LFA_Exercitii_aplicative_seminarii

1. Limbaje şi expresii regulate
Exemplul 1.1
Mulţimile V = {a, b, c}; Σ = {0, 1}; V T = {a 1 , a 2 , ..., a n } etc. sunt alfabete.
Observaţia 1.1
Mulţimea Σ* este monoid în raport cu operaţia de concatenare a cuvintelor
definită prin
xy = a i1 a i2 ...a ir a j1 a j2 ...a js ,
dacă
x = a i1 a i2 ...a ir ,
y = a j1 a j2 ...,a js ,
a ip ∈Σ (1 ≤ p ≤ r) şi
a jq ∈Σ (1 ≤ q ≤ r),
deoarece operaţia de concatenare este asociativă, iar λ este element neutru.
Observaţia 1.2
Dacă Σ 0 = {λ}, Σ 2 = ΣΣ (mulţimea cuvintelor de lungime 2), Σ 3 = Σ 2 Σ
(mulţimea cuvintelor de lungime 3), Σ n = Σ n-1 Σ (mulţimea cuvintelor de lungime n;
n>1), atunci
a) Σ* = U ;
Σ k
k≥0
Σ k
b) Σ + = U .
k≥1
Exemplul 1.2
Următoarele construcţii descriu limbaje:
1) Σ = {a, b, c}, L 1 = {a n b n c n | n ≥ 1},
L 2 = {a p | p ∈ N*, p număr prim},
L 3 = {xx | x∈Σ*}.
2) Σ = {0, 1}, L = { x∈Σ* | x este scrierea binară a unui număr natural
divizibil prin 5}.
3) L = {a 3 , a 5 }.
Observaţia 1.3
L{λ}={λ}L=L;
L∅ = ∅L = ∅,
pentru oricare limbaj L, unde ∅ este limbajul vid.
Observaţia 1.4
Dacă L este un limbaj λ-liber (nu conţine cuvântul vid) atunci L + = L* - {λ}.
Cerinta 1.1 Dacă Σ este un alfabet, atunci Σ* este mulţime numărabilă.
Demonstraţie. Presupunem card(Σ) = n şi Σ = {x 1 , x 2 , …, x n }. Construim funcţia
bijectivă f pentru domeniul Σ* şi codomeniul N (mulţimea numerelor naturale). Fie
w ∈ Σ*, atunci f(w) poate fi ales astfel:
f ( w)
⎧0,
⎨
⎩
i + i
w = λ
= k −1
1 2n
+ L + ik
n , w = xi
x x , k = | w |,1 ≤ i ≤ n,1
≤ s ≤ k
1 i
L
2 ik
s
.

Cerinta 1.2. Fie mulţimea univers U, funcţia f : U → U şi B ⊆ U . Construim, în
mod inductiv, şirul de mulţimi:
A 0 = B; A k+1 = A k ∪ {f(x) | x ∈ A k }, k ∈ N şi A = . Atunci:
a) A este închisă faţă de f;
b) Dacă mulţimea C este astfel încât B ⊂ C ⊆ U şi este închisă faţă de f atunci
A⊆C.
Demonstraţie. Fie x ∈ A. Există k ∈ N astfel încât x ∈ A k . Prin urmare f(x) ∈
A k+1 ⊂ A. Fie mulţimea C astfel încât B ⊂ C ⊆ U şi C închisă faţă de f. Evident A 0
⊂ C. Presupunem, prin inducţie că A k ⊂ C. Fie y ∈ A k+1 Cum A k+1 = A k ∪{f(x) | x
∈ A k }, atunci fie y ∈ A k (deci şi lui C), fie y = f(x) cu x ∈ A k ⊆ C. Din închiderea
lui C în raport cu f, rezultă y ∈ C.
Prin urmare
U
k∈N
A k
⊆C.
Exemplul 1.3
a) L(0*1*2*)={0 i 1 j 2 k | i, j, k ≥ 0}.
b) Expresiile b(ab)* şi (ba)*b sunt echivalente.
c) L(ba*) este mulţimea cuvintelor, peste {a, b}, care încep cu b şi după
care urmează 0, 1, 2, … etc. simboluri a, adică L(ba*) = {ba n | n ≥ 0}.
d) L(a*ba*ba*) este mulţimea cuvintelor, peste {a, b}, care conţin simbolul
b exact de două ori.
e) L((a+b)*) reprezintă mulţimea tuturor cuvintelor peste alfabetul {a, b}.
f) L((a+b)*(aa+bb)(a+b)*) este mulţimea tuturor cuvintelor, peste {a, b},
conţinând, consecutive, doua litere a sau b.
Exemplul 1.4
Următoarele limbaje sunt mulţimi regulate:
L 1 ={a n | n≥1};
L 2 = {(ab) n c| n≥0};
L 3 = {a,b}*, etc.
Cerinta 1.3 [Identităţi cu expresii regulate]
Fie r, s şi t expresii regulate peste Σ. Atunci:
a) r + s ∼ s + r, r + ∅ ∼ ∅ + r, r + r ∼ r, (r + s) + t ∼ r + (s + t);
b) rλ ∼ λr ∼ r, r∅ ∼ ∅r ∼ ∅, (rs)t ∼ r(st); în general, comutativitatea
produsului nu are loc.
c) r(s + t) ∼ rs + rt, (s + t)r ∼ sr + tr;
d) r* ∼ r*r* ∼ (r*)* ∼ (λ+r)*, ∅* ∼ λ* ∼ λ;
e) r* ∼ λ + r + r 2 + r 3 + … + r k + r k+1 r*, pentru k ≥0.
f) (r+s)* ∼ (r* +s*)* ∼ (r*s*)* ∼ (r*s)*r* ∼ r*(sr*)*. Expresiile (r+s)* şi
r*+s* nu sunt, în general, echivalente.
g) r*r ∼ rr*, r(sr)* ∼ (rs)*r;
h) (r*s)* ∼ λ + (r + s)*s, (rs*)* ∼ λ + r(r + s)*;
i) Dacă λ∉L(s) atunci ((r ∼ sr + t) ⇔ r∼s*t ) şi ((r ∼ rs + t) ⇔ r ∼ ts*).
Demonstraţie. Folosind unele dintre identităţile a-h, demonstrăm afirmaţia i). Din r
∼ s*t rezultă r ∼ (λ + ss*)t ∼ λt + ss*t ∼ t + sr ∼ sr + t. Presupunem că λ ∉ L(s) şi că
U
k∈N
A k

∼ sr + t . Obţinem, succesiv, r ∼ sr + t ∼ s(sr + t) +t ∼ s 2 r + (st + t) ∼ s 3 r + (s 2 t + st
+ t) ∼ … ∼ s k+1 r + (s k t + s k-1 t + … + st + t), pentru k ≥ 0. Arătăm că r ∼ s*t prin
dublă incluziune. Fie x ∈ L(r) de lungime k := |x|. Deoarece r∼ s k+1 r + (s k t + s k-1 t +
… + st + t) şi λ ∉ L(s) rezultă că x ∉ s k+1 r (este clar că L(s k+1 ) conţine cuvinte cu
cel puţin k + 1 simboluri). Prin urmare x ∈ L(s k t + s k-1 t + … + st + t ) ⊂ L(s*t).
Reciproc, fie x ∈ L(s*t), deci există i ≥ 0 astfel încât x ∈ L(s i t). Dar, identitatea r∼
s i+1 r + (s i t + s i-1 t + … + st + t) arată că L(r) ⊃ L(s i t). Deci x ∈ L(r). Partea a doua a
afirmaţiei se demonstrează similar.
2. Mecanisme generative fundamentale
Exemplul 2.1
Fie V = {S, A, B, C, a, *} şi P = { (S, BAB), (BA, BC), (CA, AAC), (CB,
AAB), (A, a), (B, *)}. În cadrul sistemului de rescriere (V, P) sunt posibile generări
de cuvinte precum:
k
* + 1
2 k
a) B A 2 B ⎯→ B A B;
k
2
b) B A 2 B ⎯→
* a *;
k
* k
* + 1
2 k
c) B A 2 B ⎯→
* a *;
d) S ⎯→
* * *.
n
a 2 2
n
Observaţia 2.1
Ansambul SR = (Ω ∪ Σ, P) este un sistem de rescriere pentru limbajul L(G)
pornind de la şirul S. Metoda de generare pentru L(G) poate fi specificată prin
structura (SR, {S}, Σ).
=
Exemplul 2.2 [a k b k ]
O gramatică care generează limbajul {a n b n | n≥1}. este G=({S}, {a, b}, S,
{(S, aSb), (S, ab)}. Se demonstrează, prin inducţie, că
FP(G) = {a k Sb k | k ≥ 1} ∪ {a k b k | k ≥ 1}.
Prin urmare L(G) = {a k b k | k≥1}.
Exemplul 2.3 [Pătrate]
Fie Ω={S, A, B, X}, Σ={a, %} şi P = {S ::= %% | %B% | %AABB%, %A ::=
%XA, XA ::= AX, XB ::= AABX, X% ::= B%, A ::= a, B ::= a}.
Gramatica G=(Ω, Σ, S, P) generează limbajul L = {% a % | n ≥ 0}.
Cerinta 2.1
Pentru orice gramatică de tip 2, G = (Ω, Σ, S, P) , dacă AB ⎯ ⎯→
* w, atunci
există w ⎯ ⎯ ⎯→
*
1 , w 2 ∈ V* astfel încât: 1) w = w 1 w 2 şi 2) A ⎯→
* w 1, B w 2 .
Demonstraţie. Fie n lungimea derivării AB ⎯ ⎯→
* w. Aplicăm metoda inducţiei
după n. Pentru n = 0 (AB ⎯ ⎯→
* AB), luăm w1 = A şi w 2 = B, iar afirmaţia este
evidentă. Să presupunem că propoziţia este adevărată pentru orice derivare de
lungime n. Fie AB ⎯→
* w o derivare de lungime n + 1. Punem în evidenţă
ultimul pas al derivării: AB ⎯ ⎯→
* α → w. Fie C ::= β a n + 1 producţie aplicată.
Din ipoteza de inducţie rezultă: α = α1α ⎯ ⎯→
* ⎯ ⎯→
*
2 , A α 1 , B α 2 . Neterminalul

C se află fie în α 1 , fie în α 2 . Să presupunem că C se află în α 1 , adică α 1 = γ 1 Cγ 2 .
Prin urmare AB ⎯→
* γ
⎯ ⎯→ *
⎯→
1Cγ 2 α 2 → γ 1 βγ 2 α 2 = w. Luăm A γ 1 Cγ 2 → γ 1 βγ 2 =
α * 1 şi B α 2 . În general α 1 şi α 2 nu sunt determinate în mod unic.
Cerinta 2.2
Pentru orice gramatică de tip 2, G = (Ω, Σ, S, P), există o gramatică
echivalentă G’ = (Ω’, Σ, S, P’), de tip 2, în care toate producţiile lui P’ care conţin
terminale sunt de forma A ::= a, a ∈ Σ.
Demonstraţie. Pentru fiecare simbol terminal a ∈ Σ, se introduce un neterminal nou
X a . Se consideră: Ω’ = Ω ∪ {X a | a ∈ Σ}, iar P’ se obţine din P înlocuind toate
terminalele a cu neterminalul X a şi adăugând, în final, producţiile X a ::= a, a ∈ Σ.
Este evident că se păstrează tipul gramaticii şi că L(G’) = L(G)
Cerinta 2.3
Orice gramatică liniară la dreapta este echivalentă cu o gramatică de acelaşi
tip, dar cu reguli de forma: A ::= aB sau A ::= a, unde A, B ∈ Ω, iar a ∈ Σ ∪ {λ}.
Demonstraţie. Fie A ::= wB o regulă a gramaticii iniţiale, A, B ∈ Ω, w ∈ Σ * . Dacă
|w| = 1, aceasta nu suferă nici o modificare, fiind în forma cerută. Presupunem că
|w| = n > 1. Atunci w = a 1 a 2 …a n , introducem n-1 simboluri neterminale noi B 1 , B 2 ,
…, B n-1 şi înlocuim regula A::= wB cu mulţimea de reguli {A ::= a 1 B 1 , B 1 ::= a 2 B 2 ,
…, B n-2 ::= a n-1 B n-1 , B n-1 ::= a n B}. Dacă n = 0 (mai spunem că avem de-a face cu o
redenumire) atunci parcurgem următoarele etape (a se vedea şi propoziţia 5.3).
Iniţial, se determină mulţimea 1 R(B) = {D | D ∈Ω, B ⎯→
* D}. Regula A ::= B se
înlocuieşte cu mulţimea de reguli {A ::= αC| D ::= αC ∈ P, D ∈ R(B), α ≠ λ} ∪
{A ::= α| D ::= α ∈ P, D ∈ R(B)}.
Fie A::= w o regulă a gramaticii iniţiale, A ∈ Ω şi w ∈ Σ * . Dacă n = |w| ≤
1, aceasta rămâne neschimbată, altfel se consideră n-1 neterminale noi C 1 , C 2 ,
…,C n-1 , şi dacă w = a 1 a 2 …a n , regula se înlocuieşte cu mulţimea de reguli {A :=
a 1 C 1 , C 1 ::= a 2 C 2 , …, C n-2 ::= a n-1 C n-1 , C n-1 ::= a n }. Se parcurg toate regulile
gramaticii iniţiale şi se transformă ca mai sus. Trebuie avut în vedere ca regulile să
fie înregistrate o singură dată.
Exemplul 2.4
Fie gramatica G = ({S, A, B, C, D}, {a, b, c}, S, {S ::= A | abcB, A ::= C | D,
B ::= A | ab, C ::= S}). Obţinem succesiv:
R(S) = {A, C, D, S},
R(A) = {C, D, S, A},
R(B) = {A, C, D, S},
R(C) = {S, A, C, D},
R(D) = ∅.
Considerăm regula S ::= abcB şi simbolurile X 1 , X 2 . Formăm mulţimea
S 1 = {S ::= aX 1 , X 1 ::= bX 2 , X 2 ::= cB}.
Pentru regula B ::= ab, considerăm simbolul X 3 şi mulţimea de reguli
P 1 = {B::=aX 3 , X 3 ::= b}.
În acest moment, regulile sunt:
1 R(B) reprezintă mulţimea redenumirilor directe sau prin simboluri intermediare ale
neterminalului B.

S ::= A | aX 1 ; X 1 ::= bX 2 ;
A ::= C | D;
X 2 ::= cB;
B ::= A | aX 3 ; X 3 ::= b.
C ::= S;
Regula S ::= A se transformă în S ::= aX 1 (care există deja), regula A::= C se
transformă în A ::= aX 1 , regula A ::= D se elimină, regula B::=A se înlocuieşte cu
B ::= aX 1 , iar regula C ::=S se înlocuieşte cu regula C ::= aX 1 . Gramatica G’ are
mulţimea neterminalelor Ω’ = {S, B, X 1 , X 2 , X 3 }, aceeaşi mulţime de terminale,
simbolul de start S şi mulţimea de reguli P’ = { S ::= aX 1 , X 1 ::= bX 2 , X 2 ::= cB, B
::= aX 1 | aX 3 , X 3 ::= b}. Se observă că simbolurile A, C şi D sunt inutile Regulile A
::= aX 1 şi C ::= aX 1 pot fi adăugate, dar în procesul de generare nu se vor aplica
niciodată.
Observaţia 2.2
Fie G o gramatică liniară la stânga, există o gramatică liniară la stânga G’
astfel încât L(G’) = L(G), iar regulile gramaticii G’ sunt numai de forma A ::= Ba
şi A ::= a, unde A, B ∈ Ω, iar a ∈ Σ ∪ {λ}.
Demonstraţie. Se procedează ca la demonstraţia propoziţiei 2.3.
Cerinta 2.5
Fie G o gramatică în care producţiile sunt de forma A ::= Ba şi A ::= a.
Atunci există o gramatică G’ echivalentă cu G pentru care producţiile sunt de
forma A ::= aB şi A ::= a.
Demonstraţie. Fie G = (Ω, Σ, S, P) gramatica dată. Construim G’=(Ω’, Σ, S’, P’),
unde S’ este un neterminal nou, considerat ca axiomă în gramatica G’, Ω’ = Ω ∪
{S’}, iar P’ se obţine din P prin transformarea fiecărei producţii, după cum
urmează:
1. A ::= a ∈ P ⇔ S’ ::= aA∈ P’, A ≠ S;
2. S ::= a ∈ P ⇔ S’ ::= aS ∈ P’ şi S’ ::= a ∈ P’;
3. A ::=Ba ∈ P ⇔ B ::= aA ∈ P’, A ≠ S;
4. S ::= Ba ∈ P ⇔ B ::= aS∈ P’ şi B ::= a ∈ P’.
Fie w∈L(G). Dacă |w| = 1, rezultă S ::= w ∈ P, deci (regula 2) S’::=w ∈ P’. Prin
urmare w ∈ L(G’). Dacă w = a 1 a 2 …a n , n > 1, atunci există derivarea: S → A 1 a n →
A 2 a n-1 a n → A 3 a n-2 a n-1 a n … → A n-1 a 2 a 3 … a n-2 a n-1 a n → a 1 a 2 …a n . Producţiile folosite
au fost: S ::= A 1 a n ; A 1 ::= A 2 a n-1 ; …, A n-2 ::= A n-1 a 2 şi A n-1 ::= a 1. Deci, în P’, se vor
utiliza regulile A 1 ::= a n ; A 2 ::= a n-1 A 1 ; …, A n-1 ::= a 2 A n-2 şi S’ ::= a 1 A n-1 . Rezultă că
w ∈ L(G’). Incluziunea inversă se demonstrează similar.
Observaţia 2.3
Propoziţiile anterioare arată echivalenţa dintre gramaticile liniare la stânga şi
cele liniare la dreapta. Nu trebuie crezut că dacă o gramatică are pe lângă reguli de
tipul A ::= a, atât reguli de forma A ::= aB, cât şi reguli de forma C ::= Db, ea va fi
echivalentă cu o gramatică liniară la stânga (sau la dreapta). De exemplu, gramatica

cu regulile { S ::= aA | aB; A ::= Sb; B ::= b} generează 2 un limbaj de tip 2 şi nu
unul de tip 3 aşa cum ar părea la prima vedere.
Exemplul 2.5
Următoarele limbaje sunt de tip 3: L 1 = {a n | n≥1}, L 2 = Σ + , unde Σ este un
alfabet finit (a se face legătura şi cu elementele lexicale ale limbajelor de
programare), L 3 = {a(ba) n | n ≥0}. L 1 este generat de gramatica G 1 având regulile:
P={S ::= aS | a}. Fie Σ = {a 1 , a 2 , …, a n }, L 2 este generat de o gramatică cu regulile:
P = {S ::= a i S | i = 1, 2, …, n} ∪ {S ::= a i | i = 1, 2, …, n}. Limbajul L 3 este generat
de gramatica cu regulile P = { S := aA | a, A ::= bB, B ::= aA | a}.
Exemplul 2.6
Fie gramatica G = ({E, T, F}, {(, ), +, *, a}, E, P) unde E este simbolul de
start, iar P are următoarele elemente: E ::= E+T | T; T ::= T*F | F, F ::= (E) | a.
Arborii de derivare pentru şirurile a+(a*a) şi (a+a)*a sunt 3 :
E
E
/ | \ |
E + T
T
| | / | \
T F T * F
| / | \ | |
F ( E ) F a
| | / | \
a T ( E )
/ | \ /|\
T * F
E + T
| | | |
F a T F
| | |
a F a
|
a
Cerinta 2.6
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică independentă de context. Oricare ar fi A ∈
Ω, α ∈ (Ω ∪ Σ)*, A ⎯ ⎯→
α dacă şi numai dacă există un A-arbore cu frontiera α.
Demonstraţie. Fie n numărul nodurilor interioare al unui A-arbore cu frontiera α.
Dacă n = 1 atunci, arborele are forma:
A
X 1 X 2 … X k
2 Se demonstrează uşor că limbajul generat de gramatica de la observaţia 2.3 este L = {a n b n
| n ≥ 1}.
3 În arbori, au fost trecute direct etichetele vârfurilor şi nu elementele din mulţimea X.

