisticilor de e¸santioane este seria de
distribut¸ie a statisticilor de un anumit tip obt¸inute pentru e¸santioane de aceea¸si mǎrime.
Tipul de statisticǎ poate fi oricare din statisticile prezentate în sect¸iunile 6 ¸si 7.
Exemplul 10.1. Se considerǎ o populat¸ie de N elemente de la care se pot obt¸ine
urmǎtoarele date statistice distincte: {0, 2, 4, 6, 8}. În cazul acestei populat¸ii formǎm
e¸santioane de mǎrime 2 de la care putem avea urmǎtoarele date statistice:
Pentru aceste e¸santioane mediile x sunt:
(0, 0) (2, 0) (4, 0) (6, 0) (8, 0)
(0, 2) (2, 2) (4, 2) (6, 2) (8, 2)
(0, 4) (2, 4) (4, 4) (6, 4) (8, 4)
(0, 6) (2, 6) (4, 6) (6, 6) (8, 6)
(0, 8) (2, 8) (4, 8) (6, 8) (8, 8)
0 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
E¸santioanele fiind aleatoare fiecare e¸santion, are probabilitatea 1/25 sǎ fie ales ¸si seria de
distribut¸ie a mediilor acestor e¸santioane este:
x f ′ (x)
0 0.04
1 0.08
2 0.12
3 0.16
4 0.20
5 0.16
6 0.12
7 0.08
8 0.04
unde f ′ (x) este frecvent¸a relativǎ a mediei x. Diagrama coloanǎ a mediilor e¸santioanelor
este:
28

Pentru acela¸si set de 25 de e¸santioane putem determina seria de distribut¸ie a plajelor R
a acestor e¸santioane.
Plajele R ale e¸santioanelor sunt date în tabelul urmǎtor:
0 2 4 6 8
2 0 2 4 6
4 2 0 2 4
6 4 2 0 2
8 6 4 2 0
Seria de distribut¸ie a plajelor acestor e¸santioane este:
R f ′ (R)
0 0.20
2 0.32
4 0.24
6 0.16
8 0.08
iar diagrama coloanǎ a plajei e¸santioanelor este:
29

Exemplul 10.2. În cazul aruncǎrii zarului de un numǎr de N ori, setul de date statistice
care se referǎ la numǎrul de pe fat¸ǎ care apare este 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Formǎm e¸santioane care constau din 5 aruncǎri. Fiecare din aceste e¸santioane are media
x. Considerǎm 30 de e¸santioane de acest fel (înseamnǎ 30 × 5 = 150 aruncǎri) ¸si într-un
tabel reprezentǎm rezultatele precum ¸si mediile corespunzǎtoare:
Încercare E¸santion x Încercare E¸santion x
1 1 2 3 2 2 2.0 16 5 2 1 3 5 3.2
2 4 5 5 4 5 4.6 17 6 1 3 3 5 3.6
3 3 1 5 2 4 3.0 18 6 5 5 2 6 4.8
4 5 6 6 4 2 4.6 19 1 3 5 5 6 4.0
5 5 4 1 6 4 4.0 20 3 1 5 3 1 2.6
6 3 5 6 1 5 4.0 21 5 1 1 4 3 2.8
7 2 3 6 3 2 3.2 22 4 6 3 1 2 3.2
8 5 3 4 6 2 4.0 23 1 5 3 4 5 3.6
9 1 5 5 3 4 3.6 24 3 4 1 3 3 2.8
10 4 1 5 2 6 3.6 25 1 2 4 1 4 2.4
11 5 1 3 3 2 2.8 26 5 2 1 6 3 3.4
12 1 5 2 3 1 2.4 27 4 2 5 6 3 4.0
13 2 1 1 5 3 2.4 28 4 3 1 3 4 3.0
14 5 1 4 4 6 4.0 29 2 6 5 3 3 3.8
15 5 5 6 3 3 4.4 30 6 3 5 1 1 3.2
Histograma seriei de distribut¸ie a mediilor celor 30 de e¸santioane este reprezentatǎ în
figura urmǎtoare:
30

Aceastǎ lege de repartit¸ie pare sǎ aibe caracteristicile unei legi de repartit¸ie normalǎ; este
maxim ¸si este simetric fat¸ǎ de media proprie 3.5.
31

11 Teorema limitǎ centralǎ
În sect¸iunea precedentǎ am prezentat seria de distribut¸ie a mediei ¸si plajei unui set de
e¸santioane. Media este statistica folositǎ cel mai frecvent în cazul e¸santioanelor ¸si de aceea
este foarte importantǎ. Teorema limitǎ centralǎ se referǎ la seria de distribut¸ie a mediei
tuturor e¸santioanelor aleatoare de aceea¸si mǎrime n.
Sǎ formulǎm ce anume intereseazǎ în cazul acestei serii de distribut¸ie:
1) Unde este centrul datelor?
2) Cât de mare este dispersia datelor?
3) Care este caracterul seriei de distribut¸ie?
Teorema limitǎ centralǎ oferǎ rǎspuns la aceste trei întrebǎri.
Teorema 11.1. Teorema limitǎ centralǎ
Fie µ media ¸si σ deviat¸ia standard a unei variabile în cazul unei populat¸ii. Dacǎ se
considerǎ toate e¸santioanele aleatoare de mǎrime n din aceastǎ populat¸ie, atunci seria de
distribut¸ie a mediilor acestor e¸santioane are urmǎtoarele proprietǎt¸i:
a) media µx a acestei serii de distribut¸ie este egalǎ cu µ;
b) deviat¸ia standard σx a acestei serii de distribut¸ie este σ √ n .
c) dacǎ seria de distribut¸ie a variabilei în cazul populat¸iei este normalǎ, atunci seria
de distribut¸ie a mediilor e¸santioanelor este normalǎ; dacǎ seria de distribut¸iei a
variabilei în cazul populat¸iei nu este normalǎ, atunci seria de distribut¸ie a mediilor
e¸santioanelor este aproximativ normalǎ pentru e¸santioane de mǎrime mai mare ca
30. Tendint¸a cǎtre o serie de distribut¸ie normalǎ cre¸ste dacǎ mǎrimea e¸santionului
cre¸ste.
Pe scurt, teorema limitǎ centralǎ stabile¸ste urmǎtoarele:
1) µx = µ, unde x este media e¸santionului x;
2) σx = σ/ √ n, deviat¸ia standard a mediei este egalǎ cu deviat¸ia standard a populat¸iei
împǎt¸itǎ cu rǎdǎcina pǎtratǎ a mǎrimii e¸santionului.
3) seria de distribut¸iei a mediei e¸santioanelor este aproximativ normalǎ indiferent de
seria de distribut¸iei a variabilei în cazul populat¸iei.
Remarca 11.1. Deviat¸ia standard σx a seriei de distribut¸ie a mediilor e¸santioanelor
este deviat¸ia standard a mediilor e¸santioanelor fat¸ǎ de media seriei de distribut¸ie a
e¸santioanelor.
Nu vom face demonstrat¸ie teoremei limitǎ centralǎ. Vom ilustra însǎ validitatea ei
examinând un caz ilustrativ.
32

Considerǎm o populat¸ie pentru care seria de distribut¸ie de date statistice cu frecvent¸e
relative în cazul variabilei X este:
�
2
X :
1/3
4
1/3
�
6
1/3
Media µ ¸si deviat¸ia standard σ pentru aceastǎ variabilǎ sunt:
3�
µ = xj · f ′ �
�
�
xj σ = � 3 �
x 2 j · f ′ xj −
�
3�
xj · f ′ �2 xj
j=1
µ = 12
3
j=1
= 4 σ = 1, 63
În cazul acestei populat¸ii oricare e¸santion de mǎrime doi are urmǎtoarele date posibile:
E¸santioanele au urmǎtoarele medii:
(2, 2) (2, 4) (2, 6)
(4, 2) (4, 4) (4, 6)
(6, 2) (6, 4) (6, 6)
2 3 4
3 4 5
4 5 6
E¸santion Media
(2,2) 2
(2,4) 3
(2,6) 4
(4,2) 3
(4,4) 4
(4,6) 5
(6,2) 4
(6,4) 5
(6,6) 6
E¸santioanele fiind aleatoare fiecare e¸santion are probabilitatea 1
sǎ fie ales ¸si seria de
9
distribut¸ie a mediilor e¸santioanelor este:
� �
2 3 4 5 6
X
1/9 2/9 3/9 2/9 1/9
Media seriei de distribut¸ie a mediilor e¸santioanelor µx este µx = 36/9 = 4, 0. Prin urmare
µ = µx, iar deviat¸ia standard a repartit¸iilor mediilor e¸santioanelor este:
�
�
�
σx = � 5 �
x 2 j · f ′ xj −
�
5�
xj · f ′ � � 2
156
xj =
9 −
� �2 36
= 1, 15
9
σ
√ n =
j=1
1, 63
√ 2 =
1, 63
1, 44
j=1
= 1, 15 = σx
Reprezentând seria de distribut¸ie a mediilor e¸santioanelor obt¸inem:
33
j=1

Aceastǎ diagramǎ aratǎ cǎ seria de distribut¸ie a mediilor e¸santioanelor este normalǎ.
34

12 O aplicat¸ie a teoremei limitǎ centralǎ
Teorema limitǎ centralǎ oferǎ informat¸ii asupra seriei de distribut¸ie a mediilor e¸santioanelor
descriind forma repartit¸iei mediilor tuturor e¸santioanelor (aproape normalǎ).
Ea stabile¸ste relat¸ia dintre media µ a populat¸iei ¸si media µx a seriei de distribut¸ie a
mediilor tuturor e¸santioanelor ¸si relat¸ia dintre deviat¸ia standard σ a populat¸iei ¸si deviat¸ia
standard σx a seriei de distribut¸ie a mediilor e¸santioanelor. Deoarece seria de distribut¸ie
a mediilor e¸santioanelor este aproape normalǎ putem stabili legǎturi probabiliste dintre
media populat¸iei ¸si media unui e¸santion.
Exemplul 12.1. Considerǎm o populat¸ie normalǎ cu µ = 100 ¸si σ = 20. Dacǎ se alege
un e¸santion aleator de mǎrime n = 16 care este probabilitatea ca valoarea medie a acestui
e¸santion sǎ fie între 90 ¸si 110? Altfel spus, cât este P (90 < x < 110)?
Solut¸ie: Conform teoremei limitǎ centralǎ repartit¸ia valorilor medii ale e¸santioanelor
este normalǎ. Prin urmare va trebui sǎ transformǎm condit¸ia P (90 < x < 110) într-o
condit¸ie care sǎ permitǎ folosirea tabelului de distribut¸ie normalǎ standard. Aceasta se
face scriind:
� � � �
110 − µx 90 − µx
P (90 < x < 110) = Φ
− Φ
=
unde Φ(X) = 1
√ 2π
� � � � � � � �
110 − 100 −10
10
10
= Φ
− Φ = 2 · Φ − 1 = F
�X
−∞
σx
σx
σx
e −
1
2 t2
dt ¸si F (X) = Φ(X) − 1
2 .
Deoarece σx = σ √ n , avem σx = 20
√ 16 = 5 ¸si astfel obt¸inem:
P (90 < x < 110) = 2 · Φ(2) − 1 = 2F (2) = 0.9544
Efectul cre¸sterii dimensiunii n a e¸santionului nu afecteazǎ µx = µ ¸si mic¸soreazǎ σx. Prin
urmare P (90 < x < 110) cre¸ste, dacǎ n cre¸ste.
Exemplul 12.2. Înǎlt¸imea copiilor la o grǎdinit¸ǎ are o distribut¸ie normalǎ având o medie
µ = 100 cm cu o deviat¸ie standard de 12, 5 cm. Pentru un e¸santion aleator de 25 de copii
se determinǎ media x. Care este probabilitatea ca aceastǎ medie sǎ fie între 90 cm ¸si 110
cm?
Solut¸ie:
� �
10
P (90 < x < 110) = 2 · Φ − 1 = 2 · Φ(4) − 1 = 2 · F (4) = 2 · 0.499968
σx
35
σx
σx
σx

13 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul
de încredere
Considerǎm o populat¸ie a cǎrei medie µ nu o cunoa¸stem ¸si ne punem problema s-o gǎsim.
Pentru acest scop considerǎm un e¸santion aleator de dimensiune n pentru care determinǎm
media x. Media x a e¸santionului este o estimare punctualǎ a mediei µ a populat¸iei.
Definit¸ia 13.1. O estimare punctualǎ a parametrului γ a unei populat¸ii este o
valoare g a unei statistici corespunzǎtoare.
Remarca 13.1. Dacǎ x este media e¸santioanului cu care estimǎm media necunoscutǎ µ
a populat¸iei, aceasta nu înseamnǎ cǎ x = µ. În general, x �= µ ¸si la ceea ce ne putem
a¸stepta este ca x sǎ fie aproape de µ. Aceastǎ apropiere poate fi fixatǎ prin specificarea
unui interval (centrat în µ) numit interval de estimare.
Definit¸ia 13.2. Un interval mǎrginit (a, b) folosit pentru a estima valoarea unui anumit
parametru γ a populat¸iei se nume¸ste interval de estimare. Valorile a, b (capetele
intervalului) sunt calculate din e¸santion care este folosit pentru estimare.
Cum anume se poate specifica un interval centrat în µ care este necunoscut folosind doar
date furnizate de un e¸santion va fi lǎmurit în continuare.
Exemplul 13.1. Considerǎm o populat¸ie având o deviat¸ie standard σ cunoscutǎ, o medie
µ necunoscutǎ ¸si un e¸santion aleator simplu de mǎrime n ¸si medie x cunoscute. Condit¸ia
x ∈ (µ − 1, µ + 1) înseamnǎ cǎ scorul standard z (pentru mediile e¸santioanelor) dat de:
sǎ verifice:
z =
x − µx
σx
= x − µ
σ
√ n
z ∈ (− 1 √n σ , 1 √
n
√n σ ) = (−
σ ,
√
n
σ )
Astfel
√
în termenii
√
scorului standard intervalul de estimare este intervalul (a, b) cu a =
n n
− ¸si b =
σ σ .
Mai general condit¸ia x ∈ (µ − δ, µ + δ), înseamnǎ cǎ scorul standard z (pentru mediile
e¸santioanelor) dat de:
x − µx
z = = x − µ
sǎ verifice:
Intervalul de estimare este (− δ · √ n
σ
σx
z ∈ (− δ · √ n
σ
, δ · √ n
).
σ
σ
√ n
, δ · √ n
)
σ
Definit¸ia 13.3. Nivelul de neîncredere α este probabilitatea ca statistica e¸santionului
sǎ aibe valoarea în afara intervalului de estimare.
36

Conform teoremei de limitǎ centralǎ, repartit¸ia lui x este normalǎ sau aproape normalǎ
¸si avem:
� √ √ �
n n
P (µ − 1 < x < µ + 1) = P − < z < =
σ σ
� √ � �√ �
n
n
2 · P 0 < z < = 2 · F
σ
σ
unde F (z) = 1
�z
√
2 · π
e −
1
2 t2
dt.
0
�√ �
n
Deci nivelul de neîncredere α este 1 − 2 · F .
σ
Definit¸ia 13.4. Nivelul de încredere (coeficient de încredere) 1−α este probabilitatea
ca statistica e¸santionului sǎ se afle în intervalul de estimare ales.
Definit¸ia 13.5. Intervalul de încredere este un interval de estimare cu un nivel de
încredere 1 − α specificat.
� √
n
Exemplul 13.2. În cazul exemplului 13.1, intervalul de estimare −
σ ,
√ �
n
este un
�√ �
σ
n
interval de încredere cu coeficientul de încredere 1 − α = 2 · F .
σ
Definit¸ia 13.6. Eroarea maximǎ de estimare este jumǎtatea lungimii intervalului de
încredere cu nivelul de încredere 1 − α.
În termen de scor standard aceastǎ eroare se exprimǎ cu formula:
�
α
�
E = z ·
2
σ √
n
�
α
�
1 − α
unde z este solut¸ia ecuat¸iei F (z) = , iar intervalul de încredere 1 − α pentru µ
2
2
este: � �
α
�
x − z ·
2
σ �
α
�
√ , x + z ·
n 2
σ �
√
n
�
α
�
x−z ·
2
σ �
α
�
√ este limita inferioarǎ de încredere, iar x+z ·
n 2
σ √ este limita superioarǎ
n
de încredere.
37

14 Generalitǎt¸i privind ipotezele statistice ¸si problema
verificǎrii ipotezelor statistice
Pentru a ilustra analiza care precede luarea unei decizii în privint¸a credibilitǎt¸ii unei
asert¸iuni (numitǎ verificarea ipotezelor statistice) sǎ considerǎm urmǎtorul exemplu:
Candidatul la admitere Popescu Nicolae trebuie sǎ completeze un formular test cu zece
întrebǎri. Fiecare întrebare are cinci rǎspunsuri dintre care doar unul este corect. Popescu
Nicolae a completat formularul ¸si din cele zece întrebǎri el a rǎspuns corect la ¸sapte. El
sust¸ine cǎ a completat formularul fǎrǎ sǎ citeascǎ întrebǎrile ¸si rǎspunsurile la ele ¸si a
marcat rǎspunsurile aleator.
Întrebarea este în ce mǎsurǎ putem da crezare spuselor cǎ el a marcat rǎspunsurile aleator?
O asemenea întrebare ne determinǎ sǎ analizǎm ¸si sǎ hotǎrâm: este sau nu este rezonabil
ca Popescu Nicolae sǎ obt¸inǎ ¸sapte rǎspunsuri corecte alegând aleator rǎspunsurile la
întrebǎri? Descriem în cele ce urmeazǎ o analizǎ, care se nume¸ste verificarea ipotezelor
statistice ¸si care conduce la formularea unei concluzii.
Verificarea ipotezelor statistice, în general, este un procedeu care are 5 etape. Fiecare din
aceste etape va fi prezentatǎ ¸si ilustratǎ în cazul exemplului considerat.
Etapa 1. Formularea ipotezei nule H0
Prin ipotezǎ înt¸elegem o afirmat¸ie care sust¸ine cǎ ceva este adevǎrat. În
general, ipoteza nulǎ este o afirmat¸ie relativǎ la un parametru al unei
populat¸ii ¸si afirmǎ cǎ parametrul are o valoare datǎ. Adesea expresia
”nu diferǎ” este folositǎ în formularea ei, de aici vine numele de ipotezǎ
nulǎ. (diferent¸a este nulǎ)
Etapa 2. Formularea ipotezei alternative Ha
Ipoteza alternativǎ Ha este o afirmat¸ie relativǎ la acela¸si parametru al
populat¸iei care apare în ipoteza nulǎ H0. În ipoteza Ha se afirmǎ cǎ
parametrul are o valoare diferitǎ de cea sust¸inutǎ în H0.
Ipoteza H0 ¸si ipoteza Ha se formuleazǎ dupǎ o analizǎ a asert¸iunii care trebuie investigatǎ.
În cazul exemplului considerat, asert¸iunea care trebuie analizatǎ este: Popescu a completat
formularul aleator.
Populat¸ia este o mult¸ime de 510 elemente (distincte). Un element este un sistem ordonat
de 10 rǎspunsuri (R ′ i1 , R′ i2 , . . . , R′ i10 ), i1, i1, . . . , i10 ∈ {1, 2, 3, 4, 5}; R ′ i1 este unul din cele
cinci rǎspunsuri posibile la prima întrebare, . . . , R ′ i10 este unul din cele cinci rǎspunsuri
posibile la cea de-a zecea întrebare.
Pentru o persoanǎ care marcheazǎ rǎspunsurile aleator (fǎrǎ sǎ le citeascǎ), toate
rǎspunsurile sunt egal posibile. Altfel spus fiecare din cele cinci rǎspunsuri la o întrebare
are aceea¸si ¸sansǎ ca sǎ fie corect. Din afirmat¸ia lui Popescu Nicolae rezultǎ cǎ el a marcat
rǎspunsurile aleator, deci a admis cǎ probabilitatea (parametrul p) este 1
pentru fiecare
510 element al populat¸iei.
Analiza afirmat¸iei lui Popescu Nicolae conduce la urmǎtoarea formulare a ipotezei nule:
H0 : p(X) = 1
= p pentru orice Popescu Nicolae a completat
510 element X al populat¸iei ⇔ formularul aleator.
38

Ipoteza alternativǎ este:
Ha : existǎ douǎ elemente X1, X2 în populat¸ie Popescu Nicolae nu a completat
pentru care p(X1) �= p(X2) ⇔ formularul aleator
De la acest punct începând se admite cǎ ipoteza nulǎ este adevǎratǎ. Situat¸ia poate fi
comparatǎ cu un proces la judecǎtorie, în care acuzatul este presupus nevinovat pânǎ
când se dovede¸ste contrariul.
Doar în etapa a 5-a a verificǎrii ipotezelor, vom lua una din cele douǎ decizii posibile:
vom decide în concordant¸ǎ cu ipoteza nulǎ H0 ¸si spunem cǎ acceptǎm H0 sau decidem în
concordant¸ǎ cu Ha ¸si spunem cǎ respingem ipoteza H0.
În funct¸ie de valoarea de adevǎr a ipotezei H0 ¸si de respingerea sau nerespingerea ei
deciziile care se iau sunt prezentate în tabelul urmǎtor:
Decizia Ipoteza H0 este
Adevǎratǎ Falsǎ
Nu respingem H0 decizie eroare
(acceptǎm) corectǎ
Tip A Tip II
Respingem H0 eroare decizie
corectǎ
Tip I Tip B
O decizie corectǎ de tip A: apare când H0 este adevǎratǎ ¸si nu respingem H0
O decizie corectǎ de tip B: apare când H0 este falsǎ ¸si respingem H0
O eroare de tip I: apare când H0 este adevǎratǎ ¸si H0 este respinsǎ
O eroare tip II: apare când H0 este falsǎ ¸si H0 nu este respinsǎ
Ar fi foarte frumos ca de fiecare datǎ când luǎm decizii sǎ luǎm decizii corecte, dar aceasta
este statistic imposibil pentru cǎ ne bazǎm pe informat¸ii furnizate de e¸santioane. Cel mai
bun lucru la ce putem spera este sǎ controlǎm riscul sau probabilitatea de a comite o
eroare.
Probabilitatea asignatǎ limitǎrii comiterii unei erori de tip I se noteazǎ cu α ¸si cea asignatǎ
comiterii unei erori de tip II cu β:
Eroarea Tipul de eroare Probabilitate
Respingerea unei ipoteze adevǎrate I α
Acceptarea unei ipoteze false II β
Etapa 3 Metodologia de verificare a ipotezelor: aceasta constǎ din (1)
identificarea unui test statistic; (2) specificarea valorii lui α; (3) determinarea
regiunii critice.
(1) Un test statistic este o variabilǎ aleatoare folositǎ pentru a respinge
sau nu ipoteza H0. Testul statistic este o statisticǎ de e¸santioane sau
alte valori rezultate dintr-un e¸santion. Probabilitǎt¸ile care apar în acest
test statistic sunt determinate presupunând cǎ H0 este adevǎratǎ.
39

În cazul exemplului considerat, variabila aleatoare ”X= numǎrul de rǎspunsuri corecte”
este folosit ca test statistic. Probabilitǎt¸ile pentru fiecare valoare x ale variabilei X în
ipoteza cǎ H0 este adevǎratǎ sunt date în tabelul urmǎtor:
X 0 1 2 3 4 5
P(X) 0.1074 0.2684 0.302 0.20133 0.0881 0.0264
X 6 7 8 9 10
P(X) 0.0055 7.92·10 −4 7.38·10 −5 4.098·10 −6 1.02·10 −7
Aceastǎ repartit¸ie aratǎ cǎ probabilitatea sǎ ghice¸sti rǎspunsul corect la 5 sau mai multe
întrebǎri este 0.0327, iar la 4 sau mai put¸in decât 4 întrebǎri este 0.9673. Putem spune
cǎ aparit¸ia valorilor 5, 6, 7, 8, 9, 10 nu sust¸ine ipoteza H0. Dacǎ cineva spune cǎ a ghicit
rǎspunsul corect la 0, 1, 2, 3, 4 întrebǎri, spunem cǎ este foarte probabil. Dacǎ cineva spune
cǎ a ghicit rǎspunsul corect la 5, 6, 7, 8, 9, 10 întrebǎri spunem cǎ este put¸in probabil.
Nivelul de semnificat¸ie este probabilitatea α de a face o eroare de tip I, adicǎ de a
respinge H0 adevǎrat. În mod curent α se dǎ la început ¸si acesta determinǎ regiunea
criticǎ.
În cazul exemplului, dacǎ α = 0.033, atunci din P (x ≥ 5) = 0.0327 rezultǎ
regiunea criticǎ x = 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Regiunea criticǎ: este mult¸imea de valori (W ) pentru care P (X ∈ W ) ≤ α ¸si care ne
determinǎ sǎ respingem ipoteza H0. (nu sust¸in ipoteza H0)
Valoarea criticǎ: este prima valoare din regiunea criticǎ.
Dacǎ pentru un e¸santion valoarea testului statistic X depǎ¸se¸ste valoarea criticǎ ipoteza
H0 este respinsǎ.
Dupǎ ce Etapa 3 a fost epuizatǎ, putem trece la Etapa 4.
Etapa 4. Determinarea valorii testului statistic
Dupǎ ce am parcurs etapele 1,2,3 observǎm sau calculǎm valoarea x a
testului statistic.
În cazul exemplului x = 7 (numǎrul de rǎspunsuri corecte) este valoarea testului statistic
¸si este dat. Uzual valoarea testului statistic se calculeazǎ pe baza informat¸iilor
oferite de e¸santion.
Etapa 5. Luarea unei decizii ¸si interpretarea ei
Decizia se ia comparând valoarea testului statistic determinatǎ la Etapa
4 cu regiunea criticǎ gǎsitǎ la Etapa 3.
Regula de decizie: Dacǎ valoarea testului statistic este în regiunea
criticǎ respingem ipoteza H0, dacǎ nu, atunci acceptǎm ipoteza H0.
Ansamblul de valori ale testului statistic care nu sunt în regiunea criticǎ
formeazǎ regiunea de acceptabilitate. Testul este terminat prin luarea
¸si justificarea deciziei luate.
În cazul exemplului: x = 7 este în regiunea criticǎ ¸si respingem ipoteza H0.
Remarca 14.1. Cu aceasta nu am demonstrat cǎ Popescu Nicolae nu a ghicit cele 7
rǎspunsuri. Am arǎtat doar cǎ dacǎ el le-a ghicit este foarte norocos pentru cǎ acesta
este un eveniment rar ¸si are probabilitatea cel mult 0.033.
40

15 Verificarea ipotezelor statistice:
variantǎ clasicǎ
În sect¸iunea precedentǎ am prezentat generalitǎt¸i privind verificarea ipotezelor statistice.
În aceastǎ sect¸iune trecem la prezentarea verificǎrii ipotezelor statistice în cazul
asert¸iunilor referitoare la media µ a unei populat¸ii. Pentru a simplifica aceastǎ prezentare
la început presupunem cǎ deviat¸ia standard σ a populat¸iei este cunoscutǎ.
Urmǎtoarele trei exemple se referǎ la diferite formulǎri ale ipotezei H0 ¸si a ipotezei Ha.
Exemplul 15.1. Un ecologist sust¸ine cǎ ora¸sul Timi¸soara are o problemǎ privind poluarea
aerului. Concret, el sust¸ine ca nivelul mediu al monoxidului de carbon în aer în centrul
ora¸sului depǎ¸se¸ste valoarea 4, 9/10 6 = valoarea medie normalǎ.
Pentru a formula în acest caz, ipotezele H0 ¸si Ha, trebuie sǎ identificǎm: populat¸ia,
parametrul populat¸iei în cauzǎ ¸si valoarea cu care aceasta urmeazǎ sǎ fie comparatǎ.
Populat¸ia în acest caz poate fi mult¸imea locurilor din centrul ora¸sului Timi¸soara. Variabila
X este concentrat¸ia monoxidului de carbon ale cǎrei valori x variazǎ în funct¸ie de loc,
iar parametrul populat¸iei este valoarea medie µ a acestei variabile. Valoarea specificǎ cu
care aceastǎ medie trebuie comparatǎ este 4, 9/10 6 egalǎ cu valoarea (medie) normalǎ.
Ecologistul face o asert¸iune privind valorea lui µ. Aceastǎ valoare poate fi: µ < 4, 9/10 6
sau µ = 4, 9/10 6 sau µ > 4, 9/10 6 . Cele trei situat¸ii pot fi cuprinse în douǎ afirmat¸ii dintre
care una exprimǎ ceea ce ecologistul sust¸ine, iar cealaltǎ exprimǎ contrariul.
Inegalitatea µ > 4, 9/10 6 este afirmat¸ia: ”valoarea medie este mai mare ca 4, 9/10 6 ”.
Inegalitatea µ ≤ 4, 9/10 6 este echivalentǎ cu ”µ < 4, 9/10 6 sau µ = 4, 9/10 6 ” ¸si este
afirmat¸ia contrarǎ: ”valoarea medie nu este mai mare ca 4, 9/10 6 ”.
Ecologistul sust¸ine cǎ µ > 4, 9/10 6 . Pentru a formula ipoteza H0 ¸si ipoteza Ha reamintim
cǎ:
1) În general, ipoteza H0 sust¸ine cǎ media µ (parametrul în chestiune) are o valoare
specificǎ anume.
2) Inferent¸a privind media µ a populat¸iei se bazeazǎ pe media unui e¸santion ¸si mediile
e¸santioanelor au o distribut¸ie aproximativ normalǎ. (conform teoremei limitǎ
centralǎ).
3) O distribut¸ie normalǎ este complet determinatǎ dacǎ valoarea medie ¸si deviat¸ia
standard a distribut¸iei sunt cunoscute.
Cele de mai sus sugereazǎ cǎ afirmat¸ia µ = 4, 9/10 6 ar trebui sǎ fie ipoteza nulǎ ¸si afirmat¸ia
µ > 4, 9/10 6 ar trebui sǎ fie ipoteza alternativǎ:
H0 : µ = 4, 9/10 6
Ha : µ > 4, 9/10 6
Reamintim cǎ dupǎ ce ipoteza nulǎ H0 este formulatǎ, în testul statistic identificat se
presupune cǎ H0 este adevǎratǎ. Aceasta înseamnǎ cǎ µ = 4, 9/10 6 este egalǎ cu media
41