Prin urmare, în G există producţia A ::= X 1 X 2 …X k , Deci A → X 1 X 2 …X k . Să
presupunem că proprietatea are loc pentru arbori cu cel mult n - 1 noduri interioare
şi fie un A-arbore cu n noduri interioare şi frontiera α (n > 1). Descendenţii lui A
nu pot fi toţi frunze. Fie X 1 , X 2 , …, X k etichetele acestor descendenţi şi α i frontiera
X i – arborelui dacă X i ∈ Ω şi α i = X
⎯ ⎯→
* i dacă X i ∈ Σ. Deoarece orice X i -arbore are cel
mult n-1 noduri, atunci X i α i (evident şi pentru X
⎯ ⎯→
*
i ∈ Σ). Prin urmare, în G
există derivarea A → X 1 X 2 …X k α 1 X 2 …X k ⎯→
*
*
⎯ α1α 2 X 3 … X k ⎯→
α 1 α 2
*
…α k-1 X k ⎯→
α 1 α 2 …α k = α.
Reciproc, presupunem că derivarea A ⎯ ⎯→
* α are lungimea n (în gramatica
G) şi procedăm prin inducţie după n. Pentru n = 1, rezultă că A → α, iar dacă α =
X1X 2 …X k atunci se pune în evidenţă A-arborele:
A
X 1 X 2 …
Xk
Presupunem că afirmaţia este valabilă pentru derivări de lungime cel mult n - 1
care încep de la un neterminal din G şi fie derivarea, în n paşi, A ⎯ ⎯→
* α. Fie A
::= X ⎯ ⎯→
*
1 X 2 …X k prima producţie din derivare. Deci A → X 1 X 2 …X k α. Atunci
(conform propoziţiei 2.1) α = α 1 α 2 …α k şi X i ⎯ ⎯→
* αi (în cel mult n-1 paşi).
Dacă X i ≠ α i , atunci există un X i – arbore cu frontiera α i . Dacă X i = α i atunci X i –
arborele este format doar din nodul etichetat cu X i .
A
X 1 X 2 X k-1 X k
α 1 α 2 α k-1 α k
Astfel, A-arborele de frontieră α se obţine prin aşezarea X i -arborilor în ordinea X 1 ,
X 2 , …, X k şi adăugarea unui nou nod cu eticheta A şi descendenţii X 1 , X 2 , …, X k .
Observaţia 2.4
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică independentă de context. Atunci α ∈ L(G),
adică S ⎯ ⎯→
* α, dacă şi numai dacă există un arbore de derivare (S-arbore) cu
frontiera α.

Observaţia 2.5
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică independentă de context şi w∈ L(G), deci
există un arbore de derivare cu frontiera w.
a) Evident, se poate pune în evidenţă o derivare extrem stânga (resp.
dreapta) pentru w din S. Totuşi, pentru un anumit cuvânt pot exista mai
multe derivări extrem stânga (resp. dreapta), ceea ce denotă o ambiguitate
în procesul de generare.
b) Pentru orice cuvânt w∈ L(G), numărul de derivări extrem stânga pentru
w este egal cu numărul de derivări extrem dreapta.
Exemplul 2.7
Fie G = ({S}, {a, b}, S, {S ::= SbS | a}) şi cuvântul w = (ab) 3 a. Se observă că:
S → SbS → SbSbS → abSbS → abSbSbS → ababSbS → abababS → abababa
şi
S → SbS → SbSbS → SbSbSbS → abSbSbS → ababSbS → abababS → abababa.
Dacă numerotăm regulile de rescriere:
1. S ::= SbS,
2. S ::= a
atunci derivările cuvântului (ab) 3 a sunt obţinute prin aplicarea secvenţelor de
reguli: 1,1,2,1,2,2,2 (resp. 1,1,1,2,2,2,2). Totuşi limbajul {(ab) n a | n ≥ 1} nu este
ambiguu deoarece este generat şi de gramatica liniară la dreapta G 1 = ({S, X, Y},
{a, b}, S, {S ::= Xa, X := aY, Y ::= bX | b}) care nu este ambiguă.
Observaţia 2.6
Orice gramatică independentă de context care conţine, printre regulile sale de
rescriere, producţii de unul din tipurile (1)-(4), cu neterminalul A util in generarea
de cuvinte peste Σ, este ambiguă:
(1) A ::= AA;
(2) A ::= AγA;
(3) A ::= αA | Aβ;
(4) A ::= αA | αAβA.
Cerinta 2.7
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică independentă de context, iar A ∈ Ω cu
proprietatea că există o producţie de forma A ::= Aα. Atunci există o gramatică G’
echivalentă cu G care pentru orice A-regulă A ::= β avem A ∉ Pref(β).
Demonstraţie. Fie A ::= Aα i , i = 1, 2, …, n, toate A-regulile de rescriere ale
gramaticii G care au neterminalul A ca primă literă a membrului drept, iar A ::= β i ,
i = 1, 2, …, m, celelalte A-reguli. Considerăm gramatica G’ = (Ω ∪ {B}, Σ, S, P’)
unde B ∉ (Ω ∪ Σ) este un simbol nou, iar P’ se obţine din P astfel:
P’=(P-{A :: Aα i ; 1≤i≤n}) ∪{ A ::= β i B; 1≤i≤m} }) ∪{B ::= α i B | α i ; 1 ≤ i ≤ n}.
Observăm că noua gramatică nu mai este recursivă la stânga în A, dar este
recursivă la dreapta în B. Echivalenţa celor două gramatici rezultă imediat.
Exemplul 2.8 [Generarea factorialului]
Următoarea gramatică, G = (Ω, Σ, S, P), prezentată în Păun(1974), generează
factorialul numerelor naturale: Ω = {S, A, A_, A 0 , A + , X, Y, Z}, Σ = {#, a}, P =
{(S, A) ; (S, aa); (S, A_S); (S, A 0 A 0 ); (#A_, #A + ); (A + A_, A_ZA + ); (A + A 0 , A 0 ZA + );
(A + #, ZX#); (A + X, XZA + ); (A + Z, ZA + ); (ZA_, A_Z); (X#, Y#), (A 0 Y, YA 0 ), (ZY,
A 0 Y); (XY, YA_); (#Y, #A 0 ); (A 0 A_, A_A 0 ); (#Y, #a); (aA 0 , aa)}

Atunci Var(G) = 7 şi Prod(G) = 19. Măsura Simb(G) nu poate fi evaluată
deoarece G nu este o gramatică independentă de context.
Exemplul 2.9
Fie gramatica independentă de context G = (Ω, Σ, S, P), unde Ω = {S, A, B},
Σ = {a, b} şi P = {(S, aB); (S, bA); (A, a); (A, aS); (A, bAA); (B, b); (B, bS); (B,
aBB)}. Atunci Var(G) = 3, Prod(G) = 8 şi Simb(G) = 32. Fie derivarea D 1 : S → aB
→ abS → abbA → abba. Atunci Index(D 1 , G) = 1. Derivarea D 2 : S → bA → bbAA
→ bbaSA → bbaaBA → bbaaaBBA → … → bbaaabba, are indexul Index(D 2 , G)
= 3.
3. Mecanisme pentru recunoaşterea automată a
mulţimilor regulate
Exemplul 3.1
Fie Q = {q 0 , q 1 , q 2 , q 3 }, Σ = {0, 1}, F = {q 0 }. Pentru automatul M = (Q, Σ, δ,
q 0 , F), dat prin diagrama:
1
q 0
1 q 1
0 0
0
0
q 2
1 q 3
funcţia δ, definită tabelar, este:
δ 0 1
q 0 q 2 q 1
q 1 q 3 q 0
q 2 q 0 q 3
q 3 q 1 q 2
Cerinta 3.1
Cu notaţiile de mai sus, δ(q, uv) = δ(δ(q,u), v), pentru oricare u, v ∈ Σ*.
Demonstraţie. Se utilizează un raţionament inductiv după lungimea cuvântului v.
Dacă |v| = 0 atunci δ(q, uv) = δ(δ(q, u), λ) = δ(q, u). Presupunem afirmaţia
adevărată pentru cuvinte v de lungime cel mult n. Fie v de lungime n + 1, v = wa,
unde a ∈ Σ şi w ∈ Σ*. Obţinem succesiv: δ(q, uv) = δ(q, uwa) = δ(δ(q, uw), a) =
δ(δ(δ(q, u), w), a) = δ(δ(q, u), wa) = δ(δ(q, u), v).
Exemplul 3.2
Fie automatul din exemplul 3.1. Atunci:
a) δ(q 0 , 10101100) = δ(δ(q 0 , 1), 0101100) = δ(δ(q 1 , 0), 101100) =
1

δ(δ(q 3 , 1), 01100) = δ(δ(q 2 , 0), 1100) = δ(δ(q 0 , 1), 100)= δ(δ(q 1 , 1),00) =
δ(δ(q 0 , 0),0) = δ(δ(q 2 , 0), λ)= δ(q 2 , 0) = q 0 ∈ F.
b) δ(q 0 , 11101001) = δ(δ(q 0 , 1), 1101001) = δ(δ(q 1 , 1), 101001) =
δ(δ(q 0 , 1), 01001) = δ(δ(q 1 , 0), 1001) = δ(δ(q 3 , 1), 001)= δ(δ(q 2 , 0), 01)=
δ(δ(q 0 , 0), 1) = δ(δ(q 2 , 1), λ) = δ(q 2 ,1) = q 3 ∉ F.
Exemplul 3.3
Limbajul acceptat de automatul prezentat în exemplul 3.1 este constituit din
mulţimea şirurilor peste {0, 1} în care apar un număr par de ‘0’ şi un număr par de
‘1’.
Exemplul 3.4
Fie N = (Q, Σ, δ N , q 0 , F) cu Q = {A, B, C}, Σ = {a, b}, q 0 = A, F = {B, C} şi
δ N dată prin tabelul:
δ N a b
A {A, B} {B}
B {A, C} {C}
C {B, C} {A}
şi w = abababb.
Atunci, obţinem succesiv:
δ N (A, abababb) = δ N (A, bababb) ∪ δ N (B, bababb);
δ N (A, bababb) = δ N (B, ababb) = δ N (A, babb) ∪ δ N (C, babb);
δ N (B, bababb) = δ N (C, ababb) = δ N (B, babb) ∪ δ N (C, babb);
δ N (A, babb) = δ N (B, abb) = δ N (A, bb) ∪ δ N (C, bb);
δ N (B, babb) = δ N (C, abb) = δ N (B, bb) ∪ δ N (C, bb);
δ N (C, babb) = δ N (A, abb) = δ N (A, bb) ∪ δ N (B, bb);
δ N (A, bb) = δ N (B, b) = {C};
δ N (B, bb) = δ N (C, b) = {A};
δ N (C, bb) = δ N (A, b) = {B};
δ N (A,abababb) = {A, B, C}.
Observăm că F ∩ δ N (A, abababb) ≠ ∅. Deci abababb ∈ L(N).
Cerinta 3.2.
Orice limbaj acceptat de un AFD este acceptat de un AFN.
Demonstraţie. Evident.
Cerinţa 3.3.
Fie L un limbaj acceptat de un AFN. Atunci există un AFD, notat cu M,
astfel încât L(M) = L.
Demonstraţie. Fie N = (Q, Σ, δ, q 0 , F) un AFN astfel încât L(N) = L. Definim un
AFD, notat cu M = (Q M , Σ, δ M , q 0 ’, F’) unde:
Q M = P(Q); q 0 ’ = q o ; F’ = {P | P ⊆ Q, P ∩ F ≠ ∅},
iar
δ M (∅, a) = ∅;
δ M (P, a)= δ ( q,
a) ; oricare P ⊆ Q, P ≠ ∅.
U
q∈P

Este suficient să demonstrăm că δ M ({s}, w) = δ(s, w), oricare s ∈ Q şi oricare w ∈
Σ*. Dezvoltăm un raţionament inductiv. Pentru |w| = 0, afirmaţia este evidentă.
Presupunem că afirmaţia este adevărată pentru orice cuvânt de lungime k. Fie w ∈
Σ* astfel încât |w| = k + 1, w = αa, |α| = k, a ∈ Σ. Prin urmare: δ M ({s}, w) =
δ M ({s}, αa) = δ M (δ M ({s}, α)), a)= δ ( r,
a)
= δ ( r,
a)
= δ({s}, αa).
U
M
r∈δ
M ({ s},
α )
r∈δ
( s,
α )
În concluzie, w ∈ L(M) ⇔ δ(q0, w) ∩ F ≠ ∅ ⇔ δ M ({q 0 }, w) ∩ F ≠ ∅ ⇔ δ M (q o ’,
w) ∈ F’ ⇔ w ∈ L(M’).
U
Exemplul 3.5
Fie automatul finit nedeterminist din exemplul 3.4. Automatul finit
determinist asociat are este caracterizat prin tabelul:
Q M P(Q) A b
q 7’ ∅ q 7 ’ q 7 ’
q 0 ’ {A} q 3 ’ q 1 ’
q 1 ’ {B} q 4 ’ q 2 ’
q 2 ’ {C} q 5 ’ q 0 ’
q 3 ’ {A, B} q 6 ’ q 5 ’
q 4 ’ {A, C} q 6 ’ q 3 ’
q 5 ’ {B, C} q 6 ’ q 4 ’
q 6 ’ {A, B, C} q 6 ’ q 6 ’
deoarece:
δ M (q 0 ’, a) = δ M ({A}, a) = δ N (A, a) = {A, B} = q 3 ’;
δ M (q 0 ’, b) = δ M ({A}, b) = δ N (A, b) = {B} = q 1 ’;
δ M (q 1 ’, a) = δ M ({B}, a) = δ N (B, a) = {A, C} = q 4 ’;
δ M (q 1 ’, b) = δ M ({B}, b) = δ N (B, b) = {C} = q 2 ’;
δ M (q 2 ’, a) = δ M ({C}, a) = δ N (C, a) = {B, C} = q 5 ’;
δ M (q 2 ’, b) = δ M ({C}, b) = δ N (C, b) = {A} = q 0 ’;
δ M (q 3 ’, a) = δ M ({A, B}, a) = δ N (A, a) ∪ δ N (B, a) = {A, B, C} = q 6 ’;
δ M (q 3 ’, b) = δ M ({A, B}, b) = δ N (A, b) ∪ δ N (B, b) = {B, C} = q 5 ’;
δ M (q 4 ’, a) = δ M ({A, C}, a) = δ N (A, a) ∪ δ N (C, a) = {A, B, C} = q 6 ’;
δ M (q 4 ’, b) = δ M ({A, C}, b) = δ N (A, b) ∪ δ N (C, b) = {A, B} = q 3 ’;
δ M (q 5 ’, a) = δ M ({B, C}, a) = δ N (B, a) ∪ δ N (C, a) = {A, B, C} = q 6 ’;
δ M (q 5 ’, b) = δ M ({B, C}, b) = δ N (B, b) ∪ δ N (C, b) = {A, C} = q 4 ’;
δ M (q 6 ’, a) = δ M ({A, B, C},a) = δ N (A,a) ∪ δ N (B,a) ∪ δ N (C,a)={A, B, C} = q 6 ’;
δ M (q 6 ’, b) = δ M ({A, B, C},b) =δ N (A,b) ∪ δ N (B,b) ∪ δ N (C,b)={A, B, C} = q 6 ’,
iar F’ = {q 1 ’, q 2 ’, q 3 ’, q 4 ’, q 5 ’, q 6 ’}. Observăm că q 7 ’ este stare inutilă şi se poate
elimina din Q M .