distribut¸iei mediilor e¸santioanelor µx ¸si este o rat¸iune în plus pentru care ipoteza H0
trebuie scrisǎ doar cu semnul egal
H0 : µ = 4, 9/10 6 .
Dacǎ admitem cǎ afirmat¸ia ”µ = 4, 9/10 6 sau µ < 4, 9/10 6 ” este ipoteza nulǎ H0, atunci:
H0 : µ ≤ 4, 9/10 6
Ha : µ > 4, 9/10 6 .
Remarca 15.1. Semnul egal trebuie sǎ fie inclus totdeauna în ipoteza nulǎ. În acest
exemplu asert¸iunea ecologistului este exprimatǎ de fapt în Ha ¸si aceasta este analizat.
Exemplul 15.2. Vom considera acum o a doua asert¸iune; de exemplu al Camerei de
Comert¸, care sust¸ine cǎ nivelul mediu al monoxidului de carbon în centrul ora¸sului
Timi¸soara este mai mic decât 4, 9/10 6 (valoare normalǎ). Aceasta este o reclamǎ bunǎ
pentru turism.
S¸i în acest caz parametrul este media µ a repartit¸iei monoxidului de carbon. Valoarea
specificǎ este 4, 9/10 6 care este valoare normalǎ.
”µ < 4, 9/10 6 ” ⇔ ”valoarea medie este mai micǎ decât valoarea medie normalǎ”
”µ ≥ 4, 9/10 6 ” ⇔ ”valoarea medie este mai mare sau egalǎ decât valoarea
medie normalǎ”
H0, Ha pot fi formulate astfel:
H0 : µ ≥ 4, 9/10 6
Ha : µ < 4, 9/10 6
S¸i de data aceasta asert¸iunea Camerei de Comert¸ este exprimatǎ în Ha ¸si aceasta trebuie
analizatǎ.
Exemplul 15.3. O a treia asert¸iune (mai neutrǎ) sust¸ine doar cǎ nivelul mediu µ al
monoxidului de carbon în aerul din centrul ora¸sului Timi¸soara este diferit de 4, 9/10 6
(valoarea normalǎ diferitǎ de µ).
În acest caz:
H0 : µ = 4.9/10 6 ¸si Ha : µ �= 4, 9/10 6
Cele trei exemple aratǎ cǎ asert¸iunea care trebuie analizatǎ determinǎ într-un anumit sens
formularea ipotezelor H0, Ha. Mai exact: în aceste cazuri asert¸iunea sust¸ine cǎ valoarea
parametrului µ este diferitǎ de cea normalǎ, iar ipoteza nulǎ sust¸ine cǎ este aceea¸si (nu
diferǎ).
În cazul acestor exemple, cei care î¸si formuleazǎ asert¸iunea se a¸steaptǎ la respingerea
ipotezei nule H0 ¸si la acceptarea ipotezei alternative Ha care este o afirmat¸ie conformǎ cu
asert¸iunea lor.
Situat¸iile de la procesele juridice prezintǎ o oarecare asemǎnare cu cele relatate. Dacǎ
procurorul nu crede în vinovǎt¸ia inculpatului nu intenteazǎ proces (ipoteza H0 prezumt¸ia
de nevinovǎt¸ie este presupusǎ adevǎratǎ). Procesul se declan¸seazǎ doar dacǎ procurorul
are suficiente probe pentru a face proces.
42

S¸i în statisticǎ dacǎ ”experimantatorul” crede în ipoteza H0 nu face test pentru investigarea
lui H0. El testeazǎ ipoteza nulǎ doar dacǎ dore¸ste sǎ arate cǎ Ha este corectǎ.
Exemplul care urmeazǎ ilustreazǎ toate cele cinci etape de verificare a ipotezelor statistice
în cazul unei asert¸iuni care se referǎ la media unei populat¸ii.
Exemplul 15.4. Un profesor a înregistrat pe mai mult¸i ani rezultatul elevilor ¸si media
µ a acestor rezultate este 72 ¸si abaterea standard este σ = 12. Clasa de 36 de elevi pe
care-i învat¸ǎ la momentul actual are o medie x = 75, 2 (mai ridicatǎ decât media µ = 72)
¸si profesorul afirmǎ cǎ aceastǎ clasǎ este superioarǎ celor de pânǎ acum.
Întrebarea este
dacǎ media clasei x = 75, 2 este un argument suficient pentru a sust¸ine afirmat¸ia profesorului
la nivelul de semnificat¸ie α = 0, 05.
Ment¸ionǎm cǎ pentru ca aceastǎ clasǎ sǎ fie superioarǎ trebuie sǎ aibe o medie mai mare
decât toate clasele dinainte. Dacǎ media ei este egalǎ sau mai micǎ decât media unei
clase anterioare, atunci ea nu este superioarǎ.
Dacǎ se considerǎ e¸santioane aleatoare de mǎrime n = 36 dintr-o populat¸ie cu media
µ = 72, multe e¸santioane vor avea media x aproape de 72, de exemplu 71; 71, 8; 72; 72, 5; 73.
Doar medii x care sunt considerabil mai mari decât 72 vor sust¸ine afirmat¸ia profesorului.
De aceea:
Etapa 1. H0 : µx = µ = 72 ⇔ clasa nu este superioarǎ
Etapa 2. Ha : µx = µ > 72 ⇔ clasa este superioarǎ
Etapa 3. - Atunci când în ipoteza nulǎ H0 media populat¸iei ¸si deviat¸ia
standard sunt cunoscute scorul standard z este folosit ca ¸si test
statistic.
- Nivelul de semnificat¸ie α = 0, 05 este dat;
- Reamintim cǎ în baza teoremei limitǎ centralǎ distribut¸ia
mediilor e¸santioanelor este aproape normalǎ. Prin urmare,
distribut¸ia normalǎ va fi folositǎ pentru determinarea regiunii
critice. Regiunea criticǎ este egalǎ cu mult¸imea valorilor
scorului standard z care determinǎ respingerea ipotezei
H0 ¸si este situatǎ la extremitatea dreaptǎ a distribut¸iei normale.
Regiunea criticǎ este la dreapta deoarece valori mari
ale mediei e¸santionului sust¸in ipoteza H0 în timp ce valori
apropiate ori sub 72 sust¸in ipoteza nulǎ.
Figura 1:
43

Valoarea criticǎ ce desparte zona valorilor ”nu este superior” de zona valorilor ”este superior”
este determinatǎ de probabilitatea α de a comite o eroare de tip I. α = 0, 05 a
fost datǎ. Astfel regiunea criticǎ ha¸suratǎ pe Figura 2. are aria 0, 05 ¸si valoarea criticǎ
�∞
1
1, 65 este solut¸ia ecuat¸iei: √ e
2 · π
−
t2 2 dt = 0, 05.
z
Figura 2:
Etapa 4. Valoarea testului statistic este dat de:
z ∗ =
x − µ
σ
√ n
= 75, 2 − 72
12/6
= 1, 6
Etapa 5. Comparǎm valoarea gǎsitǎ 1, 6 cu valoarea criticǎ 1, 65 ¸si gǎsim 1, 6 <
1, 65. Decizia este cǎ nu putem respinge ipoteza H0. Testul se încheie
cu formularea concluziei.
Concluzie: Probele nu sunt suficiente pentru a sust¸ine cǎ actuala clasǎ
este superioarǎ claselor anterioare.
Pare aceastǎ concluzie realistǎ în condit¸iile în care în mod evident, 75, 2 este mai mare
ca 72. Nu trebuie sǎ uitǎm x = 75, 2 este media unui e¸santion de 36 de indivizi extras
dintr-o populat¸ie cu media µ = 72 ¸si deviat¸ia standard σ = 12 ¸si analiza aratǎ cǎ probabilitatea
ca media e¸santionului sǎ fie mai mare decât mediile tuturor e¸santioanelor este
mai mare decât riscul α cu care noi acceptǎm o eroare de tip I.
Exemplul 15.5. La un colegiu s-a stabilit cǎ greutatea medie a studentelor este µ = 54, 4
kg, iar abaterea standard σ = 5, 4 kg. Profesorul de sport nu crede aceastǎ afirmat¸ie.
Pentru a face un test select¸ioneazǎ un e¸santion aleator de 100 de studente ¸si gǎse¸ste cǎ
media x = 53, 75 kg. Este aceasta suficient pentru a respinge afirmat¸ia la nivelul de
semnificat¸ie α = 0, 05?
Etapa 1. H0 : µ = 54, 4 kg
Etapa 2. Ha : µ �= 54, 4 kg
44

Etapa 3. - deoarece folosim o distribut¸ie de medii de e¸santioane testul statistic
va fi scorul standard.
- nivelul α = 0, 05 este dat;
- media e¸santionului este o estimare a mediei populat¸iei. Ipoteza
alternativǎ ”nu este egal” este sust¸inutǎ de medii de e¸santioane
considerabil mai mari sau considerabil mai mici ca 54, 4. ipoteza nulǎ
este sust¸inutǎ de medii de e¸santioane în jurul valorii 54, 4. Regiunea
criticǎ este formatǎ din douǎ pǎrt¸i egale situate la cele douǎ extremitǎt¸i
ale distribut¸iei normale. Aria corespunzǎtoare fiecǎrei port¸iuni este
α
¸si probabilitatea fiecǎrei pǎrt¸i a regiunii critice este 0, 025. Rezultǎ
2
z
⎛
�
�
⎜ α
�
�∞
1
= 1, 96 ⎝z este solut¸ia ecuat¸iei: √
2
2 · π
� α
2
Figura 3:
Etapa 4. Se determinǎ valoarea testului statistic:
z ∗ =
x − µ
σ
√ n
= −1, 204
a cǎrei locat¸ie este datǎ pe figura urmǎtoare:
45
z
e −
t2 ⎞
2 dt = α⎟
⎠.
2

Figura 4:
Reamintim: Dacǎ valoarea testului statistic este în regiunea criticǎ respingem ipoteza
H0 dacǎ nu, nu putem respinge ipoteza H0.
Etapa 5. Valoarea testului statistic nu este în regiunea criticǎ.
Decizia: Nu respingem ipoteza H0.
Justificarea deciziei: Valoarea testului nu este în dezacord cu H0 la
nivel de risc α = 0, 05. Aceasta nu înseamnǎ cǎ H0 este adevǎratǎ.
Concluzie: Media x gǎsitǎ de profesor nu contravine ipotezei cǎ media µ este 54,4
kg, când dispersia σ este 5, 4 kg.
O decizie de respingere a lui H0 înseamnǎ cǎ valoarea testului implicǎ cǎ H0 este falsǎ ¸si
indicǎ Ha.
Rezumat privind verificarea ipotezelor statistice asupra mediei în variantǎ
clasicǎ:
1. Ipoteza H0 specificǎ o valoare particularǎ a mediei populat¸iei.
2. Ipoteza Ha are trei forme. Fiecare dintre acestea determinǎ o locat¸ie specificǎ a
regiunii critice a¸sa cum apare în tabelul de mai jos:
Semne în ipoteza < �= >
alternativǎ
Regiunea criticǎ O regiune Douǎ regiuni O regiune
la stânga de fiecare la dreapta
parte câte una
test unilateral test bilateral test unilateral
stânga dreapta
3. Pentru multe cazuri semnul din ipoteza Ha indicǎ direct¸ia în care regiunea criticǎ
se gǎse¸ste
Valoarea lui α se nume¸ste nivel de semnificat¸ie ¸si reprezintǎ riscul (probabilitatea)
respingerii lui H0 atunci când aceasta estea adevǎratǎ. Nu putem determina
46

dacǎ ipoteza H0 este adevǎratǎ sau falsǎ. Putem doar decide cǎ o respingem
sau cǎ o acceptǎm.
Probabilitatea cu care respingem ipoteza adevǎratǎ este α, dar nu ¸stim probabilitatea cu
care facem o decizie eronatǎ. O eroare de tip I ¸si o eroare în decizie sunt lucruri diferite.
47

16 Verificarea ipotezelor statistice:
varianta probabilistǎ
În sect¸iunea precedentǎ am descris varianta clasicǎ de verificare a ipotezelor statistice
în cazul asert¸iunilor referitoare la media µ a unei populat¸ii. O variantǎ probabilistǎ
constǎ în determinarea unei probabilitǎt¸i numitǎ p-valoarea (prob-valoare) referitoare
la o statisticǎ observatǎ, care este comparatǎ cu nivelul de semnificat¸ie α dat.
Definit¸ia 16.1. P-valoarea unui test statistic este cea mai micǎ valoare a nivelului
de semnificat¸ie α pentru care informat¸ia extrasǎ din e¸santion este semnificativǎ (H0
adevǎratǎ se respinge).
Considerǎm din nou exemplul 15.4 din sect¸iunea precedentǎ ¸si-l analizǎm din acest punct
de vedere.
Exemplul 16.1. Un profesor a înregistrat pe mai mult¸i ani rezultatul elevilor ¸si media
µ a acestor rezultate este 72 ¸si dispersia σ = 12. Clasa de 36 de elevi pe care-i învat¸ǎ
la momentul actual are o medie x = 75, 2 . Aceastǎ medie fiind mai ridicatǎ decât 72
profesorul vrea sǎ arate cǎ aceastǎ clasǎ este superioarǎ celor de pânǎ acum. Întrebarea
este dacǎ media clasei x = 75, 2 este un argument suficient pentru a sust¸ine afirmat¸ia
profesorului la nivelul de semnificat¸ie α = 0, 05?
Precizǎm cǎ pentru a putea sust¸ine cǎ actuala clasǎ este mai bunǎ decât toate celelalte
clase anterioare trebuie ca media clasei actuale sǎ fie mai mare decât media oricǎrei clase
dinainte. Dacǎ media clasei actuale este mai micǎ sau egalǎ cu media unei clase anterioare,
atunci clasa actualǎ nu este mai bunǎ decât toate celelalte.
Etapa 1. Formularea ipotezei H0: H0 : µx = µ = 72.
Aceastǎ ipotezǎ corespunde asert¸iunii cǎ actuala clasǎ nu este superioarǎ
celorlalte clase.
Etapa 2. Formularea ipotezei alternative Ha: Ha : µx = µ > 72.
Aceastǎ ipotezǎ corespunde asert¸iunii cǎ actuala clasǎ este superioarǎ
celorlalte clase.
Remarcǎm faptul cǎ etapele 1 ¸si 2 sunt acelea¸si în variantǎ probabilistǎ ca ¸si în variantǎ
clasicǎ de verificare a ipotezelor statistice.
Etapa 3. Specificarea nivelului de semnificat¸ie α, a probabilitǎt¸ii erorii de tip I:
α = 0, 005.
Etapa 4. Folosind formula scorului standard (z-scorului) ¸si media x = 75, 2 a
e¸santionului de mǎrime n = 36 se determinǎ valoarea testului statistic:
z ∗ =
x − µ
σ
√ n
= 1, 60
Remarcǎm aici cǎ Etapa 4 în varianta probabilistǎ este aceea¸si ca ¸si
varianta clasicǎ de verificare a ipotezelor statistice.
48

Etapa 5. Se reprezintǎ distribut¸ia normalǎ a mediilor (testul statistic) în acest
caz ¸si se localizeazǎ valoarea z ∗ determinatǎ în Etapa 4 (care împarte
distribut¸ia în douǎ pǎrt¸i) ¸si se determinǎ care parte a distribut¸iei
reprezintǎ p−valoarea.
Dupǎ care se determinǎ p−valoarea. Ipoteza alternativǎ Ha aratǎ cǎ în
cazul nostru:
p = P (z > z ∗ ) = P (z > 1, 6) = 0, 0548
Etapa 6. p-valoarea în cazul nostru este 0, 0548. Prin urmare pentru
orice nivel de semnificat¸ie α ≤ 0, 0548 nu putem respinge
ipoteza nulǎ ¸si concluzia este cǎ nu avem probe suficiente pentru
a demonstra superioritatea clasei actuale. Dacǎ însǎ nivelul de
semnificat¸ie α fixat la început este mai mare ca 0, 0548 (de ex. α = 0, 1)
atunci decizia noastrǎ va fi de respingere a ipotezei H0 ¸si concluzia de
superioritate a clasei actuale.
Figura 5:
Înainte sǎ trecem la un al doilea exemplu recapitulǎm câteva detalii privind verificarea
ipotezelor statistice în varianta probabilistǎ:
1. Ipotezele H0 ¸si Ha se formuleazǎ în aceea¸si manierǎ ca ¸si în varianta clasicǎ.
2. Se specificǎ nivelul de semnificat¸ie α care va fi folosit.
3. Valoarea testului statistic se calculeazǎ în Etapa 4 de aceea¸si manierǎ ca în varianta
clasicǎ.
4. P-valoarea este aria aflatǎ între curba de densitate de probabilitate axa Oz ¸si z = z ∗ .
Existǎ trei cazuri posibile: douǎ unilaterale ¸si unul bilateral. Direct¸ia (sau semnul)
în ipoteza Ha este indiciul:
Cazul 1. Dacǎ Ha este unilateralǎ la dreapta (” > ”) atunci p = P (z > z ∗ ) ¸si aria este
în dreapta lui z ∗ .
Cazul 2. Dacǎ Ha este unilateralǎ stânga (” < ”), atunci p = P (z < z ∗ ) este aria din
stânga lui z ∗ .
Cazul 3. Dacǎ Ha este bilateralǎ (” �= ”), atunci p = P (z < −|z ∗ |) + P (z > |z ∗ |) =
2 · P (z > |z ∗ |)
49

5. Decizia se ia comparând P -valoarea cu nivelul de semnificat¸ie α:
a) Dacǎ P ≤ α atunci H0 se respinge;
b) Dacǎ P > α atunci H0 se acceptǎ.
6. Concluzia se formuleazǎ de aceea¸si manierǎ ca ¸si în varianta clasicǎ.
Considerǎm acum un exemplu în care Ha este bilateral.
Exemplul 16.2. Companii mari folosesc agent¸ii specializate pentru a testa candidat¸ii
care doresc sǎ fie angajat¸i. Agent¸ia A folose¸ste un test de select¸ie pentru care în decursul
timpului s-a stabilit o medie de 82 ¸si o deviat¸ie standard de 8. Agent¸ia B a dezvoltat
o nouǎ metodǎ de testare care este mai rapidǎ, mai u¸sor de aplicat ¸si costǎ mai put¸in.
Agent¸ia B sust¸ine cǎ testul lor dǎ acelea¸si rezultate ca ¸si testul agent¸iei A.
Mai multe companii, pentru a reduce costul, se gândesc sǎ treacǎ de la agent¸ia A la
agent¸ia B, dar ei nu doresc sǎ facǎ aceastǎ trecere dacǎ media cu teste B diferǎ de cea
cu teste A. O agent¸ie independentǎ C a testat cu noul test 36 de indivizi ¸si a obt¸inut o
medie de 80.
Care este p−valoarea asociatǎ acestui test?
Rezultatul testului agent¸iei B este acela¸si dacǎ µ = 82 ¸si este diferit dacǎ µ �= 82. Prin
urmare:
Etapa 1. H0 : µ = 82 (testele au aceea¸si medie)
Etapa 2. Ha : µ �= 82 (testele au medii diferite)
Etapa 3. Este omisǎ dacǎ se cere p-valoarea fǎrǎ luarea unei decizii.
Etapa 4. Informat¸ia din e¸santion: n = 36 ¸si x = 80:
z ∗ =
x − µ
σ
√ n
= −2
8
6
= − 12
8
= −3
2
= −1.5
Etapa 5. Se localizeazǎ z ∗ pe o distribut¸ie normalǎ ¸si deoarece Ha este bilateral
vom considera P (z < −|z ∗ |) ¸si P (z > |z ∗ |) ¸si obt¸inem:
p = P (z < −1, 50) + P (z > 1, 50)
= 0, 5 − 0, 4332 + 0, 5 − 0, 4332 = 0, 1336
deci p− valoarea este 0, 1336.
50

Figura 6:
Fiecare companie va lua propria decizie: a) continuǎ cu A sau b) schimbǎ ¸si trece la
B. Fiecare va trebui sǎ stabileascǎ propriul nivel de semnificat¸ie ¸si sǎ ia o decizie în
consecint¸ǎ.
51

17 Inferent¸ǎ statisticǎ privind media populat¸iei dacǎ
nu se cunoa¸ste abaterea standard a populat¸iei
Pânǎ acum am prezentat douǎ tipuri de inferent¸ǎ statisticǎ privind media populat¸iei:
evaluarea intervalului de încredere ¸si verificarea ipotezelor statistice. În cele douǎ
tipuri de inferent¸e statistice abaterea standard σ este consideratǎ cunoscutǎ. În general
însǎ abaterea standard σ nu este cunoscutǎ. Subiectul acestei sect¸iuni este inferent¸a
statisticǎ privind media µ dacǎ abaterea standard σ nu este cunoscutǎ.
Dacǎ dimensiunea e¸santionului este suficient de mare (în general vorbind, e¸santioane
a cǎror mǎrimi este mai mare decât n = 30 de date sunt considerate suficient de mari),
deviat¸ia standard s a e¸santionului este o estimare bunǎ a deviat¸iei standard a populat¸iei ¸si
putem susbstitui σ cu s în procedura discutatǎ deja. Dacǎ populat¸ia pe care o investigǎm
este aproape normalǎ ¸si n ≤ 30, atunci procedeul se bazeazǎ pe distribut¸ia Student t.
Distribut¸ia Student t (sau simplu t distribut¸ia) este distribut¸ia statisticii t, definitǎ prin:
t =
x − µ
s
√ n
În anul 1908 W.S. Gosset un funct¸ionar la o fabricǎ de bere în Irlanda a publicat o
lucrare relativǎ la aceastǎ distribut¸ie sub pseudonimul ”Student”. În lucrarea lui Gosset
se presupune cǎ populat¸ia este normalǎ. Aceastǎ restrict¸ie s-a dovedit ulterior restrictivǎ,
întrucât se obt¸in rezultate satisfǎcǎtoare ¸si pentru multe populat¸ii care nu sunt normale.
Ecuat¸ia care define¸ste distribut¸ia t nu o dǎm aici, doar dǎm câteva proprietǎt¸i ale lui t:
1) distribut¸ia t are media 0;
2) distribut¸ia t este simetricǎ fat¸ǎ de medie;
3) distribut¸ia t are variant¸a supraunitarǎ, dar dacǎ dimensiunea e¸santionului cre¸ste,
variant¸a tinde la 1;
4) distribut¸ia t în jurul mediei este sub ¸si departe de medie este deasupra distribut¸iei
normale;
5) fiecǎrei mǎrimi de e¸santion îi corespunde o distribut¸ie t separatǎ care depinde de
mǎrimea e¸santionului. Dacǎ mǎrimea e¸santionului cre¸ste atunci t- distribut¸ia tinde
la distribut¸ia normalǎ.
52

Figura 7:
Cu toate cǎ pentru fiecare mǎrime de e¸santion (n=2,3,4,...) avem o distribut¸ie t separatǎ
completǎ, în practicǎ doar anumite valori critice ale lui t sunt folosite. Aceste valori critice
aflate în dreapta mediei sunt redate în tabelul urmǎtor:
α 0,40 0,30 0.25 0,20 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,001 0,0005
df
1 0,325 0,727 1,000 1,376 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 318,3 636,6
2 0,289 0,617 0,816 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,33 31,60
3 0,277 0,584 0,765 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,22 12,94
4 0,271 0,569 0,741 0,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8,610
5 0,267 0,559 0,727 0,920 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6,859
6 0,265 0,553 0,718 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959
7 0,263 0,549 0,711 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5,405
8 0,262 0,546 0,706 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,041
9 0,261 0,543 0,703 0,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4,781
10 0,260 0,542 0,700 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587
11 0,260 0,540 0,697 0,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437
12 0,259 0,539 0,695 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,318
13 0,259 0,538 0,694 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4,221
14 0,258 0,537 0,692 0,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,140
15 0,258 0,536 0,691 0,866 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,073
16 0,258 0,535 0,690 0,865 l,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,015
53

α 0,40 0,30 0,25 0,20 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,001 0,0005
df
17 0,257 0,534 0,689 0,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,965
18 0,257 0,534 0,688 0,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,611 3,922
19 0,257 0,533 0,688 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883
20 0,257 0,533 0,687 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850
21 0,257 0,532 0,686 0,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,819
22 0,256 0,532 0,686 0,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792
23 0,256 0,532 0,685 0,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,767
24 0,256 0,531 0,685 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745
25 0,256 0,531 0,684 0,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,725
26 0,256 0,531 0,684 0,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707
27 0,256 0,531 0,684 0,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690
28 0,256 0,530 0,683 0,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,674
29 0,256 0,530 0,683 0,854 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3,659
z 0,256 0,530 0,674 0,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3,646
Figura 8:
În acest tabel df are valorile de la 1 la 29 ¸si este numǎrul gradelor de libertate.
Apropierea valorilor din liniile corespunzǎtoare lui df = 29 ¸si z se datoreazǎ faptului
cǎ dacǎ n ≥ 30 distribut¸ia t este cea normalǎ (teorema limitǎ centralǎ).
Gradul de libertate df este un parametru statistic care este greu de definit. El este un
indice care se folose¸ste pentru a identifica distribut¸ia care trebuie folositǎ. În considerat¸iile
noastre df = n − 1, unde n este mǎrimea e¸santionului. Valoarea criticǎ a testului t care
trebuie folositǎ în estimarea intervalului de încredere precum ¸si în verificarea ipotezelor
statistice se obt¸ine din tabelul prezentat. Pentru a obt¸ine aceastǎ valoare este nevoie de
a cunoa¸ste:
1) df - numǎrul gradelor de libertate;
2) α aria determinatǎ de curba de repartit¸ie aflatǎ în dreapta valorii critice. Aceastǎ
valoare este notatǎ t(df, α).
54

Exemplul 17.1. Determinat¸i t(10, 0.05) din tabel. Avem df = 10 ¸si α = 0.05, deci
t(10, 0.05) = 1.81.
Valorile critice ale testului statistic t aflate în stânga mediei se obt¸in cu formula: −t(df, α),
t¸inând seama de simetria distribut¸iei t.
Figura 9:
Se observǎ u¸sor cǎ −t(df, α) = t(df, 1 − α). Astfel: −t(df; 0, 05) = t(df; 0, 95).
Exemplul 17.2. Determinat¸i t(15; 0, 95). Avem: t(15; 0, 95) = −t(15; 0, 05) = −1, 75.
Figura 10:
Statistica t este folositǎ în verificarea ipotezelor statistice privind asert¸iuni relative la
media µ de aceea¸si manierǎ ca ¸si statistica z.
Exemplul 17.3. Revenim la exemplul relativ la poluarea aerului; punctul de vedere al
ecologistului este: ”nivelul monoxidului de carbon în aer este mai mare decât 4, 9/10 6 ”.
Un e¸santion de 25 de determinǎri cu media x = 5, 1/10 6 ¸si s = 2, 1/10 6 este un argument
suficient pentru a sust¸ine afirmat¸ia? Se folose¸ste nivelul de semnificat¸ie α = 0, 05.
Etapa 1. H0 : µ = 4, 9/10 6
Etapa 2. Ha : µ > 4, 9/10 6
55