4. Optimizarea automatelor finite
Algoritmul 4.1 [Determinarea stărilor accesibile 4 ]
Prin aplicarea strategiei greedy, putem obţine un şir ascendent de mulţimi cu
stări accesibile, majorat în sensul relaţiei de incluziune de mulţimea stărilor
automatului considerat.
Fie S 0 = {q 0 }. Pentru i ≥ 0, formăm S i+1 = S i ∪ {q ∈ Q - S i | există s ∈ S i şi a
∈ Σ astfel încât δ(s, a) = q}. O altă modalitate de construire a şirului ascendent
utilizează relaţia de recurenţă: S i+1 = S i ∪ {δ(s, a) | s ∈ S i , a ∈ Σ}.
Este clar că trebuie să existe k 0 , k 0 ≤ |Q| astfel încât S k0 = S k0+1 , k 0 fiind cel
mai mic număr natural cu această proprietate; în aceste condiţii S k0+j = S k0 , oricare j
≥ 1. Mulţimea stărilor accesibile este S k0 .
Intrare: Q, Σ, q 0 , δ, F
Ieşire: Q’ – mulţimea stărilor accesibile
SEQ
1. i := 0; S 0 := {q 0 };
2. do {S i+1 := S i ∪{δ(s, a) | s ∈ S i , a ∈ Σ}; i = i+1; }while(S i – S i-1 ≠ ∅);
3. Q’ = S i .
END.
Algoritmul 4.2 [Determinarea stărilor utile 5 ]
Prin aplicarea strategiei greedy, putem obţine un şir ascendent de mulţimi cu
stări utile, majorat în sensul relaţiei de incluziune de mulţimea stărilor automatului
considerat.
Fie U 0 = F. Pentru i ≥ 0, formăm U i+1 = U i ∪ {q ∈ Q - U i | există a ∈ Σ astfel
încât δ(q, a) ∈ U i }.
Este clar că trebuie să existe k 0 , k 0 ≤ |Q| astfel încât U k0 = U k0+1 , k 0 fiind cel
mai mic număr natural cu această proprietate; în aceste condiţii U k0+j = U k0 , oricare
j≥1. Mulţimea stărilor utile este U k0 .
Intrare: Q, Σ, q 0 , δ, F
Ieşire: U’ – mulţimea stărilor utile
SEQ
1. i := 0; U 0 := F;
2. do {
for a ∈ Σ do for q ∈ Q - U i do if δ(q, a) ∈ U i then U i+1 = U i ∪ {q};
i = i +1;
}while(U i – U i-1 ≠ ∅);
3. U’ = U i .
END.
4 Problema determinării stărilor accesibile este echivalentă cu problema determinării
vârfurilor unui digraf care sunt legate prin cel puţin un drum de vârful care corespunde
stării q 0 . Dacă se determină matricea existenţei drumurilor sau, echivalent, închiderea
tranzitivă a relaţiei binare asociată diagramei de tranziţie (de exemplu, folosind algoritmul
Roy-Warshal) atunci stările accesibile corespund valorii 1 în linia stării q 0 din matricea
existenţei drumurilor.
5 În unele lucrări, stările utile sunt denumite stări observabile.

Cerinta 4.1 [Lema de pompare]
Fie L un limbaj regulat. Există atunci un număr natural n astfel încât pentru
orice cuvânt w ∈ L, |w| ≥ n, w = xyz cu proprietăţile:
a) |xy| ≤ n;
b) |y| ≥ 1;
c) xy i z ∈ L pentru oricare i ≥ 0.
Demonstraţie. Se foloseşte automatul minimal care recunoaşte L. Rezultă că n este
unic determinat şi depinde numai de L. Fie M = (Q, Σ, δ, q 0 , F) astfel încât L(M) =
L şi M este automatul minimal. Considerăm n := |Q|. Fie w ∈ L, |w| ≥ n, w ∈ L, |w|
≥ n. Atunci w = a 1 a 2 … a m , m ≥ n. Fie q i = δ(q 0 , a 1 a 2 …a i ), i = 1, 2, …, m. Deoarece
w ∈ L rezultă că q m ∈ F. Cum sunt evidenţiate m + 1 stări, iar m ≥ n, rezultă că, în
şirul q 0 , q 1 , …, q m , există două stări care se repetă. Fie q s şi q t stările care se repetă
(evident 0 ≤ s < t ≤ m; se poate lua chiar s minim cu aceste proprietăţi). Se
descompune w astfel: x = a 1 a 2 …a s , y = a s+1 a s+2 …a t , z = a t+1 a t+2 …a m . Se observă că
această descompunere satisface cerinţele formulate.
2
k
Exemplul 4.1 [ a ]
2
k
Fie L = { a | k ≥ 1}. Vom arăta că L nu este limbaj regulat. Presupunem
contrariul. Fie n numărul natural dat de lema de pompare aplicată pentru
presupusul limbaj regulat L şi w ∈ L astfel încât w = a , adică |w| = n
2 > n pentru
n > 1. Atunci w = xyz cu a) |xy| ≤ n; b) |y| ≥ 1; c) xy i z ∈ L pentru oricare i ≥ 0. Fie i
= 2. Obţinem |xy 2 z| = |xyz| + |y| = n 2 + |y|. Dar n 2 < |xy 2 z| ≤ n 2 + n < (n+1) 2 . Deci
xy 2 z ∉ L, contrar celor presupuse. În concluzie L nu este limbaj regulat.
Exemplul 4.2 [a k b k ]
Fie L = {a k b k | k ≥ 1}. Presupunem că L este limbaj regulat şi fie n numărul
dat de Teorema 4.3. Fie w = a n b n = xyz. Cum |y| > 0, apar trei situaţii:
1. y = a s , 0 < s ≤ n. Pentru i = 0 se va obţine un cuvânt cu mai puţine
simboluri a decât b, deci xy 0 z ∉ L;
2. y = b t , 0 < t ≤ n. Analog, pentru i=0, rezultă xy 0 z ∉ L;
3. y = a s b t , 0 < s, t ≤ n. Pentru i = 2 se amestecă literele şi se obţine
xy 2 z = a n-s a s b t a s b t b n-t = a n b t a s b n ∉ L.
Deci L nu este limbaj regulat.
Cerinta 4.2
Fie L un limbaj acceptat de un AFD cu n stări. Atunci L ≠ ∅ ⇔ există w ∈ L
astfel încât |w| < n;
Demonstraţie. Presupunem că L este nevid. Fie w ∈ L. Notăm w 0 := w.
Dacă |w 0 | < n atunci stop, altfel aplicăm Teorema 4.3 şi rezultă
descompunerea w 0 = xyz cu proprietăţile: a) |xy| ≤ n; b) |y| ≥ 1; c) xy i z ∈ L pentru
oricare i ≥ 0. Pentru i = 0, formăm w 1 = xz ∈ L, deoarece L este acceptat de un
AFD, deci este limbaj regulat.
Continuăm cu obţinerea secvenţei, descrescătoare în lungime, w 0 , w 1 , …, w t .
Ne oprim când |w t | < n.
Implicaţia inversă (⇐) este evidentă.
2
n

Cerinta 4.3
Fie L un limbaj acceptat de un AFD cu n stări. Atunci L este infinit ⇔ există
w ∈ L, n ≤ |w| < 2n.
Demonstraţie. Fie L limbajul generat de un AFD cu n stări. Dacă limbajul este
infinit atunci, sigur există un cuvânt w ∈ L astfel încât |w| > n.
Fie w 0 := w. Conform lemei de pompare rezultă că w 0 = xyz cu proprietăţile:
a) |xy| ≤ n; b) |y| ≥ 1; c) xy i z∈L pentru oricare i ≥ 0.
Dacă |w 0 | < 2n atunci stop, altfel considerăm w 1 = xz ∈ L, pentru care |w 1 | <
|w 0 |.
Dacă |w 1 | < 2n atunci stop, altfel reluăm procesul şi vom obţine o sevenţă,
descrescătoare în lungime, w 0 , w 1 , …, w t . Ne oprim când |w t | < n.
Reciproc, dacă în L există un cuvânt w astfel încât n ≤ |w| < 2n, atunci prin
aplicarea lemei de pompare şi considerarea cuvintelor xy i z, i ≥ 0, obţinem o
mulţime infinită de cuvinte ale limbajului, deci L este infinit.
Algoritmul 4.3
Fie L un limbaj acceptat de un AFD cu n stări. Pentru a verifica dacă L ≠ ∅,
se poate aplica următorul algoritm.
Intrare: Q, Σ, q 0 , δ, F
Ieşire: “DA” dacă L este nevid; “NU” în caz contrar.
SEQ
1. i := 0; S 0 := {q 0 };
2. do {S i+1 := S i ∪{δ(s, a) | s ∈ S i , a ∈ Σ}; i = i + 1;} while(S i – S i-1 ≠ ∅);
3. if S i ∩ F = ∅ then write “NU”; else write “DA”.
END.
Se observă că mulţimea S i , de la pasul 3, conţine stările accesibile. Este clar că
dacă nici o stare finală nu este accesibilă atunci limbajul L este vid.
Algoritmul 4.4
Fie L un limbaj acceptat de un AFD cu n stări. Pentru a verifica dacă L ≠ ∅,
se poate aplica următorul algoritm.
Intrare: Q, Σ, q 0 , δ, F
Ieşire: “DA” dacă L este infinit; “NU” în caz contrar.
SEQ
1. i := 0; S 0 := {q 0 };
2. do {S i+1 := S i ∪{δ(s, a) | s ∈ S i , a ∈ Σ}; i = i + 1; }while(i < n);
3. do{
if S i ∩ F ≠ ∅ then write “DA”; stop.
S i+1 := S i ∪{δ(s, a) | s ∈ S i , a ∈ Σ}; i = i + 1;
}while(i < 2n);
4. write “NU”.
END.

5. Transformări asupra gramaticilor formale
Cerinta 5.1 [Eliminarea redenumirilor]
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică de tipul 2 sau 3. Există o gramatică G 1 = (Ω,
Σ, S, P 1 ) de acelaşi tip cu G, echivalentă cu G şi fără redenumiri.
Demonstraţie. Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică de tipul 2 sau 3 şi P’ := {A ::= w |
w ∉ Ω, A ::= w ∈ P} mulţimea regulilor din P care nu sunt redenumiri. Fie P” := {
A ::= w | A ∈Ω, există B, B ∈ Ω şi A ⎯ ⎯→
+ B (în G, derivare în cel puţin un pas),
iar B → w ∈ P’} o mulţime de reguli care nu sunt redenumiri. Formăm gramatica
G1 = (Ω, Σ, S, P 1 ) cu P 1 := P’ ∪ P”. Evident G 1 este fără redenumiri şi de acelaşi tip
cu G. Demonstrăm că G şi G 1 sunt echivalente.
Fie w ∈ L(G), deci S ⎯ ⎯→
* w, printr-o derivare stângă (conform lemei 5.1),
în G, de forma: S = w0 ⎯ ⎯→
* w 1 ⎯ ⎯→
* w2 ⎯ ⎯→
* … ⎯ ⎯→
* w
⎯ ⎯→
*
k = w, derivările
w i w i+1 , i = 0, 1, 2, …, k - 1 fiind de lungime nenulă, iar pentru fiecare din
ele este posibilă numai una din situaţiile:
a) w ⎯ ⎯→
*
i w i+1 este o derivare de lungime 1 obţinută prin aplicarea unei
reguli din P’. Deci w i ⎯ ⎯→
* wi+1, în gramatica G 1 .
b) w ⎯→
* i ⎯ w i+1 este o derivare de lungime cel puţin egală cu 2, astfel încât
există v ∈ (Ω∪Σ) * , pentru care w i ⎯→
* v (derivare stângă cu
redenumiri) şi v → wi+1, derivare printr-o regulă din P’. Prin aplicarea
unei reguli din P” referitor la derivarea iniţială w ⎯→
*
i v se poate găsi
w i ⎯ ⎯→
* v în G1. Prin cuplarea derivărilor rezultă că este posibil ca S
⎯ ⎯→
* w în G 1 .
Reciproca este imediată.
Cerinţa 5.2 [Determinarea simbolurilor neterminale care “generează” cuvântul
vid]
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică cu producţiile de forma (p, q) ∈ Ωx(Ω∪Σ)*.
Şirul de mulţimi generat prin:
U 0 = ∅;
U m+1 = U m ∪ {X | X ∈ Ω, există w, w ∈ U m *, X ::= w ∈ P}
are următoarele proprietăţi:
a) U 0 ⊆ U 1 ⊆ … U m ⊆ … ⊆ Ω şi există k, număr natural, astfe încât U k =
U k+1 .
b) Dacă U k = U k+1 , atunci U k = U k+i , pentru oricare i > 0.
c) Fie k* cel mai mic număr natural pentru care U k* = U k* +1 . Atunci
U k* = {X | X ∈ Ω şi X ⎯ ⎯→
* λ}.
Demonstraţie. Proprietatea a) rezultă din construcţia şirului de mulţimi, iar
proprietatea b) se poate demonstra uşor prin inducţie.
Vom demonstra proprietatea c). Mai general, vom arăta că
U m ⊆ {X | X ∈ Ω şi X ⎯ ⎯→
* λ}, pentru oricare m număr natural.
Dacă m = 0, este evident. Presupunem că U ⎯ ⎯→
*
m ⊆ {X | X ∈ Ω şi X λ} şi
fie X ∈ U m+1 . Dacă X ∉ U m rezultă că există w, w∈U m *, X ::= w ∈ P. Sunt posibile
două cazuri:
Cazul 1: w = λ. Deci X ⎯ ⎯→
* λ.

Cazul 2. w ≠ λ. Atunci w = x 1 x 2 …x r , unde x i ∈ U m , i = 1, 2, …, r. Din ipoteza
de inducţie rezultă că x i ⎯ ⎯→
* λ, i = 1, 2, …, r. Deci X ⎯ ⎯→
* λ.
⎯→
*
În ambele cazuri a rezultat că X ∈{X | X ∈ Ω şi X ⎯ λ}.
În concluzie U k* ⊆ {X | X ∈ Ω şi X ⎯ ⎯→
* λ }.
Reciproc, presupunem că U ⎯ ⎯→
*
k* ≠ ∅ şi arătăm că {X | X ∈ Ω şi X λ} ⊆
U ⎯ ⎯→
*
k* , prin inducţie completă în raport cu lungimea derivării X λ.
Dacă derivarea X ⎯ ⎯→
* λ este de lungime 1 atunci X ::= λ este producţie
din P, deci X ∈ U1 ⊆ U k* .
Presupunem că pentru orice derivare X ⎯ ⎯→
* λ cu lungimea cel mult m
rezultă X ∈ Uk*. Fie X ⎯ ⎯→
* λ o derivare de lungime m+1. Punem în evidenţă
primul pas al derivării. Rezultă că există v astfel încât X ::= v şi X → v ⎯ ⎯→
* λ,
unde derivarea v ⎯→
* λ are lungimea m. Evident pentru m ≠ 0 trebuie ca v ≠ λ.
Prin urmare v = v1v 2 …v r este o scriere a lui v cu elemente v i ∈ Ω, i = 1, 2, …, r.
Dacă ar exista un i pentru care v i ∈ Σ, acesta nu ar mai putea fi eliminat pe
parcursul derivării v ⎯ ⎯→
* λ. Conform propoziţiei 2.1 rezultă că v ⎯ ⎯→
*
i λ, i =
1, 2, …, r. Prin aplicarea ipotezei de inducţie rezultă că v i ∈ U k* şi deci v ∈ U k* .
Astfel obţinem X ∈ U k* .
Cerinţa 5.3 [Limbaje independente de context generate de gramatici cu λ -
producţii]
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică cu producţiile de forma (p, q) ∈ Ωx(Ω∪Σ)*.
Atunci L(G) este un limbaj independent de context.
Demonstraţie. Fie P 1 = {Y ::= w 1 | există w ∈ (Ω∪Σ) + , cu Y ::= w astfel încât w 1 se
obţine din w prin ştergerea a zero, unu sau mai multor simboluri X ∈ Ω pentru care
X ⎯ ⎯→
* λ} şi G 1 = (Ω, Σ, S, P 1 ).
Evident, gramatica G 1 este independentă de context, iar L(G 1 ) = L(G) – {λ}.
Ceinţa 5.4 [Simboluri care generează cuvinte peste Σ 6 ]
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică independentă de context cu L(G) ≠ ∅. Există
o gramatică G 1 = (Ω 1 , Σ, S, P 1 ) independentă de context, echivalentă cu G, astfel
încât pentru oricare X ∈ Ω 1 , mulţimea {w ∈ Σ* | X ⎯→
* w} este nevidă.
Demonstraţie. Construim şirul de mulţimi U 0 , U 1 , U 2 , … folosind următorul
algoritm:
1. U 0 := ∅; i := 1;
2. U i := U i-1 ∪ {X | X ::= w ∈ P, w ∈ (U i ∪ Σ)*}
3. Dacă U i ≠ U i-1 atunci i := i + 1 şi se continuă cu pasul 2.
4. Se consideră Ω 1 = U i , P 1 se obţine din P prin eliminarea producţiilor
în care apare cel puţin un simbol neterminal din Ω - Ω 1 .
Să observăm că U 0 ⊆ U 1 ⊆ … ⊆ U m ⊆ … ⊆ Ω (numărul maxim de aplicări
al pasului 2 este maximum card (Ω)), deci există k astfel încât U k = U k+1 şi U k =
U k+p pentru oricare p > 0. Indicele i furnizat de algoritm corespunde celui mai mic
6 Acestea se mai numesc şi simboluri productive. Prin analogie cu sistemele AFD,
simbolurile productive vor fi numite şi simboluri utile. Simbolurile care sunt în acelaşi timp
accesibile (definiţia 5.3) şi productive le vom numi simboluri utilizabile, precum în
Atanasiu (1987).