Etapa 3. α = 0, 05; df = 25 − 1 = 24 ¸si t(24; 0, 05) = 1, 71 din tabel.
Etapa 4.
t ∗ =
x − µ
s
√ n
= 5, 1 − 4, 9
2, 1/ √ 25
= 0, 20
0, 42
= 0, 476 � 0, 48
Etapa 5. Decizia: Nu putem respinge H0 (t ∗ nu este în regiunea criticǎ).
Concluzie: Nu avem suficiente argumente pentru ca sǎ respingem
ipoteza cǎ nivelul monoxidului de carbon este 4, 96/10 6 .
Figura 11:
Remarca 17.1. Dacǎ valoarea df (df = n − 1) este mai mare ca 29, atunci valoarea
criticǎ a lui t(df, α) este foarte apropiatǎ de z(α) (scorul z este listat la capǎtul tabelului)
¸si prin urmare în loc de t(df, α) se folose¸ste z(α). Deoarece tabelul considerat cont¸ine doar
valorile critice ale distribut¸iei t, p-valoarea nu poate fi gǎsitǎ din tabel în cazul verificǎrii
ipotezei statistice pentru cǎ aceasta necesitǎ distribut¸ia t completǎ. P-valoarea poate fi
însǎ estimatǎ folosind tabelul.
Exemplul 17.4. Sǎ revenim la exemplul 17.3. Ret¸inem t ∗ = 0, 48, df = 24 ¸si Ha : µ > 49.
Astfel pentru a rezolva problema folosind varianta probabilistǎ pentru Etapa 5 cu pvaloarea
avem:
p = P (t > 0, 48, ¸stiind df = 24)
56

Figura 12:
Rândul df = 24 din tabel aratǎ cǎ p-valoarea este mai mare ca 0, 25. Valoarea 0, 685 din
tabel aratǎ cǎ P (t > 0, 685) = 0, 25 a¸sa cum aratǎ figura urmǎtoare:
Figura 13:
Comparând t ∗ = 0, 48, vedem cǎ p− valoarea este mai mare ca 0, 25.
Exemplul 17.5. Sǎ se determine p−valoarea pentru urmǎtoarea ipotezǎ statisticǎ:
în condit¸iile în care df = 15 ¸si t ∗ = −1, 84.
H0 : µ = 55
Ha : µ �= 55
Solut¸ie: p = P (t < −1, 84) + P (t > 1, 84) = 2 · P (t > 1, 84). Rândul df = 15 din tabel
aratǎ cǎ P (t > 1, 84) este între 0, 025 ¸si 0, 05. Prin urmare avem: 0, 05 < p < 0, 10.
Media populat¸iei poate fi estimatǎ dacǎ σ este necunoscut de o manierǎ similarǎ cu cazul
σ cunoscut. Diferent¸a este cǎ se folose¸ste distribut¸ia t în loc de distribut¸ia z ¸si deviat¸ia
standard s ca estimare a lui σ. Formula pentru intervalul de încredere 1 − α este:
�
x − t(df, α s
) · √ , x + t(df,
2 n α
�
s
) · √
2 n
57

unde df = n − 1.
Figura 14:
Exemplul 17.6. În cazul unui e¸santion aleator de 20 de noi nǎscut¸i, media greutǎt¸ii lor
este 3, 4 kg ¸si deviat¸ia standard este 0, 9 kg. Sǎ se estimeze cu o încredere de 95% media
greutǎt¸ii noilor nǎscut¸i.
Solut¸ie: x = 3, 4 kg, s = 0, 9 kg ¸si n = 20, iar 1 − α = 0, 95, implicǎ: α = 0, 05; df = 19,
iar din tabel gǎsim: t(19; 0, 025) = 2, 09. Capetele intervalului sunt:
x ± t(19; 0, 025) · s
0, 9
√ = 3, 4 ± 2, 09 · √
n 20
3, 4 ± 2, 09 ·
0, 9
4, 472
Intervalul de încredere de 95% este (2, 94; 3, 86).
58
= 3, 4 ± 0, 46

18 Inferent¸ǎ relativǎ la variant¸ǎ ¸si estimarea variant¸ei
Adesea se pun probleme care cer sǎ facem inferent¸ǎ asupra variant¸ei. De exemplu, o
companie de produse rǎcoritoare are o ma¸sinǎ de îmbuteliat, care umple cu rǎcoritoare
butelii de 0, 32 l= 32 cl. Cantitatea medie pusǎ în fiecare butelie este importantǎ, dar
cantitatea medie corectǎ nu asigurǎ cǎ ma¸sina lucreazǎ corect. Dacǎ variant¸a este mare,
vor fi multe butelii care sunt prea umplute ¸si multe butelii care nu sunt bine umplute.
De aceea, compania dore¸ste sǎ controleze variant¸a σ 2 a cantitǎt¸ii x de rǎcoritoare pusǎ în
fiecare butelie ¸si sǎ ment¸inǎ variant¸a la un nivel cât mai scǎzut posibil.
Vom prezenta în aceastǎ sect¸iune o inferent¸ǎ privind variant¸a unei populat¸ii. Adesea în
cazul acestei inferent¸e se vorbe¸ste despre deviat¸ia standard în loc de variant¸ǎ. Trebuie sǎ
subliniem cǎ deviat¸ia standard este rǎdǎcinǎ pǎtratǎ a variant¸ei; a¸sadar a vorbi despre
variant¸ǎ este comparabil cu a vorbi despre deviat¸ie standard.
Sǎ revenim la exemplul companiei de produse rǎcoritoare. Sǎ ne imaginǎm cǎ aceastǎ
companie dore¸ste sǎ detecteze când variabilitatea cantitǎt¸ii de rǎcoritoare pusǎ în fiecare
butelie scapǎ de sub control. O variant¸ǎ de 0, 0004 este consideratǎ acceptabilǎ ¸si
compania va regla ma¸sina de îmbuteliat dacǎ variant¸a devine mai mare decât aceastǎ
valoare. Decizia va fi luatǎ folosind verificarea ipotezelor statistice. Ipoteza H0 este cǎ
variant¸a are valoarea 0, 0004, iar ipoteza Ha este cǎ variant¸a depǎ¸se¸ste valoarea 0, 0004:
H0 : σ 2 = 0, 0004 (variant¸a este controlatǎ)
Ha : σ 2 > 0, 0004 (variant¸a nu este controlatǎ)
Testul statistic care va fi folosit pentru a lua o decizie asupra ipotezei H0 este testul χ 2 .
Valoarea calculatǎ a lui χ 2 se va obt¸ine folosind formula:
χ 2 =
n · s2
σ 2
unde s 2 este variant¸a e¸santionului, n este mǎrimea e¸santionului, iar σ 2 este valoarea
specificatǎ în ipoteza nulǎ.
Dacǎ se iau e¸santioane de mǎrime n dintr-o populat¸ie normalǎ, având variantǎ σ 2 , atunci
cantitatea n·s 2 /σ 2 are o distribut¸ie care se nume¸ste distribut¸ia χ 2 . Formula care define¸ste
distribut¸ia χ 2 nu o vom da aici, dar pentru a folosi distribut¸ia χ 2 , prezentǎm urmǎtoarele
proprietǎt¸i ale acesteia:
1. distribut¸ia χ 2 are valori nenegative, este zero sau este pozitivǎ;
2. distribut¸ia χ 2 nu este simetricǎ, este asimetricǎ la dreapta;
3. existǎ mai multe repartit¸ii χ 2 . Ca ¸si pentru distribut¸iile t existǎ o distribut¸ie χ 2
pentru fiecare grad de libertate. Inferent¸a pe care o discutǎm aici se referǎ la cazul
df = n − 1.
Valorile critice ale lui χ 2 sunt date în tabelul urmǎtor:
59

df/α 0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
2 0.01 0.020 0.050 0.103 0.211 4.61 6.0 7.38 9.21 10.6
3 0.071 0.115 0.216 0.352 0.584 6.25 7.82 9.35 11.4 12.9
4 0.207 0.297 0.484 0.711 1.06 7.78 9.50 11.1 13.3 14.9
5 0.412 0.554 0.831 1.15 1.61 9.24 11.1 12.8 15.1 16.8
6 0.676 0.872 1.24 1.64 2.20 10.6 12.6 14.5 16.8 18.6
7 0.990 1.24 1.69 2.17 2.83 12.0 14.1 16.0 18.5 20.3
8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.4 15.5 17.5 20.1 22.0
9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 14.7 17.0 19.0 21.7 23.6
10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 16.0 18.3 20.5 23.2 25.2
11 2.60 3.05 3.82 4.58 5.58 17.2 19.7 21.9 24.7 26.8
12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 18.6 21.0 23.3 26.2 28.3
13 3.57 4.11 5.01 5.90 7.04 19.8 22.4 24.7 27.7 29.8
14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.1 23.7 26.1 29.1 31.3
15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 22.3 25.0 27.5 30.6 32.8
16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.5 26.3 28.9 32.0 34.3
17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.1 24.8 27.6 30.2 33.4 35.7
18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.9 26.0 28.9 31.5 34.8 37.2
19 6.84 7.63 8.91 10.1 11.7 27.2 30.1 32.9 36.2 38.6
20 7.43 8.26 9.59 10.9 12.4 28.4 31.41 34.2 37.6 40.0
21 8.03 8.90 10.3 11.6 13.2 29.6 32.7 35.5 39.0 41.4
22 8.64 9.54 11.0 12.3 14.0 30.8 33.9 36.8 40.3 42.8
23 9.26 10.2 11.0 13.1 14.9 32.0 35.2 38.1 41.6 44.2
24 9.89 10.9 12.4 13.9 15.7 33.2 36.4 39.4 43.0 45.6
25 10.5 11.5 13.1 14.6 16.5 34.4 37.7 40.7 44.3 46.9
26 11.2 12.2 13.8 15.4 17.3 35.6 38.9 41.9 45.6 48.3
27 11.8 12.9 14.6 16.2 18.1 36.7 40.1 43.2 47.0 49.7
28 12.5 13.6 15.3 16.9 18.9 37.9 41.3 44.5 48.3 51.0
29 13.1 14.3 16.1 17.7 19.8 39.1 42.6 45.7 49.6 52.3
30 13.8 15.0 16.8 18.5 20.6 40.3 43.8 47.0 50.9 53.7
40 20.7 22.2 24.4 26.5 29.1 51.8 55.8 59.3 63.7 66.8
50 28.0 29.7 32.4 34.8 37.7 63.2 67.5 71.4 76.2 79.5
60 5.5 37.5 40.5 43.2 46.5 74.4 79.1 83.3 88.4 92.0
70 43.3 45.4 48.8 51.8 55.3 85.5 90.5 95.0 100.0 104.0
80 51.2 53.5 57.2 60.4 64.3 96.6 102.0 107.0 112.0 116.0
90 59.2 61.8 65.7 69.1 73.3 108.0 113.0 118.0 124.0 128.0
100 67.3 70.1 74.2 77.9 82.4 114.0 124.0 130.0 136.0 140.0
60

Figura 15:
Valorile critice vor fi identificate prin douǎ valori: grade de libertate ¸si aria situatǎ sub
curbǎ în dreapta valorii critice. Astfel χ 2 (df, α) este simbolul folosit pentru identificarea
valorii critice χ 2 cu df grade de libertate ¸si cu aria α sub grafic ¸si în dreapta, a¸sa cum
este prezentat pe figura urmǎtoare:
Figura 16:
Exemplul 18.1. Folosind tabelul determinat¸i χ 2 (20; 0, 05) ¸si χ 2 (14; 0, 90).
Din tabel se obt¸ine: χ 2 (20; 0, 05) = 31, 4 ¸si χ 2 (14; 0, 90) = 7, 79.
Remarca 18.1. Dacǎ df > 2 valoarea medie a lui χ 2 este df. Valoarea medie este
localizatǎ în dreapta modului (locul în care curba atinge valoarea maximǎ).
61

Figura 17:
Exemplul 18.2. Reluǎm cazul companiei de produse rǎcoritoare care doresc sǎ controleze
variant¸a ca sǎ nu depǎ¸seascǎ 0, 0004. Un e¸santion de mǎrime 28 cu o variant¸ǎ de 0, 0010
indicǎ oare la nivelul de semnificat¸ie 0, 05 cǎ procesul de îmbuteliere nu este sub control
(referitor la variant¸ǎ)?
Solut¸ie:
Etapa 1. H0 : σ 2 = 0, 0004 (procesul este sub control)
Etapa 2. H0 : σ 2 > 0, 0004 (procesul nu este sub control)
Etapa 3. α = 0, 05, n = 28, df = 27 ¸si obt¸inem din tabel:
Etapa 4.
Etapa 5. Luarea deciziei.
χ 2 ∗ =
χ 2 (27; 0, 005) = 40, 1.
n · s2
σ 2
Figura 18:
62
28 · 0, 0010
= = 70
0, 0004

Concluzia: Procesul de îmbuteliere este sub control în ceea ce prive¸ste variant¸a.
Exemplul 18.3. Specificat¸iile unui anumit medicament indicǎ cǎ fiecare comprimat
trebuie sǎ cont¸inǎ 2,5 g de substant¸ǎ activǎ. 100 de comprimate alese la întâmplare
din product¸ie sunt analizate. Ele cont¸in în media 2,6 g de substant¸ǎ activǎ cu o deviat¸ia
standard de s = 0, 4g.
Se poate spune cǎ medicamentul respectǎ specificat¸iile (α = 0, 05)?
Etapa 1. Ipoteza H0 este ca medicamentul respectǎ specificat¸iile:
H0 : µ = 2, 5
Etapa 2. Ipoteza Ha este ca medicamentul nu respectǎ specificat¸iile:
H0 : µ �= 2, 5
Etapa 3. Statistica folositǎ este media x, iar nivelul de semnificat¸ie este α = 0, 05.
Regiunea criticǎ este:
Etapa 4. Testul statistic este:
z =
x − µ
s
√ n
= 2, 6 − 2, 5
0, 4
10
= 0, 1
0, 04
= 2, 5
Valoarea lui z în tabel este: z0,975 = 1, 96 < 2, 5.
Etapa 5. Ipoteza H0 este respinsǎ, a¸sadar nu putem spune cǎ medicamentul
respectǎ specificat¸iile.
Abordarea probabilistǎ a inferent¸ei statistice asupra variant¸ei, p-valoarea poate fi estimatǎ
pentru verificarea ipotezelor statistice folosind tabelul statistic χ 2 de aceea¸si manierǎ ca
¸si în cazul testului Student.
Exemplul 18.4. Sǎ se determine p-valoarea în cazul urmǎtoarelor ipoteze statistice:
Se cunosc: df = 18 ¸si χ 2 ∗ = 32, 7.
H0 : σ 2 = 150
Ha : σ 2 > 150
Solut¸ie: p = P (χ 2 > 32, 7) ∈ (0, 010; 0, 025) (date citite din tabel).
Exemplul 18.5. Un parametru folosit în determinarea utilitǎt¸ii unui examen ca mǎsurǎ
a abilitǎt¸ii student¸ilor este ”împrǎ¸stierea” rezultatelor. Un set de rezultate al unui test
are valoare micǎ dacǎ plaja notelor este micǎ. Din contrǎ dacǎ plaja notelor este mare,
este o diferent¸ǎ mare între rezultatul cel mai bun ¸si rezultatul cel mai slab, atunci testul
are valoare mai mare. La un test la care nota maximǎ este de 100 de puncte s-a pretins
cǎ o deviat¸ie standard de 12 puncte este de dorit. Pentru a vedea dacǎ un anume test
de o orǎ a fost sau nu un test bun din acest punct de vedere un profesor verificǎ aceastǎ
ipotezǎ statisticǎ la nivelul de semnificat¸ie α = 0, 05 folosind rezultatele obt¸inute de clasǎ.
Au fost 28 de rezultate ¸si deviat¸ia standard gǎsitǎ a fost 10, 5. Constituie aceasta o probǎ
la nivelul de semnificat¸ie α = 0, 05 cǎ examenul nu are deviat¸ia standard specificatǎ?
Solut¸ie: n = 28, s = 10, 5 ¸si α = 0, 05
Etapa 1. H0 : σ = 12
63