k pentru care U k = U k+1 . Notăm această valoare prin k*. Deci se poate scrie că U 0 ⊆
U 1 ⊆ … ⊆ U k* .
De asemenea, pentru oricare i = 1, 2, …, k*, dacă X ∈ U i atunci există w ∈
Σ* astfel încât X ⎯→
* w. Dacă i = 1, afirmaţia rezultă din construcţia mulţimii
U1. Presupunem proprietatea adevărată pentru un indice i şi considerăm X ∈ U i+1 .
Dacă X ∈ U i demonstraţia este încheiată. Considerăm cazul X ∈ U i+1 – U i , deci
există producţia X ::= X 1 X 2 …X r , cu X i ∈ U i ∪ Σ, i = 1, 2, …, r. Dacă X i ∈ Σ,
considerăm w ⎯ ⎯→
*
i = X i ; altfel, prin ipoteza de inducţie există w i astfel încât X i
w i . Formăm derivarea X → X 1 X 2 …X r ⎯ ⎯→
* w1w 2 …w r şi luăm w = w 1 w 2 …w r.
Pentru a completa demonstraţia propoziţiei este suficient să arătăm că dacă
X ⎯→
n w (derivare în n paşi) şi w ∈ Σ* atunci există i astfel încât X ∈ U i . Vom
proceda prin inducţie după n (lungimea derivării).
Pentru n = 1, din construcţie va rezulta că X ∈ U 1 . Să presupunem afirmaţia
adevărată pentru derivări de lungime cel mult n şi să considerăm o derivare de
lungime n + 1. Punem în evidenţă primul pas al derivării, adică X → X 1 X 2 …X r
⎯→
n
n
w . Conform propoziţiei 2.1 rezultă că w = w 1 w 2 …w r cu X p ⎯⎯→
i w p (p =
1, 2, …, r). Dacă X p ∈ Σ (n p = 0) atunci luăm j[p] = 0, adică X p ∈ U 0 . Dacă X p ∈ Ω
atunci, prin utilizarea ipotezei de inducţie rezultă că există j[p] astfel încât X p ∈
U j[p] ; Cum şirul construit este ascendent, putem lua i = 1+ max{j[1], j[2], …, j[r]}
şi rezultă X ∈ U i .
Pe baza afirmaţiilor de mai sus se deduce echivalenţa gramaticilor G şi G 1 .
Cerinţa 5.5 [Decidabilitatea problemei L(G) ≠ ∅]
Există un algoritm care pentru o gramatică independentă de context stabileşte
dacă L(G) = ∅ sau L(G) ≠ ∅.
Demonstraţie. Se poate utiliza următorul algoritm:
1. U 0 := ∅; i := 1;
2. U i := U i-1 ∪ {X | X ::= w ∈ P, w ∈ (U i ∪ Σ)*}
3. Dacă U i ≠ U i-1 atunci i := i + 1 şi se continuă cu pasul 2.
4. Dacă S ∈ U i atunci L(G) ≠ ∅ altfel L(G) = ∅.
Justificarea corectitudinii algoritmului urmează paşii prezentaţi în cadrul
demonstraţiei propoziţiei 5.5.
Cerinţa 5.6 [Determinarea simbolurilor accesibile]
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică independentă de context cu L(G) ≠ ∅. Există
G 1 = (Ω 1 , Σ 1 , S, P 1 ) echivalentă cu G care nu are simboluri inaccesibile.
Demonstraţie. Vom demonstra că algoritmul de mai jos va determina simbolurile
accesibile. Paşii algoritmului sunt:
1. U 0 := {S}; i := 1;
2. U i := U i-1 ∪ {X | există A ::= uXv ∈ P, astfel încât A ∈ U i-1 }.
3. Dacă U i ≠ U i-1 atunci i:= i+1 şi se continuă de la pasul 2.
4. Fie k* valoarea lui i obţinută la acest pas. Formăm Ω 1 := Ω ∩ U k* , Σ 1 :=
Σ ∩ U k* şi P 1 producţiile lui P care au în ambii membrii numai simboluri
din U k* .
Cum U k* ⊆ Ω ∪ Σ, are cardinal finit, rezultă că procesul descris se termină în timp
finit. Se arată uşor că G şi G 1 sunt echivalente şi că pentru oricare A∈ Ω 1 ∪ Σ 1
există u şi v din (Ω 1 ∪Σ 1 )* astfel încât S ⎯ ⎯→
* uAv.

Cerinţa 5.7
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică independentă de context cu L(G) ≠ ∅.
Atunci G este echivalentă cu o gramatică G 1 fără simboluri neutilizabile.
Demonstraţie. Asupra gramaticii G se aplică propoziţia 5.5 şi se determină G 1
echivalentă cu G care are numai simboluri neterminale care pot “genera” cuvinte
peste alfabetul terminal (aşa numitele simboluri productive sau utile). Apoi, asupra
gramaticii G 1 se aplică propoziţia 5.6 pentru a obţine G 2 ce are numai simboluri
accesibile din simbolul de start. Dacă, gramatica nu are redenumiri şi nici λ-
producţii, atunci s-a obţinut o gramatică proprie (definiţia 5.4, teorema 5.1).
Cerinţa 5.8
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică independentă de context cu L(G) ≠ ∅. Există
G 1 = (Ω 1 , Σ 1 , S, P 1 ) echivalentă cu G care este gramatică proprie.
Exemplul 5.1
Simbolurile neutilizabile ale gramaticii cu mulţimea de reguli {(S, A), (S, B),
(A, aB), (A, bS), (A, b), (B, AB), (B, Ba), (C, AS), (C, b)} sunt B, a şi C.
Exemplul 5.2
După eliminarea λ-producţiilor, gramatica cu regulile {(S, aSbS), (S, bSaS),
(S, λ)} devine echivalentă cu gramatica cu regulile {(S’, S), (S’, λ), (S, aSbS), (S,
aSb), (S, abS), (S, ab), (S, bSaS), (S, baS), (S, bSa), (S, ba)}.
Exemplul 5.3
Fie gramatica G cu mulţimea de reguli P = {(S, A), (A, bS), (A, b)}.
Gramatica proprie echivalentă cu G are mulţimea regulilor P’ = {(S, bS), (S, b)},
iar A este un simbol neutilizabil.
6. Forme normale. Lema Bar-Hillel
Observaţia 6.1
Este suficient să se lucreze cu mecanisme generative echivalente cu
gramaticile proprii (obţinute după transformările necesare).
Cerinta 6.1
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică proprie. Atunci există G 1 gramatică în forma
normală Chomsky echivalentă cu G.
Demonstraţie. Prin aplicarea propoziţiei 2.2 putem considera că mulţimea P
conţine numai reguli de forma A ::= X 1 X 2 …X m (m > 1) şi A ::= a, cu A, X 1 , …, X m
∈ Ω, a ∈ Σ. Regulile pentru care m = 2 rămân nemodificate în P 1 . Dacă m > 2,
considerăm m - 2 neterminale noi şi pentru regula curentă adaugăm în P 1 cele m - 1
reguli: A ::= X 1 D 1 , D 1 ::= X 2 D 3 , …, D m-3 ::= X m-2 D m-2 , D m-2 ::= X m-1 X m .
Este uşor de demonstrat că după prelucrarea tuturor regulilor din P, gramatica
obţinută este în forma normală Chomsky şi este echivalentă cu G.
Exemplul 6.1
Fie gramatica cu regulile S ::= bA | aB; A ::= bAA | aS | a; B ::= aBB | bS | b.
Introducem neterminalele noi X a şi X b . Formăm regulile X a ::= a şi X b ::= b. Apoi

modificăm regulile gramaticii iniţiale cu excepţia regulilor A ::= a şi B ::= b.
Obţinem noua mulţime de reguli:
S ::= X b A | X a B;
A ::= X b AA | X a S | a;
B ::= X a BB | X b S | b;
X a ::= a;
X b ::= b.
Introducem noi simboluri neterminale şi modificăm regulile care au în
membrul drept cel puţin trei simboluri. Fie Y 1 şi Y 2 simboluri neterminale noi.
Gramatica în forma normală Chomsky, echivalentă cu gramatica iniţială, are
regulile:
S :;= X b A | X a B;
A ::= X b Y 1 | X a S | a;
B ::= X a Y 2 | X b S | b;
Y 1 ::= AA;
Y 2 ::= BB;
X a ::= a;
X b ::= b.
Cerinta 6.2
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică de tip 2 în forma normală Chomsky. Dacă
derivarea A → w 1 → … → w n , n ≥ 1, w n ∈ Σ*, are proprietatea că cel mai lung lanţ
de la rădăcină la vârfurile terminale în arborele de derivare asociat ei în gramatica
G A = (Ω, Σ, A, P) are k noduri, atunci |w n | ≤ 2 k-1 .
Demonstraţie. Aplicăm metoda inducţiei în raport cu k. Cum n ≥ 1 rezultă k ≥ 2.
Pentru k = 2 rezultă n = 1 şi w 1 ∈ Σ, deoarece G este în forma normală Chomsky,
deci |w 1 | ≤ 2 k-1 . Presupunem afirmaţia adevărată pentru orice întreg m, 2 ≤ m ≤ k,
unde k este un întreg fixat, k ≥ 2. Considerăm o derivare A → w 1 → … → w n , n≥1,
w n ∈ Σ*, care are proprietatea că cel mai lung lanţ de la rădăcină la vârfurile
terminale în arborele de derivare asociat ei are k + 1 noduri. Primul pas al derivării
constă în aplicarea unei reguli de forma A ::= XY cu X şi Y neterminale (gramatica
este în forma normală Chomsky).
Prin aplicarea ipotezei de inducţie asupra arborilor de derivare cu rădăcinile
X şi Y obţinem
|w n | ≤ 2 k-1 + 2 k-1 = 2 k ,
deci
|w n | ≤ 2 (k+1)-1 .
Cerinta 6.3
Fie gramatica proprie G = (Ω, Σ, S, P) şi A ::= α 1 Bα 2 o A-producţie şi B ::=
β 1 | β 2 | … β k toate B-producţiile din mulţimea P. Considerăm G 1 = (Ω, Σ, S, P 1 )
unde P 1 = (P – {A ::= α 1 Bα 2 }) ∪ {A ::= α 1 β 1 α 2 | α 1 β 2 α 2 |… | α 1 β k α 2 }. Atunci G şi
G 1 sunt gramatici echivalente.
Demonstraţie. Se arată, prin dublă incluziune, că L(G) = L(G 1 ).

Cerinta 6.4
Fie gramatica fără λ-producţii şi numai cu simboluri utilizabile, G = (Ω, Σ, S,
P) şi A ::= Aα 1 | Aα 2 … | Aα k toate A-producţiile recursive la stânga şi A ::= β 1 |
β 2 | … β m restul A-producţiilor din mulţimea P. Fie X un simbol nou, X ∉ Ω ∪ Σ,
Ω 1 = Ω ∪ {X} şi gramatica G 1 = (Ω 1 , Σ, S, P 1 ), unde P 1 se obţine din P prin
înlocuirea tuturor A-producţiilor cu regulile: A ::= β 1 | β 2 | … β m , A ::= β 1 X | β 2 X |
… β m X şi X ::= α 1 | α 2 … | α k , X ::= α 1 X | α 2 X … | α k X.
Atunci G şi G 1 sunt echivalente.
Demonstraţie. Se arată că L(G) = L(G 1 ).
Cerinta 6.5
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică proprie. Atunci există gramatica G*, în
forma normală Greibach, echivalentă cu G.
Demonstraţie. Se aplică algoritmul:
Intrare: Gramatica G 1 în forma normală Chomsky, nerecursivă la stânga, fără λ-
producţii, Ω 1 = {A 1 , A 2 , …., A m }, S 1 ≡ A 1 .
Ieşire: Gramatica G* în forma normală Greibach.
SEQ
1. P* := P 1 ; i := m;
2. while i > 1 do
SEQ
i := i - 1;
while (există j, i < j ≤ m, A i ::= A j α în P*) do
P* := (P* - {A i ::= A j α}) ∪ {A i ::= βα | A j ::= β ∈ P*}
END
3. for indici i ai simbolurilor Y do
while (există j, 1 ≤ j ≤ m, Y i ::= A j α ∈ P*) do
P* := (P* - { Y i ::= A j α }) ∪ {Y i ::= βα | A j ::= β ∈ P*}
END.
Exemplul 6.2
Fie gramatica G, cu simbolurile neterminale numerotate şi regulile: A 1 ::=
A 2 A 3 ; A 2 ::= A 3 A 1 | b; A 3 ::= A 1 A 2 | a.
Se observă că gramatica G, deşi are reguli de tip FNC, este recursivă în mai
mulţi paşi.
Considerăm regula A 3 ::= A 1 A 2 şi o înlocuim cu A 3 ::= A 2 A 3 A 2 , prin
aplicarea lemei 6.1. Observăm că în continuare persistă recursivitatea în mai mulţi
paşi. Considerăm regula A 3 ::= A 2 A 3 A 2 şi o înlocuim, folosind lema 6.1, cu regulile
A 3 ::= A 3 A 1 A 3 A 2 | bA 3 A 2 . Observăm că am ajuns la reursivitate într-un singur pas
şi putem aplica lema 6.2. Eliminăm regula A 3 ::= A 3 A 1 A 3 A 2 şi introducem regulile
A 3 ::= bA 3 A 2 Y 3 | aY 3 ; Y 3 ::= A 1 A 3 A 2 Y 3 | A 1 A 3 A 2 . Am obţinut următoarea mulţime
de reguli:
A 1 ::= A 2 A 3 ;
A 2 := A 3 A 1 | b;
A 3 ::= bA 3 A 2 Y 3 | aY 3 | bA 3 A 2 | a
Y 3 ::= A 1 A 3 A 2 Y 3 | A 1 A 3 A 2 .

În continuare aplicăm algoritmul din demonstraţia teoremei 6.3. Eliminăm
regula A 2 ::= A 3 A 1 şi adăugăm regulile: A 2 ::= bA 3 A 2 Y 3 A 1 | aY 3 A 1 | bA 3 A 2 A 1 | aA 1 .
Observăm că A 2 ::= b rămâne pe loc. Apoi regula A 1 ::= A 2 A 3 se elimină şi se
introduc regulile: A 1 ::= bA 3 A 2 Y 3 A 1 A 3 | aY 3 A 1 A 3 | bA 3 A 2 A 1 A 3 | aA 1 A 3 | bA 3 . Până
acum am aplicat pasul 2 cu indicii i =2 şi 1.
Aplicăm, în continuare, pasul 3 pentru Y 3 . Astfel regulile
Y 3 ::= A 1 A 3 A 2 Y 3 | A 1 A 3 A 2
se înlocuiesc cu
Y 3 ::= bA 3 A 2 Y 3 A 1 A 3 A 3 A 2 Y 3 | aY 3 A 1 A 3 A 3 A 2 Y 3 | bA 3 A 2 A 1 A 3 A 3 A 2 Y 3 |
aA 1 A 3 A 3 A 2 Y 3 | bA 3 A 3 A 2 Y 3 | bA 3 A 2 Y 3 A 1 A 3 A 3 A 2 | aY 3 A 1 A 3 A 3 A 2 |
bA 3 A 2 A 1 A 3 A 3 A 2 | aA 1 A 3 A 3 A 2 | bA 3 A 3 A 2 .
Gramatica G*, în forma normală Greibach, echivalentă cu gramatica dată, are
regulile:
A 1 ::= bA 3 A 2 Y 3 A 1 A 3 | aY 3 A 1 A 3 | bA 3 A 2 A 1 A 3 | aA 1 A 3 | bA 3 ;
A 2 ::= bA 3 A 2 Y 3 A 1 | aY 3 A 1 | bA 3 A 2 A 1 | aA 1 | b;
A 3 ::= bA 3 A 2 Y 3 | aY 3 | bA 3 A 2 | a
Y 3 ::= bA 3 A 2 Y 3 A 1 A 3 A 3 A 2 Y 3 | aY 3 A 1 A 3 A 3 A 2 Y 3 | bA 3 A 2 A 1 A 3 A 3 A 2 Y 3 |
aA 1 A 3 A 3 A 2 Y 3 | bA 3 A 3 A 2 Y 3 | bA 3 A 2 Y 3 A 1 A 3 A 3 A 2 | aY 3 A 1 A 3 A 3 A 2 |
bA 3 A 2 A 1 A 3 A 3 A 2 | aA 1 A 3 A 3 A 2 | bA 3 A 3 A 2 .
Trebuie observat că, în general, procesul de normalizare, conduce la creşterea
numărului neterminalelor dar şi a regulilor. Astfel cresc măsurile Var şi Prod.
Cerinta 6.6 [Lema Bar-Hillel]
Fie L un limbaj independent de context oarecare. Atunci există numerele
naturale p = p(L) şi q = q(L) astfel încât orice cuvânt w ∈ L cu |w| > p se poate
descompune sub forma w = uvxyz, unde |vxy| ≤ q, vy ≠ λ şi pentru oricare număr
natural i, uv i xy i z ∈ L.
Demonstraţie. Dacă λ ∈ L atunci se ia p = p(L’) şi q = q(L’) unde L’ = L – {λ}.
Presupunem că λ ∉ L şi fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică de tip doi în forma
normală Chomsky astfel încât L = L(G). Dacă |Ω| = n, luăm p = 2 n şi q = 2 n-1 . Fie
w∈ L cu |w| > p. Folosind teorema 6.2 rezultă că cel mai lung lanţ de la rădăcină la
vârfurile terminale, din arborele de derivare al cuvântului w, pornind de la simbolul
de start S, conţine cel puţin n + 2 noduri. În caz contrar ar rezulta că |w| ≤ 2 n .
Deoarece |Ω| = n rezultă că cel mai lung lanţ conţine două noduri n 1 şi n 2
etichetate cu acelaşi neterminal X. Presupunem că nodul n 1 este mai aproape de
rădăcina S decât nodul n 2 şi fie D 1 subarborele de rădăcină n 1 . Evident frontiera lui
D 1 , notată cu a, conform teoremei 6.2, are lungimea (notată cu |a|) cel mult 2 n+1 . Fie
D 2 subarborele cu rădăcina n 2 şi frontiera x. Atunci există v ∈ Σ* şi y ∈ Σ* astfel
încât a = vxy. Evident, v şi y nu pot fi simultan vide pentru că regula care se aplică
din n 1 este de forma X ::= YZ, cu Y şi Z neterminale. Există şi cuvintele u şi z
peste Σ astfel încât S ⎯ ⎯→
* uXy ⎯ ⎯→
* uvXyz ⎯ ⎯→
* uv
2 Xy 2 z ⎯ ⎯→
* … ⎯ ⎯→
*
uv
i xy i z, i≥1. De asemenea, |vxy| = |a| ≤ q, iar vy ≠ λ şi uv i xy i z∈L pentru orice i ≥ 0.
Exemplul 6.3
Un exemplu simplu de limbaj care nu este independent de context este L =
{a n b n c n | n ≥ 1}. Prin reducere la absurd, putem presupune contrariul, adică L este
un limbaj independent de context. Atunci există constantele p şi q date de lema

Bar-Hillel. Se alege un număr natural k > p / 3 şi cuvântul w = a k b k c k de lungime
mai mare ca p. Din descompunerea furnizată de teorema 6.4 rezultă că v şi y conţin
cel mult una din literele a, b sau c; altfel prin iterare nu s-ar mai păstra ordinea
alfabetică. Totuşi prin iterare ar trebui să se obţină acelaşi număr de simboluri a, b
şi c, ori nu pentru orice i ≥ 0 se poate obţine acest lucru. Rezultă că L nu este un
limbaj independent de context.
Cerinta 6.7
Fie G o gramatică independentă de context. Atunci L(G) este infinit dacă şi
numai dacă există w ∈ L(G) astfel încât p < |w| ≤ p + q, unde p şi q sunt numerele
furnizate de teorema 6.4.
Demonstraţie. Dacă L(G) este infinit rezultă că există w ∈ L(G) cu |w| > p,
deoarece Σ este o mulţime finită. Dacă |w| ≤ p + q atunci stop, altfel aplicarea
teoremei 6.4 şi alegerea lui i = 0, în procesul iterativ conduce la un cuvânt mai
scurt, dar de lungime mai mare ca p. După un număr finit de paşi se ajunge la un
cuvânt cu lungimea cel mult p + q. Afirmaţia reciprocă rezultă din aplicarea
teoremei 6.4 şi generarea unui şir infinit de cuvinte prin iteraţie.
7. Gramatici şi automate
Cerinta 7.1
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică liniară la dreapta 7 . Atunci există un automat
finit nedeterminist (deci şi unul determinist) M astfel încât L(M) = L(G).
Demonstraţie. Fără a restrânge generalitatea putem presupune că simbolul S nu
apare în membrul drept al nici unei reguli din P, iar fiecare regulă are una din
formele: A ::=a şi A ::= aB cu A, B ∈ Ω şi a ∈ Σ.
Fie X ∉ Ω ∪ Σ şi automatul finit nedeterminist M = (Ω∪{X}, Σ, δ, S, S 1 )
unde δ : (Ω ∪ {X})xΣ → P(Ω ∪ {X}) este definită prin:
⎧{
A | Y :: = aA∈
P}
∪{
X},
Y ≠ X , Y :: = a ∈ P
⎪
δ ( Y,
a)
= ⎨{
A | Y :: = aA∈
P},
Y ≠ X , Y :: = a ∉ P
⎪
⎩∅,
Y = X ,
iar S 1 = {S, X} dacă S ::= λ ∈ P şi S 1 = {X} dacă S ::= λ ∉ P.
Vom demonstra că L(M) = L(G), prin dublă incluziune. Fie w ∈ Σ*, w ≠ λ,
astfel încât w = a 1 a 2 …a n , n ≥ 1 şi a i ∈ Σ, i = 1, 2, …, n. Atunci w ∈ L(G) dacă şi
numai dacă există producţiile D i ::= a i D i+1 ∈ P, cu D 1 = S, i = 1, 2, …, n-1 şi D n ::=
a n ∈ P. Deci există stările s 1 , s 2 , …, s n+1 , unde s n+1 = X, iar s 1 = S, s n+1 ∈ S 1 , s i+1 ∈
δ(s i , a i ), i = 1, 2, …, n, echivalent cu w ∈ L(M). Este uşor de văzut că dacă w ∈
L(M) atunci w ∈ L(G).
Caz special: Dacă w = λ şi w ∈ L(G) atunci există unica producţie S ::= λ ∈
P, deci S 1 = {S, X}, adică {S} ∩ {S 1 } ≠ ∅, ceea ce este echivalent cu λ ∈ L(M).
Cerinta 7.2
Orice limbaj generat de o gramatică liniară 8 este regulat.
7 A se vedea şi propoziţia 2.5 (manual).

Demonstraţie. Se aplică teorema 3.1, teorema 3.2 şi teorema 7.1 (din manual)
Exemplul 7.1
Fie gramatica G = (Ω, Σ, S, P), unde Ω = {S, A, B}, Σ = {a, b} şi P = { S ::=
aA | a, A ::= bB, B ::= aA | a}.
Un AFN care recunoaşte limbajul L(G) are stările {S, A, B, X}, mulţimea
stărilor finale este {X}, iar funcţia de tranziţie este:
δ A B
S {A, X} ∅
A ∅ {B}
B {A, X} ∅
X ∅ ∅
Cerinta 7.3
Pentru orice limbaj regulat L există o gramatică liniară G astfel încât L=L(G).
Demonstraţie. Fie automatul finit determinist M = (Q, Σ, δ, q 0 , F) astfel încât L =
L(M). Gramatica echivalentă G = (Ω, Σ, S, P) se construieşte astfel: Ω = Q, S = q 0 ,
iar pentru λ ∉ L(M) mulţimea regulilor P este {p ::= aq | δ(p, a) = q} ∪ {p ::= a |
δ(p, a) ∈ F}. Dacă λ ∈ L(M) atunci q 0 ∈ F şi adăugăm un simbol nou S, ca simbol
de start şi regulile S ::= q 0 | λ. Gramatica obţinută este echivalentă cu o gramatică
liniară prin eliminarea redenumirilor şi definiţia 5.1(manual) Egalitatea L(G) =
L(M) rezultă imediat.
Exemplul 7.2
Fie automatul dat prin tabelul
δ a b C
q 0 q 1 Q 0
q 1 q 1 q 2
q 2 q 2 Q 0
Cu starea iniţială q 0 şi F = {q 0 }. Deoarece λ ∈ L(M), în prima fază, rezultă
următoarele reguli:
S ::= q 0 | λ;
q 0 ::= aq 1 | cq 0 | c;
q 1 ::= aq 1 | bq 2 ;
q 2 ::= bq 2 | cq 0 | c.
După eliminarea redenumirilor se obţine:
S ::= aq 1 | cq 0 | c | λ;
q 0 ::= aq 1 | cq 0 | c;
8 Din acest motiv gramaticile liniare se mai numesc şi gramatici regulate. Rezultă, de aici,
că familia limbajelor de tip 3 conţine limbajele finite şi este închisă la operaţiile de
reuniune, produs şi stelare (*). Astfel, limbajele de tip 3 sunt descriptibile cu ajutorul
expresiilor regulate, generabile de gramatici liniare şi recunoscute de sisteme tranziţionale
şi deci de automate finite.

q 1 ::= aq 1 | bq 2 ;
q 2 ::= bq 2 | cq 0 | c.
Un automat pushdown (cu memorie locală gestionată prin disciplina LIFO
[eng. Last In First Out] – numită memorie pushdown) citeşte banda de intrare (de
la stânga la dreapta) folosind un număr de stări interne (ca şi un AFD sau AFN),
dar tranziţia, în general nedeterministă, se face nu numai în raport cu starea
anterioară şi informaţia curentă de pe banda de intrare, ci şi în funcţie de cea mai
recentă informaţie stocată în memoria auxiliară (prelucrată ca o stivă de capacitate
infinită).
Observaţia 7.1
Mişcarea automatului este posibilă numai dacă memoria stivă este nevidă.
Exemplul 7.3
Fie Q = {q 0 , q 1 , q 2 }, Σ = {a, b}, Γ = {a, Z 0 }, F = {q 0 } şi funcţia de tranziţie δ
definită astfel: δ(q 0 , a, Z 0 ) = {(q 1 , aZ 0 )}, δ(q 1 , a, a) = {(q 1 , aa)}, δ(q 1 , b, a) = {(q 2 ,
λ)}, δ(q 2 , b, a) = {(q 2 , λ)}, δ(q 2 , λ, Z 0 ) = {(q 0 , λ)}, δ(q, x, Z 0 ) = ∅ în celelalte
cazuri. Fie M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , Z 0 , F). Se poate arăta că L(M) = {a n b n | n ≥ 0}.
Cerinta 7.4 [Un limbaj recunoscut de un APD cu stări finale poate fi recunoscut şi
de un APD cu memoria pushdown vidă]
Fie L(M) limbajul recunoscut de automatul pushdown M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , Z 0 ,
F). Atunci există un APD, notat M’=(Q’, Σ, Γ’, δ’, q init , X, ∅), care recunoaşte
L(M) cu memoria pushdown vidă, adică L λ (M’) = L(M).
Demonstraţie. Fie Q’ = Q ∪ {q init , q λ } unde q init şi q λ sunt două elemente distincte
şi noi în raport cu Q. De asemenea, considerăm X un simbol nou în raport cu Γ şi
formăm Γ’ = Γ∪{X}. Dacă definim δ’ ca mai jos atunci se poate demonstra, prin
dublă incluziune – vezi Popovici şi colectiv(1991), că L λ (M’) = L(M). Funcţia δ’
acţionează conform următoarelor şapte legi:
a) δ’(q init , λ, X) = {(q 0 , Z o X)};
b) δ’(q, a, Z) = δ(q, a, Z), pentru oricare q, a şi Z astfel încât q ∈ Q, a ∈ Σ,
Z∈Γ;
c) δ’(q, λ, Z) = δ(q, λ, Z) dacă q ∈ Q – F şi Z ∈ Γ;
d) δ’(q, λ, Z) = δ(q, λ, Z) ∪ {(q λ, λ)} dacă q ∈ F şi Z ∈ Γ;
e) δ’(q, λ, X) = {(q λ, λ)} dacă q ∈ F;
f) δ’(q λ , λ, Z) = {(q λ, λ)} dacă Z ∈ Γ∪{X};
g) δ’(q, a, Z) = ∅ în toate celelalte cazuri.
Cerinta 7.5 [Un limbaj recunoscut de un APD cu memoria pushdown vidă poate fi
recunoscut şi de un APD cu stări finale]
Fie L λ (M) limbajul recunoscut de automatul pushdown M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 ,
Z 0 , ∅). Atunci există un APD, notat M’ = (Q’, Σ, Γ’, δ’, q init , X, {q f }), care
recunoaşte L λ (M) cu starea finală q f , adică L λ (M) = L(M’).
Demonstraţie. Fie Q’ = Q ∪ {q init , q f } unde q init şi q f sunt două elemente distincte şi
noi în raport cu Q. De asemenea, considerăm X un simbol nou în raport cu Γ şi
formăm Γ’ = Γ∪{X}. Dacă definim δ’ ca mai jos atunci se poate demonstra, prin

dublă incluziune (conform Popovici şi colectiv(1991)), că L λ (M) = L(M’). Funcţia
δ’ acţionează conform următoarelor patru legi:
a) δ’(q init , λ, X) = {(q 0 , Z o X)};
b) δ’(q, a, Z) = δ(q, a, Z), pentru oricare q, a şi Z astfel încât q ∈ Q, a
∈Σ∪{λ}, Z ∈ Γ;
c) δ’(q, λ, X) = {(q f , λ)}, dacă q ∈ Q;
d) δ’(q, a, Z) = ∅, în toate celelalte cazuri.
Cerinta 7.6
Pentru orice gramatică independentă de context G = (Ω, Σ, S, P) care
generează limbajul L = L(G) există un sistem APD care recunoaşte L.
Demonstraţie. Presupunem că P conţine reguli de forma u ::= v, cu |u| = 1 şi v ∈ (Ω
∪ Σ)*. Construim automatul M = ({q}, Σ, Ω ∪ Σ, δ, q, S, ∅) cu funcţia de tranziţie
definită prin următoarele trei reguli:
1. [expandare] δ(q, λ, X) = {(q, α) | (X ::= α) ∈ P} pentru toate regulile
mulţimii P;
2. [reducere] δ(q, a, a) = {(q, λ)}, dacă a ∈ Σ;
3. [altfel] δ(q, a, X) = ∅, în toate celelalte cazuri.
Se arată, prin dublă incluziune, folosind metoda inducţiei complete (vezi Popovici
şi colectiv(1991)), că L(G) = L λ (M).
Exemplul 7.4
Fie gramatica G = ({S, A}, {0, 1, 2}, S, P) unde P constă din producţiile: S
::= S2 | A2; A ::= 0A1 | 01. Se observă că L(G) = {0 n 1 n 2 m | n, m ≥ 1}.
Sistemul APD care recunoaşte limbajul L(G) este M = ({q}, {0, 1, 2}, {S, A,
0, 1, 2}, δ, q, S, ∅) unde δ are următoarea definiţie:
δ(q, λ, S) = {(q, S2), {q, A2)};
δ(q, λ, A) = {(q, 0A1), (q, 01)};
δ(q, 0, 0) = {(q, λ)};
δ(q, 1, 1) = {(q, λ)};
δ(q, 2, 2) = {(q, λ)};
δ(q, 0, 1) = δ(q, 0, 2) = δ(q, 0, S) = δ(q, 0, A) = ∅;
δ(q, 1, 0) = δ(q, 1, 2) = δ(q, 1, S) = δ(q, 1, A) = ∅;
δ(q, 2, 0) = δ(q, 2, 1) = δ(q, 2, S) = δ(q, 2, A) = ∅.
Cerinta 7.7
Pentru orice sistem APD care recunoaşte limbajul L cu memoria pushdown
vidă, există o gramatică independentă de context care generează limbajul L.
Demonstraţie. Fie M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , Z 0 , ∅) un APD astfel încât L = L λ (M).
Construim gramatica G = (Ω, Σ, S, P) cu reguli de forma u ::= v astfel încât |u| = 1,
v ∈ (Ω∪Σ)*. Fie S un simbol special astfel încât S ∉ QxΓxQ ∪ Σ. Considerăm
mulţimea simbolurilor neterminale ca fiind Ω = QxΓxQ ∪ {S}, iar fiecare element
din QxΓxQ de forma (q, Z, r) îl vom scrie compact sub forma [qZr]. Producţiile din
mulţimea P se definesc folosind următoarele reguli:
1. [Start] Pentru fiecare q ∈ Q introducem producţia S ::= [q 0 Z 0 q].