Etapa 2. H0 : σ �= 12
Etapa 3. α = 0, 05, df = 27 ¸si obt¸inem valorile critice din tabel:
Etapa 4.
χ 2 1(27; 0, 975) = 14, 6 ¸si χ 2 2(27; 0, 025) = 43, 2.
χ 2 ∗ =
n · s2
σ 2
28 · (10, 5)2
=
(12) 2
= 3087
144
Etapa 5. Nu se poate respinge H0.
Concluzie: Nu avem probe suficiente pentru a respinge ipoteza H0
64
= 21, 43

19 Generalitǎt¸i despre corelat¸ie.
Corelat¸ie liniarǎ
În statisticǎ adesea apar probleme de genul urmǎtor: pentru aceea¸si populat¸ie avem douǎ
seturi de date corespunzǎtoare la douǎ variabile distincte ¸si se pune întrebarea dacǎ între
cele douǎ variabile existǎ vreo legǎturǎ (relat¸ie)? Dacǎ da, care este aceastǎ relat¸ie? Cum
sunt aceste variabile corelate? Relat¸iile pe care le discutǎm aici nu sunt neapǎrat de tip
cauzǎ-efect. Ele sunt relat¸ii matematice care permit anticiparea comportamentului unei
variabile în funct¸ie de comportamentul celeilalte. Iatǎ câteva exemple:
Exemplul 19.1.
- În general o persoanǎ care cre¸ste în înalt¸ime cre¸ste ¸si în greutate. Se pune întrebarea:
existǎ vreo relat¸ie între înalt¸ime ¸si greutate?
- Student¸ii î¸si petrec timpul la universitate învǎt¸ând sau dând examene. Se pune
întrebarea: studiind mai mult, obt¸ii note mai mari?
- Doctorii care testeazǎ un nou medicament prescriu cantitǎt¸i diferite ¸si observǎ
rǎspunsul pacient¸ilor; se pune întrebarea: cantitatea de medicament prescrisǎ
determinǎ oare timpul de însǎnǎto¸sire al pacientului?
Problemele din exemplul precedent cer analiza corelat¸iei dintre douǎ variabile.
În cazul în care pentru o populat¸ie avem douǎ seturi de date corespunzǎtoare la douǎ
variabile distincte se formeazǎ perechile de date (x, y), în care x este valoarea primei
variabile ¸si y este valoarea celei de-a doua variabile. De exemplu, x este înǎt¸imea ¸si y este
greutatea.
O pereche ordonatǎ de date (x, y) se nume¸ste datǎ bidimensionalǎ.
În mod tradit¸ional, variabila X (având valorile x) se nume¸ste variabilǎ de intrare
(variabilǎ independentǎ), iar variabila Y (având valorile y) se nume¸ste variabilǎ de
ie¸sire (variabilǎ dependentǎ).
Variabila de intrare X este cea mǎsuratǎ sau controlatǎ pentru a prezice variabila Y .
În cazul testǎrii medicamentului doctorii (mǎsoarǎ) controleazǎ cantitatea de medicament
prescrisǎ ¸si deci aceastǎ cantitate x este valoarea variabilei de intrare (independentǎ) X.
Timpul de recuperare y este valoarea variabilei de ie¸sire (dependente) Y .
În cazul înǎlt¸imii ¸si greutǎt¸ii oricare din variabile poate fi atât variabilǎ de intrare cât ¸si
variabilǎ de ie¸sire. Rezultatele analizei vor fi însǎ funct¸ie de alegerea fǎcutǎ.
În cazul problemelor de analizǎ a corelat¸iei dintre douǎ variabile datele e¸santionului se
prezintǎ sub forma unei diagrame de împrǎ¸stiere.
Definit¸ia 19.1. O diagramǎ de împrǎ¸stiere sau nor de puncte este reprezentarea
graficǎ a perechilor de date într-un sistem de coordonate ortogonal. Valorile x ale variabilei
de intrare X sunt reprezentate pe axa Ox, iar valorile y ale variabilei de ie¸sire Y sunt
reprezentate pe axa Oy.
65

Exemplul 19.2. Pentru un e¸santion de 15 student¸i urmǎtorul tabel de date reprezintǎ
numǎrul de ore de studiu x pentru un examen ¸si nota y obt¸inutǎ la acel examen:
x 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8
y 5 5 7 5 7 7 8 6 9 8 7 9 10 8 9
Diagrama de împrǎ¸stiere în acest caz este:
Exemplul 19.3. Diagrama de împrǎ¸stiere în cazul tabelului de date:
este:
x 2 12 4 6 9 4 11 3 10 11 3 1 13 12 14 7 2 8
y 4 8 10 9 10 8 8 5 10 9 8 3 9 8 8 11 6 9
Analiza de corelat¸ie are ca obiectiv sǎ stabileascǎ legǎtura dintre cele douǎ variabile.
Vom prezenta câteva diagrame de împrǎ¸stiere pentru a ilustra corelat¸ii posibile dintre
variabila de intrare X ¸si variabila de ie¸sire Y .
Definit¸ia 19.2. Dacǎ pentru valorile x crescânde ale variabilei de intrare X nu existǎ o
deplasare clarǎ (bine definitǎ) ale valorilor y ale variabilei Y , atunci zicem cǎ nu avem
corelat¸ie sau cǎ nu existǎ legǎturǎ între X ¸si Y .
66

Diagrama de împrǎ¸stiere în cazul în care nu avem corelat¸ie este urmǎtoarea:
Definit¸ia 19.3. Dacǎ pentru valorile x crescânde ale variabilei de intrare X existǎ o
deplasare clarǎ (bine definitǎ) ale valorilor y ale variabilei Y zicem cǎ avem o corelat¸ie.
Zicem cǎ avem o corelat¸ie pozitivǎ dacǎ y tinde sǎ creascǎ ¸si avem o corelat¸ie
negativǎ dacǎ y tinde sǎ descreascǎ odatǎ cu cre¸sterea lui x.
Precizia schimbǎrii lui y atunci când x cre¸ste determinǎ cât de puternicǎ este corelat¸ia.
Diagramele de împrǎ¸stiere care urmeazǎ ilustreazǎ aceste idei:
Figura 19: Diagramǎ de împrǎ¸stiere în cazul unei corelat¸ii pozitive
67

Figura 20: Diagramǎ de împrǎ¸stiere în cazul unei corelat¸ii pozitive strânse
Figura 21: Diagramǎ de împrǎ¸stiere în cazul unei corelat¸ii negative
Figura 22: Diagramǎ de împrǎ¸stiere în cazul unei corelat¸ii negative strânse
Definit¸ia 19.4. Dacǎ perechile (x, y) tind sǎ urmeze o dreaptǎ zicem cǎ avem o corelat¸ie
liniarǎ.
Definit¸ia 19.5. Dacǎ toate perechile (x, y) se gǎsesc pe o dreaptǎ (care nu este nici
orizontalǎ nici verticalǎ) atunci zicem cǎ avem o corelat¸ie liniarǎ perfectǎ.
68

Figura 23: Diagramǎ de împrǎ¸stiere în cazul unei corelat¸ii pozitive liniare perfecte
Remarca 19.1. Dacǎ toate perechile (x, y) se gǎsesc pe o dreaptǎ orizontalǎ sau verticalǎ
nu existǎ corelat¸ie intre cele douǎ variabile. Aceasta întrucât schimbarea uneia nu
afecteazǎ valoarea celeilalte variabile.
Remarca 19.2. Diagramele de împrǎ¸stiere nu sunt totdeauna de genul celor prezentate
pânǎ acum ¸si sugereazǎ corelat¸ii care sunt de altǎ naturǎ.
Figura 24: Diagramǎ de împrǎ¸stiere în cazul unei corelat¸ii neliniare
Definit¸ia 19.6. Coeficientul de corelat¸ie liniarǎ r mǎsoarǎ cât de puternicǎ este
corelat¸ia liniarǎ dintre cele douǎ variabile. Reflectǎ consistent¸a efectului pe care-l are
schimbarea valorii variabilei independente X asupra variabilei dependente Y .
Remarca 19.3. Valoarea coeficientului de corelat¸ie liniarǎ r permite sǎ se formuleze
un rǎspuns la întrebarea: existǎ o corelat¸ie liniarǎ între cele douǎ variabile considerate?
Coeficientul de corelat¸ie liniarǎ r are valoarea între −1 ¸si +1. Valoarea r = +1 înseamnǎ
o corelat¸ie liniarǎ pozitivǎ perfectǎ, iar valoarea r = −1 înseamnǎ o corelat¸ie liniarǎ
negativǎ perfectǎ.
Dacǎ pentru x crescând rezultǎ o cre¸stere generalǎ a valorilor lui y, atunci r indicǎ o
corelat¸ie liniarǎ pozitivǎ.
De exemplu, în cazul copiilor dacǎ x este vârsta ¸si y este înǎlt¸imea, atunci ne a¸steptǎm ca
r sǎ fie pozitiv, pentru cǎ în mod natural, înǎt¸imea copilului cre¸ste o datǎ cu vârsta. În
69

cazul automobilelor de serie, dacǎ x este vârsta, iar y este valoarea, atunci ne a¸steptǎm
ca r sǎ fie negativ pentru cǎ în mod uzual valoarea automobilului descre¸ste cu vârsta lui.
Definit¸ia 19.7. Coeficientul de corelat¸ie liniarǎ r în cazul unui e¸santion este prin
definit¸ie:
�
(x − x) · (y − y)
r =
n · sx · sy
în care sx, sy sunt deviat¸iile standard ale variabilelor x, y, iar n este numǎrul de perechi
(x, y).
Remarca 19.4. Pentru a calcula r de obicei se folose¸ste o formulǎ alternativǎ echivalentǎ:
unde: SS(x) = � x2 − 1
n ·
� 1
x · y −
n ·
�� � �
x · y .
r =
SS(x, y)
� SS(x) · SS(Y )
�� �2 x , SS(y) = � y2 − 1
n ·
�� �2 y , SS(x, y) =
Exemplul 19.4. Sǎ se determine coeficientul de corelat¸ie liniarǎ r în cazul unui e¸santion
aleator de mǎrime 10, dacǎ tabelul de date este:
Folosind aceste date avem:
de unde gǎsim:
x 27 22 15 35 30 52 35 55 40 40
y 30 26 25 42 38 40 32 54 50 43
SS(x) = 1396, 9 SS(y) = 858, 0 SS(x, y) = 919, 0
r =
919, 0
� (1396, 9) · (858, 0) = 0, 8394 ≈ 0, 84.
Remarca 19.5. Dacǎ valoarea calculatǎ r este apropiatǎ de 0, atunci nu existǎ corelat¸ie
liniarǎ.
Dacǎ valoarea calculatǎ r este aproape de +1 sau −1, atunci bǎnuim cǎ între cele douǎ
variabile exista corelat¸ie liniarǎ.
Între 0 ¸si 1 existǎ o valoare numitǎ punct de decizie care indicǎ dacǎ existǎ sau nu existǎ
corelat¸ie liniarǎ. Un punct simetric existǎ ¸si între −1 ¸si 0. Valoarea punctului de decizie
depinde de mǎrimea e¸santionului.
În tabelul urmǎtor sunt trecute puncte de decizie pozitive pentru diferite mǎrimi de
e¸santionare cuprinse între 5 ¸si 100.
70

n punct de n punct de n punct de n punct de
decizie decizie decizie decizie
5 0,878 12 0,576 19 0,456 30 0,301
6 0,811 13 0,553 20 0,444 40 0,312
7 0,754 14 0,532 22 0,423 50 0,279
8 0,707 15 0,514 24 0,404 60 0,254
9 0,666 16 0,497 26 0,388 80 0,220
10 0,632 17 0,482 28 0,374 100 0,196
11 0,602 18 0,468
Tabelul 1:Punctele de decizie pozitive pentru corelat¸ie liniarǎ
Valorile punctelor de decizie descresc dacǎ n cre¸ste.
Dacǎ r se gǎse¸ste între punctul de decizie negativ ¸si cel pozitiv nu avem argumente ca sǎ
sust¸inem cǎ între cele douǎ variabile existǎ o corelat¸ie liniarǎ.
Dacǎ r este mai mare decât punctul de decizie pozitiv sau mai mic decât punctul de
decizie negativ atunci între cele douǎ variabile existǎ o corelat¸ie liniarǎ.
Existent¸a unei corelat¸ii între cele douǎ variabile nu înseamnǎ cǎ existǎ o relat¸ie
cauzǎ efect. Astfel, de exemplu, dacǎ X este alocat¸ia pentru copii în ultimii 10 ani ¸si
Y este consumul de bǎuturi alcoolice în ultimii 10 ani, un e¸santion de aceste date aratǎ
o corelat¸ie pozitivǎ strânsǎ fǎrǎ ca alocat¸ia pentru copii sǎ fie cauza vânzǎrii bǎuturilor
alcoolice sau viceversa.
O metodǎ rapidǎ de estimare a coeficientului de corelat¸ie liniarǎ r în cazul unui e¸santion
este urmǎtoarea:
a) Se deseneazǎ o curbǎ închisǎ în jurul valorii mult¸imii de perechi (x, y):
71

) Se determinǎ lungimea D a diametrului maxim:
c) Se determinǎ lungimea diametrului minim d:
�
d) Valoarea r se estimeazǎ cu ± 1 − d
orientarea diametrului D:
D
�
, în care semnul se alege în funct¸ie de
Trebuie subliniat cǎ aceastǎ estimare este grosierǎ. Este foarte sensibilǎ la împrǎ¸stiere.
Cu toate acestea dacǎ plaja de valori a lui X este aproximativ aceea¸si ca plaja de valori
a lui Y aproximat¸ia este utilǎ.
72