2. [Ştergere] Pentru oricare a ∈ Σ ∪ {λ} astfel încât (r, λ) ∈ δ(q, a, Z) se
introduce producţia [qZr] ::= a.
3. [Compunere] Pentru oricare a ∈ Σ ∪ {λ} pentru care (r, α 1 α 2 …α k ) ∈
δ(q, a, Z), unde α i ∈ Γ (i = 1, 2, …, k), considerăm toate combinaţiile de
k stări s 1 , s 2 , …, s k pentru a forma producţii de forma [qZs k ] ::= a[rα 1 s 1 ]
[s 1 α 2 s 2 ]…[s k-1 α k s k ], unde k > 0.
Prin inducţie completă în raport cu numărul de tranziţii (respectiv în raport cu
lungimea derivării) se arată că L λ (M) ⊆ L(G) (respectiv L(G) ⊆ L λ (M)). Pentru
detalii se poate consulta Popovici şi colectiv(1991).
Exemplul 7.5
Fie Q = {q 0 , q 1 , q 2 }, Σ = {a, b}, Γ = {a, Z 0 }, şi funcţia de tranziţie δ definită
astfel: δ(q 0 , a, Z 0 ) = {(q 1 , aZ 0 )}, δ(q 1 , a, a) = {(q 1 , aa)}, δ(q 1 , b, a) = {(q 2 ,λ)}, δ(q 2 ,
b, a) = {(q 2 ,λ)}, δ(q 2 , λ, Z 0 ) = {(q 0 ,λ)}, δ(q, x, Z 0 ) = ∅, în celelalte cazuri. Fie M =
(Q, Σ, Γ, δ, q 0 , Z 0 , ∅). Se poate arăta că L λ (M) = {a n b n | n ≥ 0}. A se vedea şi
exemplul 7.3.
Gramatica de tip doi care recunoaşte limbajul L λ (M), construită pe baza
metodei dată de demonstraţia teoremei 7.7 are 24 de producţii, după cum urmează.
Conform [Start] introducem trei producţii:
S ::= [q 0 Z 0 q 0 ] | [q 0 Z 0 q 1 ] | [q 0 Z 0 q 0 ].
Conform [Compunere] pentru δ(q 0 , a, Z 0 ) = {(q 1 , aZ 0 )} introducem
următoarele nouă producţii:
[q 0 Z 0 q 0 ] ::= a [q 1 aq 0 ] [q 0 Z 0 q 0 ]; [q 0 Z 0 q 0 ] ::= a [q 1 aq 1 ] [q 1 Z 0 q 0 ];
[q 0 Z 0 q 0 ] ::= a [q 1 aq 2 ] [q 2 Z 0 q 0 ]; [q 0 Z 0 q 1 ] ::= a [q 1 aq 0 ] [q 0 Z 0 q 1 ];
[q 0 Z 0 q 1 ] ::= a [q 1 aq 1 ] [q 1 Z 0 q 1 ]; [q 0 Z 0 q 1 ] ::= a [q 1 aq 2 ] [q 2 Z 0 q 1 ];
[q 0 Z 0 q 2 ] ::= a [q 1 aq 0 ] [q 0 Z 0 q 2 ]; [q 0 Z 0 q 2 ] ::= a [q 1 aq 1 ] [q 1 Z 0 q 2 ];
[q 0 Z 0 q 2 ] ::= a [q 1 aq 2 ] [q 2 Z 0 q 2 ];
Folosind [Compunere] pentru δ(q 1 , a, a) = {(q 1 , aa)} obţinem încă nouă
producţii:
[q 1 Z 0 q 0 ] ::= a [q 1 aq 0 ] [q 0 aq 0 ]; [q 1 Z 0 q 0 ] ::= a [q 1 aq 1 ] [q 1 aq 0 ];
[q 1 Z 0 q 0 ] ::= a [q 1 aq 2] [q2aq 0 ]; [q 1 Z 0 q 1 ] ::= a [q 1 aq 0 ] [q 0 aq 1 ];
[q 1 Z 0 q 1 ] ::= a [q 1 aq 1 ] [q 1 aq 1 ]; [q 1 Z 0 q 1 ] ::= a [q 1 aq 2 ] [q 2 aq 1 ];
[q 1 Z 0 q 2 ] ::= a [q 1 aq 0 ] [q 0 aq 2 ]; [q 1 Z 0 q 2 ] ::= a [q 1 aq 1 ] [q 1 aq 2 ];
[q 1 Z 0 q 2 ] ::= a [q 1 aq 2 ] [q 2 aq 2 ];
Aplicăm regula [Ştergere] pentru δ(q 1 , b, a) = {(q 2 , λ)} şi δ(q 2 , b, a) = {(q 2 , λ)}.
Obţinem producţiile: [q 1 aq 2 ] ::= b şi [q 2 aq 2 ] ::= b.
Pentru tranziţia δ(q 2 , λ, Z 0 ) = {(q 0 ,λ)}, obţinem producţia: [q 2 Z 0 q 0 ] ::= λ.
Evident, λ-producţiile pot fi eliminate şi se obţine o gramatică de tip doi, dar
foarte complexă (în sensul că mărimea mulţimilor Ω şi P este considerabilă).
Comparaţi cu gramatica obţinută printr-o simplă modificare a gramaticii din
exemplul 2.2 (manual).
Observaţia 7.2
Fie M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , B, ∅) un sistem MT. Atunci L(M) = ∅.
Observaţia 7.3
Fie M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , B, Q) un sistem MT. Atunci L(M) = Σ*.
Observaţia 7.4
Introducerea nedeterminismului asupra sistemelor MT nu creşte puterea de
acceptare. Mai precis, are loc:

Cerinta 7.8
Pentru orice maşină Turing M există o gramatică G, de tip 0, astfel încât
L(M) = L(G).
Demonstraţie. Se poate urmări Hopcroft şi Ullman(1979).
Cerinta 7.9
Următoarele afirmaţii sunt adevărate.
a) Pentru orice gramatică dependentă de context (de tip 1) G = (Ω, Σ, S, P)
există o gramatică monotonă G’ = (Ω, Σ, S, P’) astfel încât L(G’) = L(G)
– {λ}.
b) Pentru orice automat liniar mărginit M există o gramatică monotonă G
astfel încât L(M) = L(G).
Demonstraţie. Pentru a) se poate consulta, de exemplu, lucrarea Jucan şi Andrei
(2002). Pentru b) recomandăm studierea lucrării Hopcroft şi Ullman (1979).
Exemplul 7.6
O maşină Turing care acceptă limbajul L = {a n b n c n | n > 0} este M = (Q, Σ, Γ,
δ, q 0 , B, F), unde Q = {q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q 4 , q 5 }, Σ = {a, b, c}, Γ = {a, b, c, x, y, z, B}, F
= {q 5 }, iar δ este dată prin tabelul:
δ A B c x Y z B
q 0 (q 1 ,x,D) ∅ ∅ ∅ (q 4 ,y,D) ∅ ∅
q 1 (q 1 , a, D) (q 2 , y, D) ∅ ∅ (q 1 ,y,D) ∅ ∅
q 2 ∅ (q 2 , b, D) (q 3 , z, S) ∅ ∅ (q 2 ,z,D) ∅
q 3 (q 3 , a, S) (q 3 , b, S) ∅ (q 0 ,z,D) (q 3 ,y,S) (q 3 ,z,S) ∅
q 4 ∅ ∅ ∅ ∅ (q 4 ,y,D) (q 4 ,z,D) (q 5 ,B,D)
q 5 ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅
8. Proprietăţi de închidere
Cerinta 8.1
Familia limbajelor dependente de context este închisă faţă de reuniune.
Demonstraţie. Fie L 1 şi L 2 două limbaje dependente de context generate de
gramaticile G 1 = (Ω 1 , Σ 1 , S 1 , P 1 ) şi G 2 = (Ω 2 , Σ 2 , S 2 , P 2 ) astfel încât gramaticile G 1
= (Ω 1 , Σ 1 , S 1 , P 1 – {S 1 ::= λ}) şi G 2 = (Ω 2 , Σ 2 , S 2 , P 2 - {S 2 ::= λ}) să fie dependente
de context, iar Ω 1 ∩ Ω 2 = ∅, Ω 1 ∩ Σ 2 = ∅ şi Ω 2 ∩ Σ 1 = ∅. Fie S ∉ Ω 1 ∪ Ω 2 ∪ Σ 1
∪ Σ 2 .
Formăm gramatica G = (Ω 1 ∪ Ω 2 ∪{S}, Σ 1 ∪Σ 2 , S, P) unde P = (P 1 – {S 1 ::=
λ}) ∪ (P 2 – {S 2 ::= λ}) ∪ {S::= w | S 1 ::= w ∈ P 1 sau S 2 ::= w ∈ P 2 }.
Arătăm că L = L 1 ∪ L 2 este generat de gramatica G.
Evident G, fără producţia S ::= λ, este dependentă de context (a se vedea
definiţia 5.1(manual), pentru legătura cu limbajele dependente de context).
Fie w ∈ L(G). Presupunem că w ≠ λ. Atunci există o derivare S ⎯ ⎯→
* w. La
primul pas se poate aplica, fie o producţie din P1, fie o producţie din P 2 .
Presupunem că iniţial se aplică o producţie din P 1, următoarele producţii sunt tot
din P1, deoarece Ω ⎯ ⎯→
*
1 ∩ Ω 2 = ∅. Rezultă că S 1 w, adică w ∈ L(G 1 ). Analog

pentru aplicarea primei producţii din P 2 . Dacă w = λ atunci S ::= λ, adică S 1 ::= λ
sau S 2 ::= λ. Deci w ∈ L 1 ∪ L 2 .
Fie w ∈ L 1 ∪ L 2 – {λ}. Atunci w ∈ L 1 (S 1 ⎯→
* w, în G1) sau w ∈ L 2 (S 2
⎯ ⎯→
* w, în G 2 ). Prin înlocuirea primului pas al derivării şi aplicarea producţiei
corespunzătoare din P, obţinem S ⎯ ⎯→
* w, în G.
Pentru w = λ raţionamentul este banal.
Observaţa 8.1
Enunţul şi demonstraţia de mai sus pot fi refăcute pentru a arăta închiderea la
reuniune a familiilor L 2 şi L 3.
Conform teoremei 3.3 (manul), familia limbajelor regulate este cea mai mică
familie de limbaje care conţine limbajele finite şi este închisă la reuniune, produs
(concatenare) şi la operaţia * (închiderea Kleene). Trebuie remarcat că familia L 3
include strict familia limbajelor finite.
Cerinta 8.2
Fie Σ un alfabet şi L ⊆ Σ* un limbaj regulat. Atunci Σ* - L este un limbaj
regulat
Demonstraţie. Dacă L este un limbaj regulat aunci există M = (Q, Σ, δ, q 0 , F) un
sistem AFD astfel încât L(M) = L. Atunci sistemul M 1 = (Q, Σ, δ, q 0 , Q - F) este
considerat astfel încât L(M 1 ) = Σ* - L.
Cerinta 8.3
Familia limbajelor regulate este închisă la operaţia de intersecţie.
Demonstraţie. Se foloseşte faptul că A ∩ B = C(CA ∪ CB), unde prin CX se
notează complementara mulţimii X.
Observaţia 8.2
Familia limbajelor regulate peste un alfabet Σ, fiind închisă la reuniune,
intersecţie şi complementară, formează o algebră booleană în care suma booleană
este reuniunea, produsul boolean este intersecţia, iar complementul unui element
este obţinut prin formarea limbajului complementar (diferenţa până la Σ*.)
Cerinta 8.4
Familia L 2 este închisă la reuniune.
Demonstraţie. Fie L 1 şi L 2 două limbaje independente de context generate de
gramaticile G 1 = (Ω 1 , Σ 1 , S 1 , P 1 ) şi G 2 = (Ω 2 , Σ 2 , S 2 , P 2 ) astfel încât gramaticile G 1
= (Ω 1 , Σ 1 , S 1 , P 1 – {S 1 ::= λ}) şi G 2 = (Ω 2 , Σ 2 , S 2 , P 2 - {S 2 ::= λ}) să fie
independente de context, iar Ω 1 ∩ Ω 2 = ∅, Ω 1 ∩ Σ 2 = ∅ şi Ω 2 ∩ Σ 1 = ∅. Fie S ∉
Ω 1 ∪ Ω 2 ∪ Σ 1 ∪Σ 2 . Formăm gramatica G = (Ω 1 ∪ Ω 2 ∪{S}, Σ 1 ∪ Σ 2 , S, P) unde
P = P 1 ∪ P 2 ∪ {S::= S 1 , S::= S 2 }. Este uşor de arătat că L = L 1 ∪ L 2 este generat de
gramatica G. Evident redenumirile pot fi eliminate (propoziţia 5.3 - manual), dacă
acest lucru este necesar în aplicaţii.
Cerinta 8.5
Familia L 2 este închisă la concatenare (produs).

Demonstraţie. Fie L 1 şi L 2 două limbaje independente de context generate de
gramaticile G 1 = (Ω 1 , Σ 1 , S 1 , P 1 ) şi G 2 = (Ω 2 , Σ 2 , S 2 , P 2 ) astfel încât gramaticile G 1
= (Ω 1 , Σ 1 , S 1 , P 1 – {S 1 ::= λ}) şi G 2 = (Ω 2 , Σ 2 , S 2 , P 2 - {S 2 ::= λ}) să fie
independente de context, iar Ω 1 ∩ Ω 2 = ∅, Ω 1 ∩ Σ 2 = ∅ şi Ω 2 ∩ Σ 1 = ∅. Fie S ∉
Ω 1 ∪ Ω 2 ∪ Σ 1 ∪Σ 2 . Formăm gramatica G = (Ω 1 ∪ Ω 2 ∪{S}, Σ 1 ∪ Σ 2 , S, P) unde
P = P 1 ∪ P 2 ∪ {S::= S 1 S 2 }. Este uşor de arătat că L = L 1 L 2 este generat de
gramatica G.
Cerinta 8.6
Familia L 2 este închisă la operaţia * (stelare).
Demonstraţie. Fie L un limbaj independent de context generat de gramatica G 1 =
(Ω 1 , Σ 1 , S 1 , P 1 ) astfel încât gramatica G 1 = (Ω 1 , Σ 1 , S 1 , P 1 – {S 1 ::= λ}) este
independentă de context,. Fie S ∉ Ω 1 ∪ Σ 1 . Formăm gramatica G = (Ω 1 ∪ {S}, Σ 1 ,
S, P) unde P = P 1 ∪ {S::= SS 1 | λ}. Este uşor de arătat că L* este generat de
gramatica G. Evident λ-producţiile pot fi eliminate (propoziţia 5.4 - manual), dacă
acest lucru este necesar în aplicaţii.
Observaţia 8.3
Dacă L este un limbaj de tip i (i = 2 sau 3) atunci L + este de tip i.
Cerinta 8.7
Familia L 2 nu este închisă la intersecţie şi complementară.
Demonstraţie. Considerăm limbajele independente de context L 1 = {a n b m c m | n ≥ 1,
m ≥ 1} şi L 2 = {a n b n c m | n ≥ 1, m ≥ 1} generate de gramaticile G 1 = ({S 1 , A 1 , B 1 },
{a, b, c}, S 1 , {S 1 ::= A 1 B 1 , A 1 ::= aA 1 | a, B 1 ::= bB 1 c | bc}) şi G 2 = ({S 2 , A 2 , B 2 },
{a, b, c}, S 2 , {S 2 ::= A 2 B 2 , A 2 ::= aA 2 b | ab, B 2 ::= cB 2 | c}). Evident L 1 ∩ L 2 =
{a n b n c n | n ≥ 1} care nu este independent de context, după cum a fost justificat în
exemplul 6.3. Deci L 2 nu este închisă la intersecţie. Dacă L 2 ar fi închisă la
complementară, atunci ar trebui să fie închisă şi la intersecţie deoarece L 2 este
închisă la reuniune, iar în teoria mulţimilor are loc relaţia A ∩ B = C(CA ∪ CB).
Folosind principiul reducerii la absurd deducem că L 2 nu este închisă la
complementară.
Cerinta 8.8
Fie L ∈ L 2 şi R ∈ L 3 , L 1 = L ∩ R şi L 2 = L – R. Atunci L i ∈ L 2 (i = 1, 2).
Demonstraţie. Este suficient să demonstrăm că L 1 ∈ L 2 . Deoarece familia L 3 este
închisă la complementară (R ∈ L 3 conduce la CR ∈ L 3 ), iar L – R = L ∩ CR, va
rezulta că şi L 2 ∈ L 2 .
Fără a restrânge generalitatea putem continua în următoarele ipoteze: a) L şi
R sunt limbaje peste acelaşi alfabet Σ; b) mulţimea L ∪ R nu conţine cuvântul vid
λ.
Fie M = (Q, Σ, δ, q 0 , F) sistemul AFD care recunoaşte limbajul R, L(M) = R.
Dacă F = {f 1 , f 2 , …, f m } atunci fie M i =(Q, Σ, δ, q 0 , {f i }) şi R i = L(M i ), i = 1, 2, …,
m. Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică de tip 2, în forma normală Chomsky, care
generează limbajul L, L(G) = L. Este evident că L ∩ R = (L ∩ R 1 ) ∪ (L ∩ R 2 ) ∪
… ∪ (L ∩ R m ). Prin urmare este suficient să arătam că L i = (L ∩ R i ) este

independent de context, cu i oarecare în mulţimea {1, 2, …, m}. Invocarea
proprietăţii de închidere a familiei L 2 la reuniune va încheia demonstraţia.
Construim G 1 = (Ω 1 , Σ, S 1 , P 1 ) gramatica independentă de context astfel încât
Ω 1 = (Ω ∪ Σ) x Q x Q, S 1 = (S, q 0 , f i ) şi P 1 conţine toate producţiile de forma:
a. (A, q, q 1 ) ::= (B, q, q 2 ) (C, q 2 , q 1 ), unde q, q 1 , q 2 ∈ Q, iar A ::= BC ∈ P.
b. (A, q, q 1 ) ::= (a, q, q 1 ), unde q, q 1 ∈ Q, iar A ::= a ∈ P.
c. (a, q, q 1 ) ::= a, a ∈ Σ, δ(q, a) = q 1 .
Faptul că L(G 1 ) = L ∩ R i rezultă din justificarea următoarelor afirmaţii:
a) (A, q i , q j ) ⎯ ⎯→
* (X1, q i , q 1 ) (X 2 , q 1 , q 2 ) … (X n+1 , q n , q j ) ⇔ A
⎯ ⎯→
*
X 1 X 2 … X n+1 , oricare A, X 1 , X 2 , …, X n+1 ∈ Ω, q ∈ Q.
b) (a ⎯ ⎯→
*
1 , q 1 , q 2 ) (a 2 , q 2 , q 3 ) … (a n , q n , q n+1 ) a 1 a 2 …a n ⇔ δ(q 1 , a 1 a 2 …a n ) =
q n+1 .
Într-adevăr, fie w = a ⎯ ⎯→
*
1 a 2 …a n ∈ L(G 1 ), deci S 1 ⎯ ⎯→
* a1a 2 …a n ; (S, q 0 , f i )
(A ⎯ ⎯→
*
1 , q 0 , q 1 ) … (A n , q n-1 , f i ) ⎯ ⎯→
* (a1, q 0 , q 1 ) … (a n , q n-1 , f i ) a 1 a 2 …a n , prin
aplicarea producţiilor în ordinea 1), 2) şi 3), în final. Prin urmare, conform a)
obţinem S ⎯ ⎯→
* A 1 A 2 …A n , iar conform b) rezultă δ(q 1 , a 1 a 2 …a n ) = f i . Cum f i ∈ F
rezultă w ∈ R i . Obţinem, de asemenea, existenţa producţiilor A i ::= a i , i = 1, 2, …,
n. De asemenea rezultă şi S ⎯ ⎯→
* A ⎯ ⎯→
* 1 A 2 …A n a 1 a 2 …a n , echivalent cu w ∈
L. În final obţinem w ∈ L ∩ R i .
În partea a doua a demonstraţiei considerăm w = a 1 a 2 …a n ∈ L ∩ R i . Din w ∈
R i deducem existenţa stărilor q 1 , q 2 , …, q n-1 astfel încât q i = δ(q 0 , a 1 a 2 …a i ), i = 1, 2,
…, n-1. În plus, f i = δ(q 0 , a 1 a ⎯
⎯ ⎯→
* 2…an). Derivarea S ⎯→
* a1a 2 …a n poate fi scrisă
astfel S A ⎯ ⎯→
* 1 A 2 …A n a 1 a 2 …a n . Aceste rezultate permit asamblarea
unei derivări în G 1 ⎯ ⎯→
*
1 : S = (A, q 0 , f i ) ⎯ ⎯→
* (A1, q 0 , q 1 ) … (A n , q n-1 , f i ) (a 1 , q 0 ,
q 1 ) … (a n , q n-1 , f i ) ⎯→
a1a 2 …a n , adică w ∈ L(G 1 ).
U
a∈Σ
* UΣ a
a∈Σ
Cerinta 8.9
Considerăm transformarea de substituire definită asupra limbajelor ca în
definiţia 1.8 - manual. Familia limbajelor independente de context este închisă la
substituţii.
Demonstraţie. Fie L un limbaj independent de context peste Σ, iar pentru fiecare a
∈ Σ, fie Σ a alfabetul asociat lui a. Fie s: Σ* → P(( )*) substituţia lui Σ* în
P(( Σ )*). Evident s are următoarele proprietăţi (din definiţia 1.8):
a
1. pentru oricare a ∈ Σ, s(a) ⊆ Σ a ;
2. s(λ)={λ};
3. pentru oricare i, 1 ≤ i ≤ k, dacă a i ∈ Σ atunci s(a 1 a 2 …a k ) =
s(a 1 )s(a 2 )…s(a k ).
Presupunem că, pentru fiecare a ∈ Σ, s(a) este un limbaj independent de
context. Trebuie să arătăm că s(L) este limbaj independent de context.
Conform ipotezei, există gramaticile G = (Ω, Σ, S, P) şi G a = (Ω a , Σ a , S a , P a )
astfel încât L = L(G) şi s(a) = L(G a ) pentru oricare a ∈ Σ. Presupunem că Ω a ∩ Ω b
= Σ a ∩ Σ b = ∅ pentru a ≠ b şi pentru fiecare a, b ∈ Σ avem Ω a ∩ Σ b = ∅ şi Ω ∩ Ω a
= ∅. Dacă λ ∈ Σ ∪ Σ a (adică S ::= λ ∈ P sau S a ::= λ ∈ P a , a ∈ Σ atunci trebuie ca
(Ω, Σ, S, P-{ S ::= λ}) şi (Ω a , Σ a , S a , P a -{ S a ::= λ}) să fie gramatici independente
de context. Definim transformarea t: Ω ∪ Σ ∪ {λ} → Ω ∪ {S a | a ∈ Σ } ∪ {λ} prin
t(λ) = λ; t(X) = X pentru oricare X∈Ω, t(a)=S a pentru oricare a ∈ Σ astfel încât,

prin extensie, rezultă că pentru oricare x 1 , x 2 , …, x n ∈ Ω ∪ Σ ∪ {λ} are loc relaţia
t(x 1 x 2 …x n ) = t(x 1 )t(x 2 )…t(x n ).
Formăm gramatica G 1 = (Ω 1 , Σ 1 , S, P 1 ) astfel încât Ω 1 := Ω ∪ ( Ω ), Σ
U
a∈Σ
Σ
a
U
P a
a∈Σ
, iar P 1 = ( ) ∪ {X →::= t(α) | X ::= α ∈ P}.
Evident G 1 = (Ω 1 , Σ 1 , S, P 1 – {S ::= λ}) este independentă de context. Se
arată, prin dublă incluziune, că L(G 1 ) = s(L).
a) s(L) ⊆ L(G 1 ): Fie w ∈ s(L) = s(α)
, deci există α ∈ L astfel încât w =
s(α). Dacă α = λ atunci există, în gramatica G, producţia S ::= λ, deci în G1 există
producţia S ::= t(λ), adică S ::= λ. Obţinem s(λ) = {λ}, adică w = λ şi w ∈ L(G 1 ).
Dacă α ≠ λ atunci există, în gramatica G, simbolurile terminale a 1 a 2 …a k astfel încât
α = a 1 a 2 …a k . Deoarece s(α) = s(a 1 )s(a 2 )…s(a k ), rezultă că pentru fiecare i, 1 ≤ i ≤ k
există w i ∈ s(a i ) şi w = w 1 w 2 …w k . Din α ∈ L = L(G) rezultă că există, în G,
derivarea S ⎯→
* α1 ⎯ ⎯→
* α2 ⎯ ⎯→
* … ⎯→ αp = α (=a 1 a 2 …a k ). Prin
aplicarea transformării t obţinem existenţa, în G ⎯ ⎯→ * ⎯→
*
1 , a derivării S t(α 1 ) ⎯
t(α2) ⎯ ⎯→
* … ⎯→
t(αp) = t(α) = t(a 1 ) t(a 2 ) … t(a k ) = … .
w1w 2 … w k = w. În concluzie, w ∈ L(G 1 ).
b) L(G ⎯ ⎯→
*
1 ) ⊆ s(L): Fie w ∈ L(G 1 ), adică există derivarea S α 1 ⎯ ⎯→
* α2
⎯→ … ⎯ ⎯→
* αp = w. Deoarece mulţimile de neterminale ale gramaticilor din
ipoteză sunt disjuncte (am presupus că Ω ∩ Ω a = ∅ pentru oricare a ∈ Σ)
producţiile din P 1 de forma X ::= t(α), unde X ::= α ∈ P, pot fi permutate cu
producţiile din U P a
, astfel încât iniţial să nu se utilizeze producţii din U P a
.
a∈Σ
* a1
S a1
U
α∈L
⎯ * a1
⎯ *
Deoarece s(ai) = L(G ) atunci există în fiecare G , derivarea ⎯ ⎯→
* w i , i =
1, 2, …, k. Prin urmare ⎯ ⎯→
* wi în G 1 şi S ⎯→ …
*
S
1
a
… S
2 a
⎯ *
k
a
⎯ ⎯→
* 1
i ∈ L( G a 1
Deci există o derivare S ⎯ ⎯→
* wt ∈ {S a | a ∈ Σ}*. Prin urmare există k ≥1 astfel
încât w ⎯ *
t =
a
S
a
… S ak
şi a1a 2 …a k ∈ L(G). Cum S ⎯→ w, rezultă că S
a
S
S
w
⎯→
2
S a1
S a1
S
a 1
S a 2
U
a∈Σ
S a2
a
S
ak
a∈Σ
1 =
S ak
⎯→
*
w şi apoi obţinem descompunerea w = w1w 2 …w k astfel încât
w i în G 1 şi deci şi în
G a1
, pentru i = 1, 2, … k. Se mai poate spune că
), adică w i ∈ s(a i ), i = 1, 2, …, k. În concluzie rezultă că w ∈
s(a 1 )s(a 2 )…s(a k ) = s(a 1 a 2 …a k ) ⊆ s(L).
Observaţia 8.4
Familia limbajelor independente de context este închisă la homomorfisme.
Observaţia 8.5
Un sistem gsm este un sistem AFN care, în plus, faţă de banda de intrare
(cuvinte peste Σ) conţine şi o bandă de ieşire (pentru manipularea cuvintelor peste
1

∆). Faptul că (q 2 , u) ∈ δ(q 1 , a) arată trecerea din starea q 1 in starea q 2 , când capul de
citire a întâlnit simbolul a, dar şi emiterea cuvântului u ∈ ∆* la ieşire. Funcţia δ se
extinde la Σ*, în mod obişnuit.
Cerinţa 8.10
Orice clasă de limbaje peste alfabetul Σ închisă la substituţii finite şi
intersecţie cu limbaje regulate este închisă la transformări gsm.
Demonstraţie. Fie C o clasă de limbaje cu proprietatea din enunţ şi sistemul gsm M
= (Q, Σ, ∆, δ, q 0 , F).
Considerăm substituţia finită s: Σ → P(Q x Σ x ∆* x Q) definită astfel încât
pentru oricare a ∈ Σ, s(a) = {(q 1 , a, u, q 2 ) | q 1 , q 2 ∈ Q, u ∈ ∆* , (q 2 , u) ∈ δ(q 1 , a)}.
Fie limbajul R ⊆ (Q x Σ x ∆* x Q)* definit prin R = {((q 0 , a 1 , u 1 , q 1 ) (q 1 , a 2 ,
u 2 , q 2 ) … (q n-1 , a n , u n , q n ) | q n ∈ F, (q i , u i ) ∈δ(q i-1 , a i ), i = 1, 2, …, n}. Limbajul R
este regulat deoarece este acceptat de automatul finit nedeterminist A = (Q, Q x Σ x
∆* x Q, δ 1 , q 0 , F), cu q 2 ∈δ 1 (q 1 , (q 1 , a, u, q 2 )) dacă şi numai dacă (q 2 , u) ∈δ(q 1 , a)
pentru oricare q 1 , q 2 ∈ Q, u ∈ ∆* şi a ∈ Σ.
Definim homomorfismul h : Q x Σ x ∆* x Q → ∆* prin h(q 1 , a, u, q 2 ) = u,
pentru oricare q 1 , q 2 ∈ Q, u ∈ ∆* şi a ∈ Σ.
Atunci pentru oricare L ∈ C, rezultă g M (L) = h(s(L)∩R).
Sunt valide echivalenţele:
• w ∈ h(s(L) ∩ R) dacă şi numai dacă există α ∈ s(L) ∩ R astfel încât w =
h(α);
• α ∈ s(L) ∩ R dacă şi numai dacă există v ∈ L astfel încât α ∈ s(v) ∩ R;
deci α = (q 0 , a 1 , u 1 , q 1 ) (q 1 , a 2 , u 2 , q 2 ) … (q n-1 , a n , u n , q n ) , q n ∈ F, (q i , u i ) ∈
δ(q i-1 , a i ), i = 1, 2, …, n; v = a 1 a 2 …a n .
Prin urmare h(α) = u 1 u 2 …u n . Deci w ∈ h(s(L) ∩ R) dacă şi numai dacă există
cuvintele v = a 1 a 2 …a n ∈ L, w = u 1 u 2 …u n ∈ ∆*, stările q 0 , q 1 , …, q n ∈ Q, q n ∈ F
astfel încât (q i , u i ) ∈ δ(q i-1 , a i ), i = 1, 2, …, n, echivalent cu w ∈ g M (v).
Deoarece g M (L) = h(s(L) ∩ R) pentru L ∈ C, iar C este închisă la substituţii
finite şi intersecţia cu limbaje regulate obţinem: L ∈ C ⇒ s(L) ∈ C ⇒ s(L) ∩ R ∈
C ⇒ h(s(L) ∩ R) ∈ C ⇒ g M (L) ∈ C.
Observaţia 8.6
Deoarece familiile L i ( i = 2, 3) satisfac condiţille teoremei 8.10 rezultă că
acestea sunt închise la transformări gsm.
9. Specificarea sintaxei limbajelor de programare
Exemplul 9.1
Vom ilustra utilizarea limbajului C++ în codificarea algoritmului pentru
determinarea stărilor accesibile ale unui sistem AFD. Pentru acest exemplu,
automatul M este un obiect al clasei Sistem_AFD caracterizat prin atributele:
numar_stari = |Q|, cardinal_sigma = | Σ |, stare_initiala = q 0 , delta (funcţia de
tranziţie) definită ca tablou, stari_accesibile (tablou care va conţine stările
accesibile) şi n_accessible (cardinalul mulţimii stărilor accesibile). La declararea
automatului se va apela constructorul care va citi datele. Stările accesibile se
determină prin apelarea metodei aferente. Afişarea datelor despre automat se
realizează, de asemenea, printr-o metodă specifică.

#include
class Sistem_AFD {
private:
int numar_stari;
int cardinal_sigma;
int q0;
int **delta;
int *stari_accesibile;
// Structură de date organizată ca o coadă
int n_accesibile;
public:
Sistem_AFD(); //Constructor
~Sistem_AFD(); //Destructor
Determină_stările_accesibile();
// Metoda care implementează algoritmul 4.1
Afişare_informaţii(); //Vizualizarea informaţiilor
}
Sistem_AFD::Sistem_AFD(){ //Constructor
int i, j;
cout > numar_stari;
// Se presupune că stările vor fi codificate prin numerele naturale
// 0, 1, 2, …, numar_stari-1.
cout > cardinal_sigma;
// Se presupune că literele vor fi codificate prin numerele naturale
// 0, 1, 2, …, cardinal_sigma-1.
cout "Introduceţi starea iniţială:";
do {cin >> q0; } while ((q0 = numar_stari));
delta = new int *[numar_stari];
for (i = 0; i

cardinal_sigma = 0; q0 = 0; n_accesibile = 0;
} //sfârşit destructor
void Sistem_AFD :: Determină_stările_accesibile(){
int primul_slot = 0;
// Tabloul este organizat ca o coadă.
// Inserarea presupune incrementarea variabilei ultimul_slot,
// iar "eliminarea" din coadă presupune incrementarea variabilei
// primul_slot. Tabloul este suficient de
// larg pentru a include toate stările automatului.
int ultimul_slot = 0;
int qc; //starea curentă;
int qt; //starea posibil accesibilă din qc;
int a_fost_vizitată;
// variabilă logică care va atesta prezenţa/absenţa
// stării qt în tabloul stari_accesibile;
int i, j; // variabile de lucru
stari_accesibile[0] = q0; // starea iniţială este accesibilă;
while (primul_slot

}
Exemplul 9.2 [Liste în Prolog]
Exemplificăm prin câteva predicate utile în prelucrarea listelor, folosind
implementarea Turbo Prolog.
domains
list=integer* /* Se defineste tipul lista de intregi */
predicates
wlist(list) /* afisarea elementelor unei liste */
nlist(list,integer) /* Numarul elementelor unei liste */
slist(list,integer) /* Suma elementelor listei */
addx(integer,list,list) /* Adauga x la fiecare element al listei */
addl(list,list,list) /* aduna element cu element doua liste */
dlist(list,list) /* dublarea elementelor unei liste */
rnlist(list,list) /* eliminarea numerelor negative */
inlist(integer,list) /* este in lista? Yes or No */
catlist(list, list, list) /* concatenare de liste */
clauses
wlist([]) :- !.
wlist([H | T]) :- write(H), nl, wlist(T).
nlist([],0) :-!.
nlist([_|T],N) :- nlist(T,N1), N=N1+1.
slist([],0) :- !.
slist([X|C],S) :- slist(C,S1), S=S1+X.
addx(X,[], []):- !.
addx(X,[A|R], [Y|R1]) :- Y=A+X,addx(X,R,R1).
addl([],L,L) :- !.
addl(L,[],L) :- !.
addl([A|L1],[B|L2],[C|L3]) :- C=A+B,addl(L1,L2,L3).
dlist([], []) :- !.
dlist([A|B], [A,A|C]) :- dlist(B,C).
rnlist([],[]) :- !.
rnlist([X|A],[X|B]) :- X>=0, !, rnlist(A,B).
rnlist([X|A],B) :- X

delta(s1, b, s2).
delta(s2, a, s1).
delta(s2, a, s3).
delta(s2, b, s3).
delta(s3, a, s2).
delta(s3, a, s3).
delta(s3, b, s1).
stare_iniţială(s1).
stare_finală(s2).
stare_finală(s3).
accepta(X, []) :- stare_finală(X), write("Da").
accepta(X, [Prima_literă | Restul]) :- delta(X, Prima_literă, Y),
accepta(Y, Restul).
aparţine(W) :- stare-iniţială(X), accepta(X, W).
aparţine( _ ) :- write("Nu").
?- aparţine([a, b, a, b, a, b, b]).
Observaţia 9.1
În Prolog se comunică cunoştinţe. Determinarea efectivă a soluţiei este
realizată de către nucleul Prolog prin metode specifice: unificare, backtracking etc.
Observaţia 9.2
Limbajul Prolog permite atât codificarea algoritmilor recursivi, cât şi a celor
nerecursivi. Următoarele declaraţii permit calculul factorialului în ambele variante.
00F] | [#x202A-#x202E] | [#x206A-#x206F] | #xFEFF
Exemplul 9.4
Secvenţa XML următoare ilustrează definirea înregistrărilor tip bază de date:
]>
Ionescu
Marian
Februarie 23, 2005

CAIET DICTANDO
15
25000
CRETA
10
15000
Popescu
Alexandru
Februarie 24, 2005
CARTE
1
500000
CD AUDIO
10
150000
Exemplul 9.5
Documentul următor defineşte două tipuri de obiecte (cerc şi elipsă)
împreună cu atributele acestora.