20 Analizǎ de corelat¸ie liniarǎ
În sect¸iunea 20 am vǎzut care este formula coeficientului de corelat¸ie liniarǎ r între douǎ
variabile X, Y menit sǎ mǎsoare cât de strânsǎ este relat¸ia de dependent¸ǎ liniarǎ dintre
cele douǎ variabile.
În cele ce urmeazǎ vom prezenta o analizǎ mai amǎnunt¸itǎ a acestei formule. Considerǎm
pentru ilustrat¸ie urmǎtorul set de date bidimensionale:
Diagrama de împrǎ¸stiere în acest caz este:
x 2 3 6 8 11 12
y 1 5 3 2 6 1
Media x a variabilei x este 7: x = 7, iar media variabilei y este 3: y = 3.
Punctul (x, y) este punctul (7, 3) ¸si se nume¸ste centroid al datelor:
73

Dacǎ prin punctul de coordonate (x, y) se duc paralele la axele de coordonate, setul de
date se împarte în patru submult¸imi. Fiecare datǎ (x, y) se gǎse¸ste la o anumitǎ distant¸ǎ
de aceste linii; x − x este distant¸a cu semn de la (x, y) la paralela la axa Oy ¸si y − y
este distant¸ǎ cu semn de la (x, y) la paralela Ox. distant¸ele cu semn sunt pozitive sau
negative în funct¸ie de pozit¸ia lui (x, y) fat¸ǎ de (x, y).
O mǎsurǎ a dependent¸ei liniare ar putea fi covariant¸a. Covariant¸a dintre X ¸si Y este
definitǎ ca suma produselor distant¸elor cu semn x−x ¸si y −y a tuturor datelor la centroid
împǎrt¸itǎ la n:
n�
(xi − x) · (yi − y)
covar(x, y) =
n
Covariant¸a în cazul tabelului de date considerate este 0, 6.
i=1
Covariant¸a pozitivǎ înseamnǎ cǎ diagrama de dispersie este dominatǎ de date care se
gǎsesc deasupra ¸si în dreapta centroidului sau dedesubt ¸si în stânga acestuia. Aceasta
întrucât produsele (x − x) · (y − y) în puncte din aceste regiuni sunt pozitive.
Dacǎ diagrama de dispersie este dominatǎ de date care se gǎsesc deasupra ¸si în stânga sau
dedesubt ¸si în dreapta centroidului atunci covariant¸a este negativǎ pentru cǎ produsele
(x − x) · (y − y) pentru puncte din aceste regiuni sunt negative.
Covariant¸a însǎ nu este convenabilǎ pentru a mǎsura cât este de strânsǎ relat¸ia de
dependent¸ǎ liniarǎ între douǎ variabile fiindcǎ depinde de unitǎt¸ile de mǎsurǎ ale datelor.
Covariant¸a nu are o unitate de mǎsurǎ standardizatǎ ¸si împrǎ¸stierea datelor influent¸eazǎ
foarte mult mǎrimea covariant¸ei.
Astfel de exemplu dacǎ înmult¸im datele din tabelul considerat anterior cu 10 obt¸inem
tabelul de date:
x 20 30 60 80 110 120
y 10 50 30 20 60 10
Covariant¸a în cazul acestui tabel de date este 60, dar aceasta nu înseamnǎ nicidecum cǎ
relat¸ia de dependent¸ǎ liniarǎ între X, Y este mai strânsǎ. Relat¸ia de dependent¸ǎ liniarǎ
74

este aceea¸si ¸si doar datele sunt mai împrǎ¸stiate. Aceasta este problema cu covariant¸a
atunci când vrem sǎ mǎsurǎm cu ajutorul ei dependent¸a liniarǎ între douǎ variabile.
Trebuie sǎ gǎsim o cale de eliminare a efectului împrǎ¸stierii datelor atunci când mǎsurǎm
dependent¸a.
Dacǎ standardizǎm X ¸si Y împǎrt¸ind deviat¸ia fiecǎreia de la media sa cu deviat¸ia
standard:
x ′ x − x
= ¸si y ′ y − y
=
sx
¸si calculǎm covariant¸a lui X ′ ¸si Y ′ , vom avea o covariant¸ǎ care nu mai este influent¸atǎ de
împrǎ¸stierea datelor. Exact acest lucru este realizat prin introducerea coeficientului de
corelat¸ie liniar r. Astfel coeficientul de corelat¸ie liniar este:
r = covar(X ′ , Y ′ ) =
sy
covar(X, Y )
sx · sy
Coeficientul de corelat¸ie liniarǎ standardizeazǎ mǎsura dependent¸ei ¸si ne permite sǎ comparǎm
cât de strânsǎ este dependent¸a liniarǎ a diferitelor seturi de date bidimensionale.
Formula coeficientului de corelat¸ie liniarǎ adesea poartǎ denumirea de momentul produs
Pearson.
Valoarea coeficientului de corelat¸ie liniarǎ r în cazul setului de date considerat la început
este:
0, 6
r =
= 0, 07
(4, 099) · (2, 098)
Pentru cǎ determinarea coeficientului de corelat¸ie liniarǎ cu ajutorul formulei:
r =
covarX, Y
sx · sy
este greoaie, în locul ei se folose¸ste una practicǎ:
r =
SS(X, Y )
� SS(X) · SS(Y )
Aceasta din urmǎ formulǎ evitǎ calculul separat al lui x, y, sx, sy precum ¸si calculul
deviat¸iilor de la medie.
75

21 Inferent¸ǎ privind coeficientul de corelat¸ie liniarǎ
Dupǎ ce coeficientul de corelat¸ie liniarǎ r a fost calculat pentru un e¸santion se pune în
mod natural întrebarea: valoarea lui r indicǎ oare cǎ existǎ o dependent¸ǎ liniarǎ între
cele douǎ variabile în cazul populat¸iei din care e¸santioanele au fost luate?
Pentru a rǎspunde la aceastǎ întrebare facem o verificare a ipotezelor statistice.
Etapa 1. Formularea ipotezei nule H0:
”Cele douǎ variabile sunt liniar necorelate.”
Aceasta înseamnǎ ρ = 0, ρ fiind coeficientul de corelat¸ie pentru
populat¸ie.
Etapa 2. Formularea ipotezei alternative.
Aceasta poate fi unilateralǎ sau bilateralǎ. Cel mai frecvent este
bilateralǎ ρ �= 0. Cu toate acestea dacǎ suspectǎm cǎ avem doar o
singurǎ corelat¸ie pozitivǎ ori o singurǎ corelat¸ie negativǎ trebuie sǎ
folosim test unilateral. Ipoteza alternativǎ în cazul testului unilateral
este: ρ > 0 sau ρ < 0.
Etapa 3. Regiunea criticǎ pentru testul statistic este în partea dreaptǎ dacǎ ne
a¸steptǎm la o corelat¸ie pozitivǎ ¸si este în stânga dacǎ ne a¸steptǎm la o
corelat¸ie negativǎ.
Testul statistic folosit pentru testarea ipotezei nule este scorul standard ¸si valoarea testului
statistic este valoarea lui r calculatǎ din e¸santion. Valorile critice pentru r se gǎsesc
în urmǎtorul tabel la intersect¸ia coloanei corespunzǎtoare valorii lui α ¸si a liniei corespunzǎtoare
gradului de libertate df = n − 2:
76

Valorile critice pentru r dacǎ ρ = 0
df|α 0,10 0,05 0,02 0,01
1 0,988 0,997 1,000 1,000
2 0,900 0,950 0,980 0,980
3 0,805 0,878 0,934 0,959
4 0,729 0,811 0,882 0,917
5 0,669 0,754 0,833 0,874
6 0,662 0,707 0,789 0,834
7 0,582 0,666 0,750 0,798
8 0,549 0,632 0,716 0,765
9 0,521 0,602 0,685 0,735
10 0,497 0,576 0,658 0,708
11 0,476 0,553 0,634 0,684
12 0,458 0,532 0,612 0,661
13 0,441 0,514 0,592 0,641
14 0,426 0,497 0,574 0,623
15 0,412 0,482 0,558 0,606
16 0,400 0,468 0,542 0,590
17 0,389 0,456 0,528 0,575
18 0,378 0,444 0,516 0,561
19 0,369 0,433 0,503 0,549
20 0,360 0,423 0,492 0,537
25 0,323 0,381 0,445 0,487
30 0,296 0,349 0,409 0,449
35 0,275 0,325 0,381 0,418
40 0,257 0,304 0,358 0,393
45 0,243 0,288 0,338 0,372
50 0,231 0,273 0,322 0,354
60 0,211 0,250 0,295 0,325
70 0,195 0,232 0,274 0,302
80 0,183 0,217 0,256 0,283
90 0,173 0,205 0,242 0,267
100 0,164 0,195 0,230 0,254
Valorile din acest tabel sunt valori critice pentru r pentru un test bilateral.
Pentru un test unilateral valoarea lui α este dublul valorii lui α ce se folose¸ste în verificarea
ipotezelor statistice.
Etapa 4. Se determinǎ r din e¸santion.
Etapa 5. Se determinǎ dacǎ r este în regiunea criticǎ sau nu.
Neacceptarea ipotezei nule înseamnǎ cǎ existǎ o probǎ a dependent¸ei dintre cele douǎ
variabile ale populat¸iei
Ment¸iune: Aceasta nu înseamnǎ cǎ am stabilit o relat¸ie de tip cauzǎ efect ci
doar o relat¸ie matematicǎ care permite sǎ se prezicǎ comportamentul variabilei
77

de ie¸sire Y din comportamentul variabilei de intrare X.
Exemplul 21.1.
În cazul tabelului de date:
x 2 3 6 8 11 12
y 1 5 3 2 6 1
avem n = 6, iar r = 0, 07. Întrebarea este dacǎ aceastǎ valoare a lui r diferǎ de zero în
mod semnificativ dacǎ nivelul de semnificat¸ie este α = 0, 02?
Etapa 1. H0 : ρ = 0
Etapa 2. H0 : ρ �= 0
Etapa 3. Avem α = 0, 02 ¸si df = n − 2 = 6 − 2 = 4. Valorile critice din tabel
sunt: −0, 882 ¸si 0, 882.
Etapa 4. Valoarea calculatǎ a lui r este r ∗ = 0, 07
Etapa 5. Se acceptǎ H0.
Concluzie: Nu am putut arǎta cǎ X, Y sunt corelate. Dacǎ acceptǎm ipoteza nulǎ
înseamnǎ cǎ independent¸a liniarǎ dintre cele douǎ variabile a fost arǎtatǎ.
Ca ¸si în alte probleme, uneori se cere estimarea unui interval de încredere pentru
coeficientul de corelat¸ie ρ. Este posibilǎ estimarea coeficientului de corelat¸ie ρ folosind
un tabel care ne dǎ centuri de încredere. Tabelul urmǎtor reprezintǎ asemenea centuri
de încredere pentru intervale de încredere de 95%: Exemplul urmǎtor aratǎ cum trebuie
citit un asemenea tabel.
Exemplul 21.2. Pentru un e¸santion de 15 perechi de date o valoare calculatǎ a lui r este
r = 0, 35. Sǎ se determine intervalul de încredere 95% pentru coeficientul de corelat¸ie
liniar ρ a populat¸iei?
1) Se localizeazǎ 0, 35 pe axa orizontalǎ (axa coeficientului de corelat¸ie liniarǎ) ¸si se
duce linia verticalǎ.
78

2) Se determinǎ intersect¸ia liniei verticale cu centurile corespunzǎtoare mǎrimii
e¸santionului (aceasta fiind 15) ¸si se obt¸in douǎ puncte pe linia verticalǎ.
3) Intervalul de încredere este intervalul determinat de ordonatele acestor puncte
(−0, 20, −0, 72) (axa ordonatelor este axa coeficientului de corelat¸ie a populat¸iei).
79

22 Regresie liniarǎ
Dacǎ valoarea coeficientului de corelat¸ie liniarǎ r indicǎ o corelat¸ie liniarǎ strânsǎ atunci se
pune problema stabilirii unei relat¸ii numerice exacte. Aceastǎ relat¸ie exactǎ este obt¸inutǎ
prin regresie liniarǎ.
În general statisticianul cautǎ o ecuat¸ie care exprimǎ relat¸ia dintre douǎ variabile. Ecuat¸ia
aleasǎ este cea mai bunǎ fitare a diagramei de dispersie. Ecuat¸iile gǎsite se numesc ecuat¸ii
de predict¸ie, iar în continuare sunt prezentate câteva asemenea ecuat¸ii:
y = b0 + b1 · x - liniarǎ
y = a + b · x + c · x 2 - pǎtraticǎ
y = a · b x - exponent¸ialǎ
y = a · log b x - logaritmicǎ.
Obiectivul final este ca folosind ecuat¸ii sǎ se facǎ predict¸ii. În general valoarea exactǎ a
variabilei Y nu este prezisǎ. Ne mult¸umim dacǎ predict¸ia este suficient de apropiatǎ.
Definit¸ia 22.1. Regresia liniarǎ stabile¸ste dependent¸a liniarǎ în medie a lui y în funct¸ie
de x.
Vom descrie în continuare cum se stabile¸ste cea mai bunǎ dependent¸ǎ liniarǎ pentru un
set de date (x, y).
Dacǎ relat¸ia de dependent¸ǎ liniarǎ pare potrivitǎ, cea mai bunǎ relat¸ie liniarǎ se stabile¸ste
cu metoda celor mai mici pǎtrate.
Sǎ presupunem cǎ ˆy = b0 + b1 · x este cea mai bunǎ relat¸ie liniarǎ. Metoda celor mai mici
pǎtrate cere ca b0 ¸si b1 sǎ fie astfel încât � (y − ˆy) 2 sǎ fie minimǎ.
Din teorema lui Fermat rezultǎ cǎ valorile minime ale funct¸iei:
se obt¸in pentru
b1 =
F (b0, b1) = � (y − b0 − b1 · x) 2
�
(x − x) · (y − y)
� , b0 =
(x − x) 2 1
n ·
��
y − b1 · � �
x
b1 este panta dreptei, iar b0 este ordonata la origine.
Pentru determinarea pantei b1 de obicei se folose¸ste formula echivalentǎ:
b1 =
SS(x, y)
SS(x)
�� �2 x ¸si SS(x, y) = � x · y − 1
�� � �
x · y .
unde: SS(x) = � x2 − 1
n ·
n ·
Ment¸ionǎm aici cǎ expresiile SS(x, y) ¸si SS(x) apar ¸si în formula de calcul al coeficientului
de corelat¸ie liniarǎ. De aceea în momentul calculǎrii lui r putem afla ¸si valoarea pantei
b1.
80