L CDATA #IMPLIED
H CDATA #IMPLIED>
]>
10. Introducere în analiza sintactică
Cerinta 10.1 [Gramaticile dependente de context sunt recursive 9 .]
Există un algoritm care pentru orice G = (Ω, Σ, S, P) - gramatică dependentă
de context – şi orice w ∈ Σ + decide dacă afirmaţia “w ∈ L(G)” este adevărată.
Demonstraţie. Fiind dată gramatica G = (Ω, Σ, S, P), dependentă de context şi w ∈
Σ + astfel încât |w| = m, definim, prin recurenţă, şirul de mulţimi X i , i ≥ 0, astfel:
X 0 = {S},
X i+1 = X i ∪ {v | v ∈ (Ω∪Σ) + , există u ∈ X i astfel încât u→v şi |v|≤ m}, i≥0.
Vom arăta că şirul construit are următoarele proprietăţi:
• P 1 : X k = {v | v ∈ (Ω ∪ Σ) + , S ⎯→
k v, |v| ≤ m}, k = 0, 1, …;
• P 2 : X i (i ≥ 0) este un şir ascendent, în sensul relaţiei de incluziune şi
m
k
mărginit de U (Ω ∪ Σ) şi există p ∈ N astfel încât X p = X p+1 .
k =1
• P 3 . Dacă X p = X p+1 atunci X p = X p+i , oricare i ≥ 0.
• P 4 . Fie p 0 = min {p | X p = X p+1 }. Atunci w ∈ L(G) dacă şi numai dacă
w ∈ X p0
.
Demonstraţia proprietăţii P 1 [prin inducţie în raport cu k]. Fie Y k := {v | v ∈
(Ω ∪ Σ) + , S ⎯→
k v, |v| ≤ m}. Vom arăta că Xk (obţinut prin construcţia
recurentă) coincide cu Y k , k = 0, 1, … Pentru k = 0, proprietatea este, în mod
evident, adevărată. Este suficient să observăm că X 0 = Y 0 = {S}. Presupunem că P 1
este adevărată pentru un k oarecare şi demonstrăm că X k+1 = Y k+1 . Iniţial,
demonstrăm că X k+1 ⊆ Y k+1 . Fie v ∈ X k+1 . Atunci fie v ∈ X k , fie v ∈{α | α ∈ (Ω ∪
Σ) + , există u ∈ X k astfel încât u → α şi |α| ≤ m}. Dacă v ∈ X k atunci, prin ipoteza
de inducţie rezultă v ∈ Y k , dar Y k ⊆ Y k+1 (o derivare în cel mult k paşi poate fi
considerată şi ca derivare în cel mult k + 1 paşi). Prin urmare v ∈ Y k+1 . Fie v ∈{α |
α ∈ (Ω ∪ Σ) + , există u ∈ X k astfel încât u → α şi |α| ≤ m}. Avem succesiv S
⎯→
k u şi u → v şi |v| ≤ m. Deci S ⎯ k ⎯→
+1 v şi |v| ≤ m. Prin urmare v ∈ Y
k+1. A
9 În teoria algoritmilor, o gramatică formală G se numeşte recursivă dacă există un algoritm
care acceptă, la intrare, orice cuvânt w peste vocabularul terminal şi produce, la ieşire,
răspunsul la întrebarea: “w ∈ L(G)? “ Nu trebuie să confundăm această noţiune cu cea
referitoare la recursivitatea la stânga (resp. dreapta) a gramaticilor, introdusă prin definiţia
2.10.

mai rămas de justificat incluziunea inversă: Y k+1 ⊆ X k+1 . Fie v ∈ Y k+1 . Atunci S
⎯ k ⎯→ +1 v şi |v| ≤ m. Rezultă că există u∈(Ω ∪ Σ)
+ astfel încât S ⎯→
k u → v (am
pus în evidenţă ultimul pas al derivării), iar u = x 1 αy 1 , v = x 1 βy 1 şi α ::= β ∈ P.
Deoarece gramatica este dependentă de context, deci şi monotonă, obţinem că |α| ≤
|β|, deci |u| ≤ |v|. Cum |v| ≤ m, rezultă şi |u| ≤ m. Adică u ∈ Y k ⊆ X k (conform
ipotezei de inducţie). În concluzie, v este un element al mulţimii {v | v ∈ (Ω ∪ Σ) + ,
există u ∈ X ⎯→
k
k astfel încât u → v şi |v| ≤ m} ⊆ X k+1 . Dacă S v şi |v| ≤ m
atunci în mod banal v ∈ Y k ⊆ X k (conform ipotezei de inducţie).
Demonstraţia proprietăţii P 2 . Construcţia şirului de mulţimi arată şi
caracterul ascendent al şirului. Mărginirea este posibilă deoarece se lucrează cu
mulţimile de cardinal finit Ω şi Σ, iar mulţimea cuvintelor de lungime cel mult m
este o mulţime finită.
Demonstraţia proprietăţii P 3 [prin inducţie în raport cu i]. Cazul i = 1 este
chiar cel din ipoteză. Admitem, prin ipoteza de inducţie, că X k = X k+i , pentru un i
fixat. Dorim să arătăm că proprietatea se păstrează pentru indicele i + 1. Dar X k+(i+1)
= X k+i ∪ {v | v ∈ (Ω ∪ Σ) + , există u ∈ X k+i astfel încât u → v şi |v| ≤ m} = (prin
ipoteza de inducţie) X k ∪ {v | v ∈ (Ω ∪ Σ) + , există u ∈ X k astfel încât u → v şi |v|
≤ m} = X k+1 = X k .
Demonstraţia proprietăţii P ⎯ m
4 Fie w ∈ L(G), deci S ⎯→ w, adică w ∈ Xm.
Dacă m > p 0 atunci se aplică proprietatea P 3 şi rezultă că w ∈ X
p 0
. Dacă m ≤ p 0
atunci se aplică proprietatea P 2 şi rezultă w ∈ X p0
. Reciproc, dacă w ∈ X p0
, prin
aplicarea proprietăţii P1, rezultă S ⎯ ≤ k0
⎯→ w. Prin urmare w ∈ L(G).
Cele de mai sus ne permit formularea următorului algoritm:
1. k := 0; X k := {S};
2. Repetă paşii
2.1. X k+1 = X k ∪ {v | v ∈ (Ω ∪ Σ) + , există u ∈ X k astfel încât u → v şi |v|
≤ m};
2.2. k := k + 1;
până când X k = X k-1 .
3. Dacă w ∈ X k atunci w ∈ L(G) altfel w ∉ L(G).
Exemplul 10.1
Fie gramatica G = ({S, A}, {a, b}, S, {(S, AA), (S, AS), (S, b), (A, SA), (A,
AS), (A, a)}) şi w = abaab (|w| = 5). Prin aplicarea propoziţiei 10.1 se obţine
următorul şir de mulţimi:
X 0 = {S};
X 1 = X 0 ∪ {AA, AS, b};
X 2 = X 1 ∪ {SAA, ASA, aA, AAS, Aa, SAS, ASS, aS, AAA, Ab};
X 3 = X 2 ∪ {AAAA, ASAA, bAA, SSAA, SASA, SaA, SAAS, SAa, ASSA, aSA,
AASA, AbA, ASAS, ASa, aAS, aa, AaS, AAAS, Aab, bAS, SSAS, SASS, SaS,
SAAA, SAAS, SAb, ASSS, aSS, AASS, AbS, ASb, aAA, ab, AaA, AAa, , ab}

X 4 = X 3 ∪ {SAAAA, ASAAA, aAAA, AASAA, AaAA, AAASA, AAaA,
AAAAS, AAAa, SASAA, ASSAA, aSAA, AAAAA, AbAA, ASASA, ASaA,
ASAAS, ASAa, bSAA, bASA, baA, bAAS, bAa, SbAA, SSSAA, SSASA, SSaA,
SSAAS, SSAa, SASSA, SaSA, SAASA, SAbA, SASAS, SASa, AAaA, ASaA,
SaAS, Sab, SaAS, SAASS, SAaS, SAAAS, SAAb, Saa, ASSSA, aSSA, AASSA,
AbSA, ASbA, ASSAS, ASSa, aAAA, aASA, abA, AaSA, AAbA, AASAS, AASa,
SAbA, AbAS, Aba, aSAS, AbAS, ASASS, ASaS, ASAb, aSa, aASS, aaS, aAAS,
aAb, AaAA, AaAS, Aab, ASAAS, AAASS, AAbS, AAAb, SAab, ASab, aab,
bSAS, bASS, baS, bAAA, bAAS, bAb, SAAAS, SbAS, SSASS, SSSAS, SSaS,
SSAAA, SSAb, bASS, SSASS, SASSS, SaSS, SAASS, SAbS, SASAA, SASb,
AAaS, baS, SaAA, bAAAA, SaAA, SAaA, SAAa, ASAb, ASAb, bAb, Sab,
ASSSS, aSSS, AASSS, AbSS, ASAAS, ASbS, ASSb, aAAS, abS, aSb, AaSS,
AAbS, AASb, SAbS, AbAA, AbAS, Abb, aaA, SAaA, ASaA, aaA, AaAS, Aaa,
ASAa, aAa, AASa, Aaa},
...
X 9 = X 8 ∪ {abaab, ...}
Observăm că w ∈ X 9 . Prin urmare w ∈ L(G).
Cerinta 10.2
Există un algoritm care să determine, pentru o gramatică independentă de
context G = (Ω, Σ, S, P) şi un cuvânt w ∈ Σ*, dacă w ∈ L(G) sau w ∉ L(G).
Demonstraţie. Deoarece orice gramatică independentă de context este
echivalentă cu o gramatică în forma normală Greibach (teorema 6.3) putem
presupune că G este în forma normală Greibach. Dacă w = λ atunci w ∈ L(G) dacă
şi numai dacă S ::= λ ∈ P. Presupunem că w ≠ λ. Atunci w ∈ L(G) dacă şi numai
dacă S ⎯ ⎯→
* w. În cadrul derivării fiecare producţie adaugă exact un terminal,
deci S ⎯ ⎯→ |w|
w (lungimea derivării este egală cu lungimea cuvântului w). Un
algoritm pentru a decide dacă w ∈ L(G) sau nu, ar trebui să genereze toate
derivările de lungime |w|. Acest lucru este posibil deoarece numărul regulilor este
finit şi prin aplicarea metodei backtracking se pot genera toate derivările de o
anumită lungime.
Exemplul 10.2
Considerăm datele de intrare din exemplul 10.1. Rezultatul aplicării
algoritmului CYK este prezentat în următorul tabel:
j i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5
5 V 15 = {A, S}
4 V 14 = {A, S} V 24 = {A, S}
3 V 13 = {A, S} V 23 = {S} V 3,3 = {A, S}
2 V 12 = {A, S} V 22 ={A } V 3,2 ={S} V 42 = {A, S}
1 V 11 ={A} V 21 = {S} V 31 = {A} V 41 = {A} V 51 = {S}
Cerinta 10.3
Algoritmul CYK (Cocke, Younger şi Kasami) calculează mulţimile V i,j (j =
1, 2, …, m; i = 1, 2, …, m – j + 1) folosind O(m 3 ) operaţii de reuniune.

Demonstraţie. Complexitatea pasului 1 este O(m). Numărul de operaţii de reuniune
din pasul 2 este dat de numărul tripletelor (j, i, k) - cardinalul mulţimii -
{(1, 1, _), (1, 2, _), …., (1, m, _),
(2, 1, 1), (2, 2 1), …, (2, m-1, 1),
(3, 1, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (3, 2, 2), …, (3, m-2, 1), (3, m-2, 2), ….,
(m, 1, 1), (m, 1, 2), …, (m, 1, m-1)},
adică o expresie de ordinul O(m 3 ).
Prin _ am notat executarea doar a pasului 2.a. Prin urmare complexitatea
algoritmului este de O(m 3 ) operaţii de reuniune.
Pentru obţinerea analizei stângi a unui cuvânt w generat de gramatica G se
poate utiliza o procedură recursivă inspirată de schema algoritmului CYK. Se
presupune, în continuare, că G este în forma normală Chomsky. Procedura
ANALIZA, care furnizează analiza stângă, are următorul cod (în limbaj
algoritmic):
Integer n(100); Integer h;
Procedure Analiza (i, j, A)
Integer i, j;
Neterminal A;
SEQ
if (j = 1) then SEQ h := h + 1; n[h] := #(A ::= a i ); END else
SEQ
If (există k astfel încât
k = min{s | s = 1, 2, …, j-1, A ::= BC ∈ P, B ∈ V is , C ∈ V i+s, j-s })
then SEQ
h := h+1;
n[h] := #(A ::= BC);
if (k < j-k) then SEQ Analiza(i, k, B); Analiza(i+k, j-k, C); END
else SEQ Analiza(i+k, j-k, C); Analiza(i, k, B); END;
END
END
END
Procedura este apelată prin Analiza(1, |w|, S) numai dacă algoritmul CYK a
furnizat rezultatul “w ∈L(G)”. Valoarea variabilei h va fi majorată de valoarea
[log 2 |w|].
Cerinta 10.4
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică independentă de context, nerecursivă la
stânga şi A ⎯⎯→
χ wXu (stânga). Atunci există o constantă reală pozitivă, c, astfel
încât
|χ| ≤ c |w|+2 .
Demonstraţie. Fie n = |Ω| şi arborele corespunzător derivării A ⎯⎯→
χ wXu
(stânga). Atunci, în acest arbore nu există nici un drum de lungime mai mare decât
n(|w| + 2). Fie s = max {|α| |A ::= α∈P}. Cum în arborele de derivare nu sunt mai
mult de s n(|w| + 2) noduri interioare, rezultă că lungimea unei analize stângi poate fi

majorată ca în enunţ. Se observă că se poate lua c = s n care depinde numai de
gramatica G, nu şi de forma propoziţională.
Exemplul 10.3
Fie gramatica cu regulile S ::= aSb | b şi cuvântul w = aaabbb. Prin aplicarea
algoritmului de analiză sintactică descendentă rezultă următoarele configuraţii:
(q, 1, λ, S$) |- (q, 1, S 1 , aSb$) |- (q, 2, S 1 a, Sb$) |- (q, 2, S 1 aS 1 , aSbb$) |-
(q, 3, S 1 aS 1 a, Sbb$) |- (q, 3, S 1 aS 1 aS 1 , aSbbb$) |- (q, 4, S 1 aS 1 aS 1 a, Sbbb$) |-
(q, 4, S 1 aS 1 aS 1 aS 1 , aSbbbb$) |- (r, 4, S 1 aS 1 aS 1 aS 1 , aSbbbb$) |-
(q, 4, S 1 aS 1 aS 1 aS 2 , abbbb$) |- (r, 4, S 1 aS 1 aS 1 aS 2 , abbbb$) |-
(r, 4, S 1 aS 1 aS 1 a, Sbbb$) |- (r, 3, S 1 aS 1 aS 1 , aSbbb$) |-
(q, 3, S 1 aS 1 aS 2 , abbb$) |- (q, 4, S 1 aS 1 aS 2 a, bbb$) |-
(q, 5, S 1 aS 1 aS 2 ab, bb$) |- (q, 6, S 1 aS 1 aS 2 abb, b$) |-
(q, 7, S 1 aS 1 aS 2 abbb, $) |- (t, 7, S 1 aS 1 aS 2 abbb, λ).
Analiza sintactică a cuvântului aaabbb este 112 unde indicii şi asocierile sunt
următoarele: 1 (S 1 ) pentru S ::= aSb, respectiv 2 (S 2 ) pentru S ::= ab.
Cerinta 10.5
Fie G = (Ω, Σ, S, P) o gramatică independentă de context, fără λ-producţii şi
aciclică, w ∈ Σ * , iar A ⎯⎯→
χ uXw (dreapta). Atunci există o constantă reală
pozitivă, c, astfel încât
|χ| ≤ c |w| .
Demonstraţie. În virtutea propoziţiei 5.3, putem presupune că gramatica G nu are
redenumiri. Deoarece gramatica nu are λ-producţii atunci în orice derivare X
⎯⎯→
χ w, numărul (notat prin h) producţiilor de forma Y ::= α, cu |α| ≥ 2 nu poate
depăşi |w|. Evident h < |w|. Vom arăta, prin inducţie după h, că |χ|≤ 2|w|.
Pentru h = 0, rezultă că |w| = 1, lungimea derivării este 1, deci |χ|≤ 2|w|.
Presupunem că h > 1, A → Y 1 Y 2 ...Y m ⎯ ⎯→
* w (dreapta), deci w = w1w 2 ...w m
(proprietatea de localizare) astfel încât Y ⎯ ⎯→
*
i w i , prin aplicarea a h i reguli, i = 1,
2, ..., m. Evident h = 1 + h 1 + h 2 + ... + h m . Fie χ i fiecare dintre cele i derivări
drepte. Prin ipoteza de inducţie rezultă că |χ i | ≤ h i + |w i |. Prin sumare, rezultă că |χ|
≤ 1 + h 1 + h 2 + ... + h m + |w 1 | + |w 2 | + ... + |w m| = h + |w| ≤ 2 |w|.
Fie w ∈ Σ * , α ∈ (Ω ∪ Σ) + , şi α ⎯ ⎯→
* u o derivare dreaptă, unde u este un
prefix al lui w. Conform celor de mai sus, lungimea derivării este cel mult 2|u|.
Numărul analizelor sintactice parţial drepte consistente cu w care se referă la
prefixul u este cel mult |P| 2|u| , unde |P| reprezintă numărul producţiilor gramaticii
date. Cuvântul w are |w| prefixe deci numărul analizelor sintactice este cel mult |P| 2
+ |P| 4 + ... + |P| 2|w| < c |w| . În rolul lui c se poate lua, de exemplu, |P| 4 .
Exemplul 10.4
Fie gramatica din exemplul 10.3 şi cuvântul w = a 3 b 3 . Conform algoritmului
analizei sintactice ascendente au loc următoarele tranziţii:
(q, 1, $, λ) |- (q, 2, $a, D) |- (q, 3, $aa, DD) |- (q, 4, $aaa, DDD) |-
(q, 5, $aaab, DDDD) |- (q, 5, $aaS, 2DDDD) |- (q, 6, $aaSb, D2DDDD) |-
(q, 6, $aS, 2D2DDDD) |- (q, 6, $aSb, D1D2DDDD) |-
(q, 7, $S, 1D2D2DDDD) |- (t, 7, λ, 1D1D2DDDD).
Analiza sintactică a cuvântului aaabbb este 112 unde indicii producţiilor sunt
următoarele: 1 pentru S ::= aSb, respectiv 2 pentru S ::= ab.