Exemplul 22.1. În cazul unui e¸santion de 10 indivizi considerǎm urmǎtorul set de date.
x 27 22 15 35 30 52 35 55 40 40
y 30 26 25 42 38 40 32 54 50 43
Pentru a determina cea mai bunǎ relat¸ie liniarǎ ˆy = b0 + b1 · x se calculeazǎ SS(x, y) ¸si
SS(x) ¸si se obt¸ine:
SS(x, y) = 919, 0 ¸si SS(x) = 1396, 9
de unde panta b1 este:
b1 =
919, 0
1396, 9
= 0, 6599 ≈ 0, 66.
Pentru a determina ordonata în origine b0 se folose¸ste formula de calcul a acesteia ¸si
rezultǎ:
b0 = 1
[380 − 0, 65 · 351] = 14, 9077 ≈ 14, 9
10
Astfel cea mai bunǎ relat¸ie liniarǎ este:
Remarca 22.1.
ˆy = 14, 9 + 0, 66 · x
a) Panta b1 reprezintǎ schimbarea prezisǎ a variabilei y corespunzǎtoare unei cre¸steri
cu o unitate a variabilei x.
b) Ordonata b0 reprezintǎ valoarea lui y în x = 0. Doar dacǎ x = 0 este în domeniul
de date putem spune cǎ b0 este valoarea prezisǎ a lui y pentru x = 0.
c) Cea mai bunǎ relat¸ie liniarǎ este o dreaptǎ ce trece prin punctul de coordonate
(x, y). Acest fapt poate fi utilizat ca verificare atunci când se traseazǎ graficul celei
mai bune relat¸ii liniare.
Exemplul 22.2. În cazul unui e¸santion aleator de 8 indivizi considerǎm urmǎtorul tabel
de date
x 65 65 62 67 69 65 61 67
y 105 125 11 120 140 135 95 130
Diagrama de împrǎ¸stiere a acestui set de date sugereazǎ o corelat¸ie liniarǎ.
81

Pentru a gǎsi cea mai bunǎ relat¸ie de dependent¸ǎ liniarǎ calculǎm SS(x, y) ¸si SS(x) ¸si
gǎsim:
SS(x, y) = 230, 0 ¸si SS(x) = 48, 875
De aici avem:
de unde:
b0 = 1
n
b1 =
230, 0
48, 875
= 4, 706 ≈ 4, 71.
��
y − b1 · � �
x = −186, 478 ≈ 186, 5
ˆy = −186, 5 + 4, 71 · x
Remarca 22.2. O estimare ”grosierǎ” a celei mai bune relat¸ii de dependent¸ǎ liniarǎ se
poate face în felul urmǎtor:
- ca ¸si în cazul aproximǎrii coeficientului de corelat¸ie r se considerǎ o curbǎ închisǎ
în jurul mult¸imii de perechi (x, y);
- diametrul maxim al mult¸imii este o aproximare a graficului de dependent¸ǎ liniarǎ;
- se scrie ecuat¸ia de dependent¸ǎ liniarǎ ca ecuat¸ia unei drepte ce trece prin douǎ
puncte de pe acest diametru;
- ca ¸si în cazul estimǎrii lui r aceastǎ estimare este una grosierǎ ¸si trebuie folositǎ ca
atare.
82

23 Analizǎ de regresie liniarǎ
Modelul liniar folosit pentru a explica dependent¸a liniarǎ a douǎ variabile referitoare la
aceea¸si populat¸ie este definit de ecuat¸ia:
y = β0 + β1 · x + ε
Aceastǎ ecuat¸ie reprezintǎ relat¸ia liniarǎ dintre douǎ variabile x ¸si y într-o populat¸ie. În
aceastǎ relat¸ie:
- β0 este ordonata la origine;
- β1 este panta;
- y este valoarea observatǎ la o valoare datǎ a lui x;
- β0 + β · x este media lui y pentru valoarea datǎ a lui x
Remarcǎm cǎ eroarea ε depinde de x. Pentru valorile x1, x2, . . . , xn ale lui x modelul liniar
se scrie:
yi = β0 + β1 · xi + εi, i = 1, 2, . . . , n
- ε este eroarea aleatoare a valorii observate y la o valoare datǎ a lui x care reprezintǎ
deviat¸ia valorii observate y de la medie.
Dreapta de regresie liniarǎ obt¸inutǎ ˆy = b0 + b1 · x pe baza datelor (xi, yi), i = 1, 2, . . . , n
ne dǎ b0 care este o estimare pentru β0 ¸si b1 care este o estimare pentru β1. Atunci vom
putea scrie yi = b0 + b · xi + ei. Erorile sunt estimate prin yi − ˆyi care este diferent¸a
dintre valoarea observatǎ yi ¸si valoarea prezisǎ ˆyi a lui y la o valoare datǎ a lui x. Fiindcǎ
ˆyi = b0 + b1 · xi avem cǎ:
ei = yi − ˆyi
Erorile ei sunt cunoscute sub numele de reziduuri.
Variabila aleatoare e are urmǎtoarele proprietǎt¸i:
• e > 0 ⇐⇒ y > ˆy;
• e < 0 ⇐⇒ y < ˆy;
• pentru un x dat suma erorilor (reziduurilor) pentru diferite valori ale lui i este zero;
aceasta este o consecint¸ǎ a metodei celor mai mici pǎtrate; ¸si astfel media erorilor
n�
experimentale este zero: ei = 0.
i=1
Notǎm cu σ 2 ε variant¸a erorilor aleatoare a datelor observate ¸si ne propunem sǎ estimǎm
aceastǎ variant¸ǎ.
Înainte însǎ sǎ trecem la estimarea variant¸ei σ 2 ε sǎ analizǎm put¸in ce reprezintǎ eroarea
ε? ε reprezintǎ diferent¸a dintre valoarea observatǎ y ¸si valoarea medie a lui y pentru o
valoare datǎ a lui x. Întrucât nu cunoa¸stem valoarea medie a lui y, vom folosi ecuat¸ia de
regresie, iar valoarea medie a lui y pentru un x dat, o vom estima cu ˆy valoarea prezisǎ
de ecuat¸ia de regresie a lui y pentru acest x. Astfel estimarea lui ε este e = y − ˆy.
83

Dacǎ pentru o valoare datǎ x avem mai multe valori observate y acestea pot fi reprezentate
pe verticala în x pe axa Ox.
O distribut¸ie similarǎ apare la fiecare valoare a lui x. Valoarea medie a datelor y observate
depinde de x ¸si se estimeazǎ cu ˆy.
Altfel spus, deviat¸ia standard a distribut¸iei datelor y de la medie este aceea¸si pentru orice
x:
84

Reamintim cǎ variant¸a s2 a unui set de date statistice x1, x2, . . . , xn a fost definitǎ cu
formula:
s 2 = 1
n�
(xi − x)
n
2
i=1
Determinarea variant¸ei setului de date y introduce o complicat¸ie pentru cǎ media datelor
y diferǎ de la un x la altul. Pentru fiecare x media este estimatǎ prin valoarea prezisǎ ˆy ce
corespunde la x prin dreapta de regresie. Astfel variant¸a erorii ε se estimeazǎ cu formula:
s 2 ε = 1
n
n�
(yi − ˆyi) 2
i=1
care aratǎ cǎ variant¸a erorii ε este variant¸a variabilei y în jurul dreptei de regresie.
Variant¸a erorii s 2 ε poate fi scrisǎ sub forma:
s 2 ε = 1
n
¸si este o estimare a lui σ 2 ε
� (y − b0 − b1 · xi) 2 = 1
n
�� y 2 i − b0 · � y − b1 · xi · yi
Exemplul 23.1. O persoanǎ care se mutǎ la Timi¸soara ¸si se angajeazǎ la o companie
dore¸ste sǎ ¸stie în cât timp poate sǎ ajungǎ dimineat¸a cu ma¸sina de la locuint¸ǎ la locul de
muncǎ. Pentru a gǎsi un rǎspuns la aceastǎ întrebare el întreabǎ un numǎr de 15 colegi la
ce distant¸ǎ stau de locul de muncǎ ¸si în cât timp ajung la serviciu ¸si întocme¸ste urmǎtorul
tabel de date statistice:
coleg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x - distant¸a
(în km) 3 5 7 8 10 11 12 12 13 15 15 16 18 19 20
y - timpul
(în min) 7 20 20 15 25 17 20 35 26 25 35 32 44 37 45
Pentru a gǎsi un rǎspuns la problemǎ persoana în cauzǎ trebuie sǎ determine dreapta de
regresie ¸si variant¸a s 2 e.
Folosind formulele de calcul el gǎse¸ste:
SS(x) = 2, 616 − (184)2
15
85
= 358, 9333
�

(184) · (403)
SS(x, y) = 5, 623 −
b1 =
15
= 679, 53333
358, 9333
= 1, 893202 ≈ 1, 89
679, 53333
b0 = 1
[403 − (1, 893202) · (184)] = 3, 643387 ≈ 3, 64
15
ˆy = 3, 64 + 1, 89 · x.
Aceasta este formula pe care o va folosi pentru a estima timpul mediu necesar pentru a
ajunge la serviciu în funct¸ie de distant¸a x la care locuie¸ste.
Pentru a gǎsi abaterea standard de la valoarea estimatǎ el va trebui sǎ calculeze ¸si variant¸a
s 2 ε. Folosind formulele de calcul el gǎse¸ste: s 2 ε = 29, 17.
86

24 Inferent¸ǎ referitoare la panta unei drepte de regresie
liniarǎ
Dupǎ ce ecuat¸ia dreptei de regresie liniarǎ a fost determinatǎ ne întrebǎm când putem
folosi aceastǎ ecuat¸ie pentru a prezice valorile variabilei y în funct¸ie de x?
Rǎspunsul la întrebare îl vom da parcurgând procedeul de verificare a ipotezelor statistice.
Înainte de a face inferent¸ǎ privind dreapta de regresie facem urmǎtoarele ipoteze:
- pentru fiecare x distribut¸ia datelor y observate este aproximativ normalǎ;
- pentru fiecare x variant¸a distribut¸iei datelor y observate este aceea¸si.
Înainte sǎ trecem la parcurgerea celor cinci etape (care constituie verificarea ipotezelor
statistice) sǎ analizǎm distribut¸ia pantelor ce se obt¸in pentru e¸santioane aleatoare de
mǎrime n. Aceste pante b1 au o distribut¸ie aproape normalǎ având media β1 panta în
cazul populat¸iei ¸si variant¸a σ2 datǎ de:
b1
σ 2 b1 =
σ 2 ε
� (x − x) 2
Un estimator adecvat s 2 b1 a lui σ2 b1 se obt¸ine prin înlocuirea lui σ2 ε cu s 2 e:
s 2 b1 =
Aceastǎ formulǎ poate fi scrisǎ sub forma:
s 2 b1 = s2 e
SS(x) =
s 2 e
� (x − x) 2
s 2 e
� x − � ( � x) 2 /n �
Eroarea standard a regresiei (pantei) este σb1 ¸si este estimatǎ prin sb1.
Putem trece acum la verificarea ipotezelor statistice:
Etapa 1. Formularea ipotezei H0. Ipoteza nulǎ va fi β1 = 0. Dacǎ β1 = 0
atunci ecuat¸ia liniarǎ nu poate fi folositǎ pentru a prezice valoarea lui
y aceasta înseamnǎ cǎ: ˆy = y.
Etapa 2. Ipoteza alternativǎ poate fi unilateralǎ sau bilateralǎ. Dacǎ bǎnuiala
este cǎ panta este pozitivǎ atunci un test unilateral este potrivit:
Ha : β1 > 0.
Etapa 3. Ca test statistic folosim testul t. Numǎrul gradelor de libertate pentru
test este df = n − 2. În cazul Exemplului 23.1 care se referǎ la timpul
necesar pentru a ajunge cu ma¸sina la servici df = 15−2 = 13. La nivelul
de semnificat¸ie α = 0, 05, valoarea criticǎ a lui t este t(13; 0, 05) = 1, 77.
Formula de calcul folosit pentru valoarea testului statistic t pentru
inferent¸ǎ este:
t ∗ = b1 − β1
sb1
87

Etapa 4. Având în vedere egalitatea s2 b1 = s2e în cazul exemplului considerat
SS(X)
gǎsim cǎ valoarea testului statistic este:
t ∗ = b1 − β1
sb1
= 1, 89 − 0
√ 0, 0813 = 6, 629 ≈ 6, 63
Etapa 5. Decizie: ipoteza H0 se respinge pentru cǎ t ∗ este în regiunea criticǎ.
Concluzie: Panta dreptei de cea mai bunǎ aproximat¸ie este mai mare
ca zero. Probele statistice aratǎ cǎ existǎ o relat¸ie liniarǎ între distant¸a
locuint¸ǎ-serviciu ¸si perioada de timp necesarǎ pentru a ajunge cu ma¸sina
la serviciu ¸si aceastǎ perioadǎ de timp este predictibilǎ.
Panta β1 a dreptei de regresie liniarǎ a populat¸iei poate fi estimatǎ cu ajutorul intervalului
de încredere. Capetele acestui interval de încredere sunt date de formula:
b1 ± t(n − 2; α
) · sb1
2
În cazul Exemplului 23.1 la nivelul de semnificat¸ie α = 0, 05:
1, 89 ± 2, 16 · � 0, 0813 = 1, 89 ± 0, 62
capetele intervalului de încredere sunt 1, 27 ¸si 2, 51.
Deci intervalul de încredere pentru β1 este (1, 27; 2, 51) la nivelul de semnificat¸ie 0, 05.
88

BIBLIOGRAFIE
[1] Johnson Robert, Elementary Statistics, Duxbury Press, 1984, Boston
[2] Andrei Tudorel, Stancu Andrei, Statisticǎ - teorie ¸si aplicat¸ii, Editura All, 1995,
Bucure¸sti
[3] Thomas H. Wonacott, Ronald J. Wonacott: Statistique, Economica, 4me dition,
1991,Paris
[4] Constantin Gheorghe, Surulescu Nicolae, Zaharie Daniela, Lect¸ii de statisticǎ descriptivǎ,
Universitatea de Vest, 1998, Timi¸soara
[5] Boc¸san Gheorghe, Estimarea parametrilor modelelor statistice, Universitatea de Vest,
1995, Timi¸soara
[6] Yule G. Udny, Kendall, M.G., Introducere în teoria statisticii, Editura S¸tiint¸ificǎ,
1969, Bucure¸sti
89